15237

ĆWICZENIA Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA (7)

Na ćwiczenia przygotować: rozkłady zmiennej losowej ciągłej (rozkład prostokątny (jednostajny), wykładniczy, normalny). Charakterystyki liczbowe opisujące te zmienne ( wartość oczekiwana, modalna, mediana, kwantyle, wariancja).

Zad. 1. Firma ubezpieczeniowa wypłacająca emerytury opiera wysokość swoich rocznych wypłat na rozkładzie długości życia swoich klientów (X). Przyjmując, że X jest zmienną losową podlegającą rozkładowi normalnemu N(721ata. 4 lata).

a)    Jaka część klientów firmy będzie otrzymywała emerytury przed ukończeniem 70 lat?

b)    Jaka część klientów firmy będzie otrzymywała emerytury po ukończeniu 75 lat?

c)    Jakiego wieku nie przekroczy 25% emerytów będących klientami firmy ubezpieczeniowej?

Zad. 2 Hurtownia mebli ustaliła, że czas upływający od momentu wystawienia faktury do chwili jej zapłaty podlega rozkładowi normalnemu z wartością oczekiwaną = 20 dni i wariancją = 25 dni*.

a)    Jaka część faktur została zapłacona przed upływem 15 dni?

b)    Jakie jest prawdopodobieństwo, że czas zapłaty wylosowanej faktury będzie się mieścił w granicach od 18 do 26 dni?

c)    Jakiego czasu zapłaty tue przekroczyło 5% faktur, a jakiego 75%?

Zad. 3. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(95, a\ He wynosi wariancja, jeśli wiadomo, że 20% powierzchni pod krzywą normalną leży na prawo od prostopadłej w x= 103.4?

Zad. 4. Doświadczenie pokazuje, że dochody z reklamy pewnego tygodnika mają rozkład normalny z wartością oczekiwaną 8 tys zł tygodniowo z odchyleniem standardowym 0.5 tys. zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dochody z reklamy w pewnym tygodniu będą: a) mniejsze niż 7 tys. zł. b) większe niż 8.5 tys. c) większe niż 6.5 tys. zł i mniejsze niż 9.5 tys. zł? d) Jakiego dochodu z reklam nie przekroczyło 40% reklam?

Zad 5. Niech zmienna losowa X ma rozkład normalny N(/u,cr). Obliczyć prawdopodobieństwo : /’(|-X — /i) <ka), dla k = 1.96; k = 2,58.

Z ad.6 X ~ N( -0,5; 3).0bliczyć:    P(X £2), P(X =-0,5),    P(-l,5 £X £4,5), P(X £>-0,5),

P(|X| <1). P(\X —0.5| 2=0.5)- F(—0,5)- F{2)

Zad. 7 X ~N( 50; 25).Wyznaczyć wartości . dla których:

a)P(X£x₀)=I    b) P(X £x₀) = 0,0735 _c) P(X £x₀) =0,9938

Zad. 8 Dla zmiennej losowej X ~ N( 1; 2). Wyznaczyć: a)kwantyl rzędu 0,95; b) medianę.

Zad. 9 Dla z mierniej losowej U ~ N ( O; 1). Wyznaczyć: kwantyl rzędu 0,95; b) kwantyl rzędu 0.9 b) medianę Zad. 10 X ~ W( 1; 2). Wyznacz stałą atak, aby: P(|* —1] <«) “0,95.

Zad 11. Czas oczekiwania na wydrukowanie skryptu jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale [4 miesiące, 12 miesięcy].

a)    Znaleźć funkcję gęstości. Wyznaczyć dystrybuantę tego rozkładu. Wykreślić funkcję gęstości i dystrybuantę.

b)    Obliczyć prawdopodobieństwo, że czas dmkowania skryptu nie przekroczy pół roku.

c)    Obliczyć prawdopodobieństwo, że czas dnikowaiua skryptu będzie mieścił się w przedziale (6 miesięcy. 10 miesięcy]

d)    Obliczyć prawdopodobieństwo, że czas dmkowania skryptu będzie dłuższy niż 8 miesięcy.

e)    Obliczyć średni czas oczekiwania na wydrukowanie skryptu oraz wariancję.

Zad. 12 Pralnia chemiczna chce rozwinąć działalność przez zainstalowame nowej maszyny do prania i czyszczenia odzieży. W związku z tym konieczne jest dostarczanie 30 litrów skoncentrowanego środka chemicznego na minutę. Ocenia się, że jest to zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym w przedziale (25 litrów. 35 litrów].

a)    Znaleźć prawdopodobieństwo, że na minutę dostarcza się więcej niż 32 litry środka chemicznego.

b)    Jakie jest prawdopodobieństwo, że ilość dostarczanego środka jest mniejsza niż 30 litrów?

Zad. 13. Czas ( w minutach) między kolejnymi zgłoszeniami abonentów w pewnej centrali telefonicznej jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem A = 2 Obliczyć średni czas między kolejnymi zgłoszeiuami oraz prawdopodobieństwo, że przed upływem 3 minut nastąpi zgłoszenie.

Zad. 14. Czas T (w min) pomiędzy przybyciem dwóch taksówek na postój jest zmienną losową o dystrybuancie:

■!|

pjij.J-r dlaf>0

0 da ii 0

Obliczyć prawdopodobieństwo, że 1<T<2.

Wyznaczyć gęstość tego rozkładu. Obliczyć E(T) i D(T).