25857

f (*)-0 ^ funkcja f jest niemalejąca na /, *_f f (*) < O => funkcja ^jest malejąca na I,

=* funkcja /'jest nierosnąca na /.

Uwaga. Jeżeli f'(x)£0 dla każdego x e /, przy czym równość f(x) = 0 zachodzi jedynie dla skończonej liczby punktów z przedziału /, to funkcja f jest rosnąca na /. Podobnie jest dla funkcji malejącej.

Tw. 3.1.6 (o pochodnej funkcji monofonicznej)

f'(x)> 0 dla każdego xe /

1. funkcja f jest rosnąca na / e R

2. funkcja f ma pochodną na przedziale /

Uwaga. Prawdziwe są także analogiczne twierdzenia dla pozostałych rodzajów funkcji monotonicznych.

Tw. 3.1.7 (o tożsamościach)

Niech funkcje fi g będą określone na przedziale / c R oraz niech Xo€ /. Wtedy 1- f(*o) = 9(*o)

=> f = g na / .

2. f (x) = g (x) dla każdego xe I

Tw. 3.1.8 (o nierów nościach)

f(x)<,g(x) dla każdego x>x₀.

Niech funkcje f i g będą określone na przedziale / c R oraz niech x₀e /. Wtedy 1. f(x₀)śg(x₀)

2. f' (x) ś g¹ (x) dla każdego x > x₀

Uwaga. Jeżeli jedna z nierówności w założeniach powyższego twierdzenia jest ostra, to nierówność w tezie także jest ostra. Analogiczne twierdzenie prawdziwe jest także dla x < xo.

Tw. 5.1.9 (Cauchy’ego)

^ _v f'(c)_m-f{a) ^x(ab) g'(c)    9(b)-g(a)

1.    funkcje f i g są ciągłe na [a.b]

2.    funkcje f i g mają pochodne na (a.b)

3.    g^/(x)^0 dla każdego x€ (<7,5)

Fakt 5.1.10 (interpretacja geometryczna tw ierdzenia Cauchy’ego)

Niech r(x)=(<7(x), f(x)), gdzie x € [a,b], będzie przedstawieniem parametiycznym krzywej T na płaszczyźnie. Wtedy istnieje punkt P e T, w którym styczna jest równoległa do siecznej łączącej końce A, B tej krzywej.

5.2TWIERDZENIA O GRANICACH NIEOZNACZONYCH

Tw. 5.2.1 (reguła dc LTIospitala dla nieoznaczoności °~)

Niech

1.

funkcje

100 f\x)

9i*) ’ g'(x)

będą określone dla każdego x * xo,