49775

Czystka w studni potencjałów

Niech cząstka o masie m znajduje się w obszarze 0<x<L między dwoma nieskończonymi barierami potencjałów. W takiej sytuacji mówimy, że cząstka znajduje się w nieskończenie głębokiej studni bariery potencjałów. Jeżeli cząstka znajduje się wewnątrz studni 0<x<L to nie działa na nią żadna siła. (F=-dU/dx=0) ,a 0<x>L ; F=-dU/dx=« ; Ponieważ cząstki znajdują się tylko wewnątrz studni to na zewnątrz vy(x)=0. Funkcja musi zachowywać ciągłość, więc musi ona znikać na granicy przedziałów. Dla x<0 i x>L \y(x)=0. dla naszej sytuacji równanie Shora. Aij/=2m/lr*E\y,=0 ; d^:\j//dx^:+2m/lr*Ey,=0 ; V|/,=Ae^A(ikx)+Be^A(-ikx) ; k²=2m/lr*E ; k=pierw(2mE)/h. Rozwiązanie jest równaniem przedstawiającym równanie fali, która jest superpozycją dwócli fal poruszających się w kienuiku przeciwnym. Korzystając z warunków brzegowych możemy znaleźć związek między A i B. x=0 ; \|/,(0)=0 ; 0=Ae°+Be° ; B=-A ; \j/,=A[e^ikx)-e^A(-ikx)] ; e^Aikx=coskx-isinkx ; e^A-ikx=coskx+isinkx ; \|/«=A(coskx+isinkx-coskx+isinkx) ; \j/,=2Aisinkx ; 2Ai=c , \j/,=csinkx ; Skorzystamy z warunku brzegowego x=L to \j/^L)=0 ; 0=csinkL , c=0 odrzucamy bo funkcja falowa w każdym punkcie przestrzeni była by równa 0 , sinkL=0 , kL=nFI , k=pierw(2mE)h ; pieiw(2mE)/li*L=nTI ||² ; 2mEL^:/lr=n^:n^: ; amE^rn^r/L² ; E=n^:lr/2mL^:*ir ; Wynika stąd, że cząstka znajdująca się w studni potencjałów może przyjmować skwantowane wartości energii. Istnienie dyskretnych poziomów energetycznych dla cząstki wynika z nałożonych dla cząstki warunków brzegowych. E_n*=n²h²/2mL²; ApAx>h ; Ax=L , Ap>li/L , E=p²/2m , Ap^O , p^O; E^O ; Otrzymane wyniki nie zgadzają się z informacjami jakie można uzyskać na podstawie równań klasycznych. Zgodnie z którymi wszystkie wartości energii są dozwolone a najmniejsza jej wartość może być równa 0. AE/E^E^i-Enj/E,, , Aby otrzymać funkcje \|/(x) musimy określić stalą c. ol^Isin²kxdx=l , c² ₀/^Isin²kxdx=c² _<J^I'(l-cos2kx)/2*dx= c²/2*[ J^!dx- J^Icos2kxdx]=c²L/2 ; c²L/2=l ; c=pierw(2/L) ; y,=pierw(2/L)sinkx ; i ostatecznie otrzymujemy ą/,=pierw(2/L)sin(nn/L*x) ; ²=2/L*sin²(nn /L *x)