2808185664

Matematyka Finansowa - ćwiczenia Zmienne stopy procentowe i inflacja Paweł Czudecki

Oprocentowanie przy zmiennej stopie procentowej

Przeciętną stopą procentową stóp r₁,..., r_k nazywamy taką stalą stopę procentową r_prz, dla której przyszła wartość kapitału K₀ po n okresach kapitalizacji jest taka sama, jak przyszła wartość tego kapitału, przy zmieniającej się stopie procentowej (po tym samym czasie)

Załóżmy, że przy niezmieniającym się okresie kapitalizacji w „n” okresach stopa procentowa zmieniła się ,,/r”razy. Okres ten podzielimy na takie podokresy n₁₍... ,n_k, w których oprocentowanie było stałe i wynosiło odpowiednio: r_t,..., r_k. Uwzględniając sposób oprocentowania - otrzymujemy stosowne wzoiy pozwala jące wyznaczyć przeciętną stopę procentową:

a)    kapitalizacja prosta:

b)    kapitalizacja złożona z dołu (zgodna):

c)    kapitalizacja złożona z góry (zgodna):

d)    kapitalizacja ciągła:

_ 'H' i + -+»kⁱ'k

r_pvz ~

^rprz = V(1 + U)"¹ +    + (1 + r_k)^nk - 1

r_prz = 1 - V(! - u)”¹ +••■+ (1 -r_k)’^lk

_ n₁r₁+-+n_kr_k

Uwaga. Wzoiy (b, c) mają zastosowanie tylko wówczas, gdy w rozpatrywanym okresie czasu nie zmienia się okres kapitalizacji. Ponadto okresy stóp procentowych ty,...,r_k,r_pT7 są równe okresowi kapitalizacji. Zatem dla kapitalizacji w podokresach lub nadokresach stopy procentowej oznaczają po prostu względne stopy procentowe. Czas mierzony jest okresem kapitalizacji (tj. okresem stopy względnej). Wówczas n = n_x + —F n_k.

Zad.l. W pewnym banku w ciągu 5,5 lat roczna stopa procentowa zmieniała się trzy razy i wynosiła: w pierwszym półroczu 4,5% oraz 5% przez następne 1,5 roku. W tym czasie wartość pewnego kapitału wzrosła trzykrotnie, przy kapitalizacji półrocznej złożonej z góry. Wyznaczyć roczną stopę procentową obowiązującą w trzecim okresie trwania lokaty oraz przeciętną półroczną stopę procentową.

W sytuacji, gdy zmianie stopy procentowej towarzyszy zmiana okresu kapitalizacji, aby zastosować powyżej podane wzoiy, konieczne jest wcześinejsze uzgodnienie okresów kapitalizacji (poprzez wyznaczenie stóp równoważnych lub efektywnych).

Problem wyznaczania stopy przeciętnej (o dowolnym okresie równym okresowi kapitalizacji) można rozwiązać korzystając z równoważności kapitałów. Rozwiązanie takie nie wymaga wyznaczania stóp równoważnych bądź efektywnych.

kapitalizacja złożona z dołu: *o(l + ^rprzT = Ko(l + U)"¹ • ••• ■ (1 + kapitalizacja złożona z góry: K₀[ 1 — r_prz) " = K₀( 1 —    •... • (1 — r_k)~^T’^k

Należy pamiętać, że n,- jest czasem mierzonym okresami stopy r,- dla i = 1, n jest czasem mierzonym okresami stopy r_prz oraz łączny czas wyrażony jako suma potęg n₁₍..., n_k jest równy czasowi określonemu przez n okresów stopy r_pyz.

Zad.2. Bank stosuje kapitalizację kwartalną złożoną z dołu. W ciągu dwóch lat kwartalna stopa procentowa w tym banku ulegała zmianom i wynosiła w kolejnych kwartałach: 1,5%, 1,5%, 2%, 1%, 1,5%, 2%, 2%, 1%. Wyznaczyć przeciętną stopę procentową: a) kwartalną, b) roczną, c) poboczną, d) miesięczną. Jaka jest roczna stopa procentowa w drugim roku?

6