E-przestrzeń m-zupełna i ośrodkowa
B(E)-σ-algebra borelowska
CB(E)-przestrzeń funkcji(R) ciągłych i ograniczonych
UB(E)-jednostajnie ciągłych( UB(E)⊂CB(E))
C(E)-prz. funkcji okresowych na E
μ1(E)-prz. wszystkich miar probabil. (B(R), μ)
DEF1.E,(μn), μ∈μq(E) (n=1,2,3....)
μn słabo zbieżny do μ ( μn→sł μ) ≡ limn->∞ ∫Ef dμn =∫Ef dμ ∀ f∈CB(E)
DEF2.(Ω,F, p); Xn; X: Ω--> E; μn
Xn jest zbieżny według rozkładu do X (Xn→D X) ≡μn→sł μ
∫Ω f dμn = E(f(Xn)) ∫Ω f dμ = E(f(X))
μn→sł μ ≡∫Ω f dμn → ∫Ω f dμ ≡ E(f(Xn)) → E(f(X)) ∀ f∈CB(R)
DEF3. Xn, X, Fn, F
Fn jest słabo zbieżny do F (Fn → F) ≡ Xn→D X ≡≡∫Ω f dFn → ∫Ω f dF ∀ f∈CB(R)
DEF4.Rodzine (μn)n∈N rozkładów prawdopodobieństwa na ( E, B(E)) nazywamy jędrną, jeżeli dla∀ ε>0 ∃ K- zbiór zwarty że μn(K) > 1- ε ∀ n∈N
TW. Scheffe'go
(Ω,F, μ); μ-miara skończona; υn,υ-miara prob. absolutnie ciągłe (tzn.∃ υn(A)= ∫Ω gn dμ, υ(A)= ∫Ω gdμ. Jeśli gn→g poza miara μ, to supA∈F| υn(A)- υ (A) | <= ∫Ω |gn- g | dμ→0
Dowód:
| υ(A)- υn(A) |= | ∫A (gn- g) dμ| <= ∫A |gn- g | dμ
supA∈F| υn(A)- υ (A) | <= ∫Ω |gn- g | dμ ≡ ∫gn>=g (gn- g) dμ-∫gn<g (gn- g) dμ = -2 ∫gn<g (gn- g) dμ
∫Ω gn dμ =∫Ω g dμ ∫Ω (gn- g) dμ=0
∫A (gn- g) dμ+∫A' (gn- g) dμ=0
g' dμ= -∫A'(gn- g) dμ
...= -2∫gn<=g (gn- g) dμ <=2 ∫Ω (g- gn)+dμ→0
(g- gn)+=max {0, (g- gn)}= 0 gdy g< gn, a g-gn gdy 1/n< g
TW.(Charakteryzacja słabej zbieżności rozkładów)
(μn)- rozkłady prawd na (E, B(E)). Następujace warunki sa równoważne:
1. μn→sł μ
2. limn->∞∫Egdμn =∫Eg dμ ∀ g∈UB(E)
3.limsup n->∞μn(F)<= μ(F) ∀ F=F^⊂E F^-domknięcie
4.liminf n->∞μn(G)>= μ(G) ∀ G=G*⊂E G-zb.otwarty
5.lim n->∞μn(A)= μ(A) ∀ A⊂B(E): μ(δA)=0; δA=A^\intA
Dowód:
I. 3.=>4.
∀ G=G*⊂E F:= E\G F^=F ==> limsup n->∞μn(F)<= μ(F) ==> limsup n->∞μn(E\G)<= μ(E\G) ==> limsup n->∞(1-μn(G))<= 1-μ(G) ==> 1-lim n->∞μn(G)>= 1-μ(G) ==>
liminf n->∞μn(G)>= μ(G)
II..4.==>3.-podobnie jak poprzednio :)
III 1.==>2.
μn→μ z def ∫E f dμn → ∫E f dμ ∀ f∈CB(E) (UB(E)⊂CB(E))
IV. 2. ==> 3.
∀ F=F^⊂E d(x,F)=infy∈Fd(x, y)
d( , E): E->R jednostajnie ciągła ( |d(x, F)-d(y, F)|<= d(x, y) ∀ x,y∈E )
d( , E)∈UB(E)
Gn=G* n=1,2,.... F∩Gn=ø n=1,2,...
fn(x):=d(x,F)/d(x, F)+d(x, Gn') x∈E fn(x)<=1 fn∈UB(E)
gn=1-fn 0<=gn(x)=<1 gn∈UB(E)
gn(x)= 1 gdy x∈F oraz 0 gdy x∈Gn' ;
G1⊃G2⊃.....⊃Gn⊃...∩Gn=F ==> lim n->∞μ(Gn)= μ(F)
μ(F)=∫Fdμn=∫Fgkdμn <=∫Egkdμ ==> limsup n->∞μn(E) <=limsup n->∞∫Fgkdμn =2.∫Egkdμ
=∫Gk1 dμ=μ(Gk)
limsup n->∞μn(F)<= μ(Gk) → μ(F) ==>3.
V 4==>5.
∀ A∈ B(E) A*, A^, δA=A^\intA, μ(δA)=0; A*⊂A⊂A^ ==>
limsup n->∞μn(A)<= limsup n->∞μn(A^)<=μn(A^)=μ(A)
lim n->∞μn(A)>= liminf n->∞μn(A)>=3. μn(A*)=μ(A)
μ(A)<=lim n->∞μn(A)<= limsup n->∞μn(A) <=μ(A)
tego juz chyba nie było na wykładzie, ale nie jestem pewna:)
TW. (μn)- rozkłady prawd na (E, B(E)), a (Fn)- ich dystrybuanty
Wtedy zbieżność μn→sł μ <=> Fn(t) →F(t) ∀ t-punktu ciągłości
TW.(Fn)- ciąg dystrybuant; D-zbiór gęsty w R.
Jeśli Fn(t) →F(t) ∀t∈D , to Fn(t) →F(t) we wszystkich punktach ciągłości F
TW.(Prochorowa)
Rodzina rozkładów prawdopodobieństwaΛ={μa:a∈I} na (R, B(R)) jest jędrna <==> z ∀ ciągu elementów tej rodziny da sie wybrać podciąg słabo zbieżny do pewnego rozkładu prawdopodobieństwa
Dowód:
I. ==>
Niech (Fn) ciąg dystrybuant. wybieramy podciąg Fnk słabo zbieżny do pewnej dystrybuanty F.
Na mocy jędrności dla∀ ε>0 ∃ M : -M i M są punktami ciągłości F oraz
Fnk(m)-Fnk(-M)>= 1- ε, a gdy k→∞ mamy F(M)-F(-M)>= 1- ε Zatem F jest dystrybuantą pewnego rozkładu prawdopodobieństwaμ
II.<==
Przypuśćmy że rodzina rozkładów nie jest jędrna. Wtedy ∃ ε>0, że ∀ zbioru zwartego(a w szczególności dla[-n,n]) ∃μn∈A : μn([-n,n])<1- ε. Otóż ciąg (μn) nie może zawierać podciągu zbieznego do pewnego rozkładu prawd. Przypuśćmy bowiem, że μnk→sł μ .Wybierzmy taki zbiór zwarty K żeby μ(K)> 1- ε. Jesli Kc jest c- otoczką zbioru K, to dla dostatecznie dużych n mamy Kc⊂[-n,n], i na mocy otwartości zbioru Kc otrzymujemy:
1- ε<μ(Kc)<=liminfμnk(Kc)<= liminf μnk([-n,n])<= 1- ε. Sprzeczność kończy dowód