27. Zupełność przestrzeni metrycznych.

Definicja: Mówimy, że przestrzeń metryczna (X, d) jest zupełna, jeśli dowolny ciąg Cauchy’ego jej elementów jest zbieżny.

Definicja: Ciąg Cauchy’ego jest to ciąg elementów przestrzeni metrycznej spełniających tzw. warunek Cauchy’ego.

Definicja: Mówimy, że ciąg (x_n) elementów przestrzeni metrycznej (X, d) spełnia warunek Cauchy’ego jeśli:

$$\bigvee_{e > 0}^{}{\bigwedge_{n_{0} \in N}^{}{\bigvee_{n,m \geq n_{0}}^{}{d\left( x_{n},x_{m} \right) < e}}}$$

Warunek ten oznacza, że lim_{n → ∞, m → ∞}d(x_n,x_m) = 0 .

Przykłady:

• Przestrzeń (R,  d_e) jest zupełna, gdzie d_e jest metryką euklidesową: d_e(x,y)|x − y| dla x, y ∈ R.

• Dla dowolnego n ∈ N przestrzenie (Rⁿ,  d_e) i (Cⁿ,  d_e) są zupełne.