25854

Funkcja	Pochodna	Zakres zmienności
tg*	—-5— = 1 + tg^2 X COS X	x*y + for, gdzie ke Z
ctgx	.2=1 Ctg^2X sin x	x * ku, gdzie ks Z
o^x	o* Ina	0 < a * 1, x e R
e^x	e^x	X€ R
shx	chx	xe R
chx	shx	xe R
thx	1 ch^2x	xe R
cthx	-1 sh^2x	x * 0
arcsin x	1 Vl-x^2	W<!
arccosx	-1 Vl-x^2	W <!
arctgx	1 l + x^2	xe R
arcctgx	-1 l + x^2	xe R
logax	1 xlna	0 < 0 ^ 1, x e R
lnx	1 X	x > 0

Uwaga. Do obliczania pochodnych funkcji postaci f⁹ oraz l°gf 9 stosujemy wzory;

Def. 4.1.5 (styczna do wykresu funkcji)

Niech funkcja /"będzie określona na przedziale (a,b), -o® <, a < b <, °o oraz niech xo € (a,b). Prosta jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x_ft f[xo)), jeżeli jest granicznym położeniem siecznych funkcji /‘przechodzących przez punkty (x₀, f{xo)), (x, f[x)), gdy x -> Xo.

Geometrycznie styczna jest prostą, która w pobliżu punktu styczności „najlepiej” przybliża wykres funkcji. Nie jest prawdą, że każda prosta, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji jest styczna do tego wykresu (może np. przecinać wykres).

Fakt 4.1.6 (interpretacja geometryczna pochodnej)

Niech a oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x& f[xo)) i dodatnią częścią osi Ox (rys. 4.1.2). Wtedy

f'(x_Q) = tga.

Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x& f[xo)) ma postać:

y= f(* ₀)+ f'M(x-x₀).