55171

Zatem rozwiązaniem ogólnym jest rodzina krzywych y =x • e^Cx^, gdzie C e R.

dy

II Równanie — = f(ax + by +c), gdzie ci.b.ce R, b *0 oraz f jest ciągła. dx

Stosujemy podstawienie u(x) = ax + by + c.

Wtedy

du , dy - = a + b-f dx    dx

i korzystając z równania otrzymujemy

= a + b- f(u) dx

^ a+b-m~^dx

zatem otrzymaliśmy równanie o zmiennych rozdzielonych.

du

Przykład

Rozwiązać równanie y' =cos(x-y).

Stosujemy odstawienie

u = x- y

, , , du , dy .    . ,    .    .

Wtedy — — 1 - — = 1 - cosu i równanie przyjmuje postać

dx =-

du

1 —cos u

Stąd

Jdu

-.

1 — cos u

Ponieważ

r du    u

•ItTTu ^=-C,S2

2sin —

zatem

ctg

x-y

= -x+C dla Ce R i y*x-2kjr, gdzie JceZ jest rozwiązaniem

równania.

dy

Ponadto, jeśli y = x-2k7i, to -f- =1 =cos(x-y).

dx

Zatem

y — x — 2k/r dla keZ jest też rozwiązaniem równania.

III Równanie

1° Jeśli

dx '

a_lx+b_ly+c_l

i

Oj fcj

^a₂x + b₂y + c₂ * 0, to podstawiamy

gdzie o,, b,, c,, a₂, b₂, c₂ e R oraz f - ciągła.

7