22877

2

2 PIERŚCIENIE ILORAZOWE

(a.b)-(c,d) = (ac.bd)    (2)

oraz relację R:

(a, b)R(c, d) <=> ad = 6c    (3)

Twierdzenie 1.2 Dla dowolnego pierścienia całkowitego P relacja R zdefiniowana przez 3 jest relacją równoważności zgodna z działaniami I i 2.

Dzięki twierdzeniu 1.2 w zbiorze ilorazowym P x P'/R można wprowadzić działania dodawania i mnożenia:

[(a, b)] + ((c, d)) = [(ad + be. W))    (1)

[(a.6)j.[(c,d)j = [(ac,W)]    (5)

Twierdzenie 1.3 (O ciele ułamków) Dla dowolnego pierścienia całkowitego P zbiór P x P'/R z działaniami zdefiniouanymi wzorami J, i 5 jest ciałem przemiennym.

Ciało występujące w tezie twierdzenia 1.3 nazywamy ciałem ułamków pierścienia P. Z oczywistch powodów liędziemy raczej stosowali zapis f, zamiast [(a. 6)J dla elementów ciała ułamków. Elementy ciała ułamków zapisujemy więc dokładnie tak samo jiik doskonale nam znane ułamki (elemty ciała łiczł>y wymiernych).

2 Pierścienie ilorazowe

Dla dowolnego pierścienia i pewnego jego pod pierścienia relacja przystawania modulo podpićrścień jest, jak bardzo łatwo sprawdzić, relacją równoważności. Zapiszmy ten fakt nieco precyzyjniej jako następne twierdzenie.

Twierdzenie 2.1 Niech /’ będzie pierścieniem, a I) C P jego podpi er ścieni cm. Relacja Rp zdefiniowana w D wzorem

aRpb <=> a — bę D

jest relacją równoważności w D.    ■

Zbiór klas równoważności P/Rp nazywamy ilorazem pierścienia P przez pod pierścień D i oznaczamy przez P/ D. Zastanówmy się. kiedy w ilorazie pierścienia przez pod pierścień można wprowadzić działania tak. jak to zwykle się robi. to znaczy tak. by działania na klasach były kbisami działań?

Jak wiemy, by było to możliwe, relacja Rp musi być zgodna z działaniami. Przypuśćmy więc, że tak jest czyli, że dla pewnego podpierścienia I) pierścienia P mamy

alipb.cRpd => (a + c)Rp(b + d)