plik

�� 1 A B PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE Def. Struktur liniow zbioru X (X = f�) nad ciaBem K nazywamy ukBad dw�ch odwzorowaD: 1) XxX '� (x, y) �� x + y �� X wynik dodawania w X; 2) KxX '� (a�, x) �� a�x �� X mno|enie element�w przez przez system algebraiczny rozumiemy: skalary ciaBa. (X, j�), X zbi�r niepusty, j�: Xn �� X (n �� Z+) dane odwzorowanie, zwane n-argumentowym PL1. (X, +) jest grup abelow (przemienn) dziaBaniem w X. (n=0 wyr�|niamy element x �� X; n = 1 dziaBanie jedno arg.; n = 2 dziaBanie PL2. (a� + b�) x = a� x + b� x | a� (x + y) = a� x + a� y | a� (b� x) = (a� b�) x | 1x = x binarne). Def. Par uporzdkowan (X, l�), gdy l� jest struktur liniow w X nad K, nazywamy przestrzeni (X, j�), j� dziaBanie binarne grupoid liniow nad ciaBem K. Def. Grupoid nazywamy p�Bgrup, je|eli j� jest dziaBaniem Bcznym, tzn. Def. Je|eli X jest niepustym podzbiorem przestrzeni liniowej X, to pary (X , l�) nazywamy 0 0 podprzestrzeni liniow przestrzeni liniowej X. "�x, y, z ��Xj�(�x,j�(�y, z)�)�=�j�(�j�(�x, y)�, z)� Lemat (elementarne wBasno[ci przestrzeni liniowej): Uwaga: (j� �� * - notacja muliplikatywna, j� �� + - notacja addytywna). 1) "�x 0x = x0 = 0 | 0x +(x + x ) = (0x + 1x ) + x = (0 + 1)x + x = 1x + x = x + x | podobnie x 0 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 Def. DziaBanie binarne j� o wBasno[ci: "�x, y, z ��X j�(�x, y)�=� j�(�y, x)� nazywamy przemiennym. (Np. + (x + x ) = x + x �� x + 0 = x 1 2 1 2 2) a� x = 0 �� a� = 0 lub x = 0 (N, j�) j�(x,y) = xy nie jest przemienne) 3) a� (x + y) = -a� x - a� y | a� (x - y) = a� x - a� y Def. (X, j�) grupoid: element e o wBasno[ci "�x j�(�x,e)�=� j�(�e, x)�=� x nazywamy elementem UkBady elementarne w przestrzeni liniowej jednostkowym dziaBania j�. UkBady skoDczone: X przestrzeD liniowa nad K, x , ... , x �� X. 1 n Lemat: Element jednostkowy, je|eli istnieje, to jest jedyny. Def. Ka|dy element postaci x = a� x + ... + a� x a� �� K nazywamy kombinacj liniow (o 1 1 n n i �� )�=� �� e j�(�x, e j�(�e , x)�=� x (podst .x =� e ) wsp�Bczynnikach a� , ..., a� ) rozpit na ukBadzie skoDczonym. 1 n �� J: �� e =� e �� )�=� �� e j�(�x, e j�(�e , x)�=� x (podst .x =� e ) Def. UkBad skoDczony nazywamy: 1) liniowo niezale|nym, je|eli a� x + ... + a� x = 0 �� a� = ... = a� = 0. 1 1 n n 1 n element jednostkowy: lewy (e ) e x = x, prawy (e ) x e = x. Je[li istnieje e i e , to e = e = e. l l p p p l p l 2) liniowo zale|nym, gdy nie jest niezale|nym, wic istniej niezerowe wsp�Bczynniki a� , ..., a� , |e a� x 1 n 1 1 notacja: addytywna �� e �� 1; multiplikatywna �� e �� 0. + ... + a� x = 0 n n Def. P�Bgrup (X, j�) z jedno[ci o wBasno[ci: Tw. UkBad {e | a� �� A} jest liniowo niezale|ny, je|eli ka|dy jego podukBad skoDczony jest liniowo a� �� )�=� �� "�x��X $�x ��X j�(�x, x j�(�x , x)�=� e x -� element odwrotny nazywamy grup. niezale|ny. Lemat: Element x jest jedyny. Def. Je|eli E = {e | a� �� A} jest ukBadem element�w przestrzeni liniowych X nad K, to zbi�r span E jest a� zbiorem wszystkich kombinacji liniowych rozpitych na ukBadzie E. x��span E �� x =� l�a�ea� . span E �� Bezpo[rednia definicja grupy a� Grupa to system algebraiczny (X, j�) z jedynym dziaBaniem binarnym j�, przy czym speBnione s |dania: jest podprzestrzeni X (powBoka liniowa rozpita na zbiorze E). Tw. (podstawowe) X przestrzeD liniowa nad K. Je|eli B jest zbiorem liniowo niezale|nym w X, to 0 �� x(yz) =� (xy)z istnieje maksymalny zbi�r liniowo niezale|ny B �� B G1. DziaBanie j� jest Bczne: "�x, y, z ��X j�(�x,j�(�y, z)�)�=� j�(�j�(�x, y)�, z)� 0 �� +� x +� (y +� z) =� (x +� y) +� z Def. Baz przestrzeni liniowej X nazywamy ka|dy maksymalny podzbi�r liniowo niezale|ny B. �� Wn. Ka|da przestrzeD liniowa X nad K ma baz. �� 1x =� x1 =� x G2. $�e "�x j�(�e, x)�=� j�(�x, e)�=� x Wn. Je|eli przestrzeD liniowa X ma baz B =� ea� to "�x �� X zachodzi jednoznaczna reprezentacja �� {� }� ��+� 0 +� x =� x +� 0 =� x �� x =� Ea�l�a�ea� �� xx�� x��x =�1 x�� x-�1 element odwrotny =� =� ��)�=� �� G3. j�(�x, x j�(�x , x)�=� e �� Komentarz: Zbi�r A jest r�wnoliczny ze zbiorem B, je|eli istnieje bijekcja f:A��B. Piszemy wtedy A~B =� ��+� x +� x�� x�� +� x =� 0 x�� element przeciwyny �� m�wic, |e zbiory A i B s r�wnoliczne. Postulat: Je|eli A jest zbiorem, to odpowiada jemu (?) przedmiot card A ��XA nazywamy liczb Lemat: P�Bgrupa (X, j�) jest grupa wtedy i tylko wtedy, gdy: 1) "�x j�(e, x) =� x 2) kardynaln zb. A. Przy tym: dwa zb. A, B maj t sam liczb kardynaln wyBcznie wtedy, gdy s �� "�x $�x j�(x , x) =� e r�wnoliczne, a wic card A= card B ��A~B Np. A={1,...,n} B={1,...,m}, A~B �� m=n Tw. W przestrzeni liniowej dowolne dwie bazy s r�wnoliczne [B ,B - bazy w X, to card B = card B ] Fakt: Je|eli (G, j�) jest grup, to dla ka|dego a, b �� G r�wnanie: j�(a, x) = b | j�(x, a) = b ma jedno 1 2 1 2 rozwizanie Def. Wymiarem przestrzeni liniowej X nad ciaBem K nazywamy moc bazy tej przestrzeni: dim X = card J: j�(a, x) = b. Przypu[my, |e rozwizanie x istnieje to a �� a-1 j�(a-1, j�(a, x) = j�(j�(a-1, a), x) = B | B - baza w X (�� card B) Np. dim Rn=n ; dim R=�� k Q j�(e, x) = x, prawa strona r�wnania: j�(a-1, b), std: x = j�(a-1, b). x = j�(a-1, b) speBnia r�wnanie: j�(a, x) = Tw. PrzestrzeD liniowa X nad K jest skoDczenie wymierna je|eli dim X = n (n��Z+) - przestrzeD n- b: j�(a, j�(a-1, b)) = j�(j�(a, a-1), b) = j�(e, b) = b wymiarowa Uwaga: f� = G �� G nazywamy podgrup, je|eli G jest podzbiorem zamknitym ze wzgldu na 0 0 dziaBanie grup. MACIERZE S - zb. niepusty, m.,n ��1. Macierz typu m��n nad S nazywamy ukBadem m��n elementowy zbi�r Pier[cieD: To system algebraiczny z wyr�|nionym ukBadem dw�ch dziaBaD binarnych (R, +, ��) przy czym: 1) (R, +) jest grup przemienn (�� gr. Abelowa); 2) (R, ��) jest p�Bgrup (�� Bczne); 3) �� a11 a12 ... a1n �� rozdzielno[ dziaBania �� wzgldem dziaBania +, tzn. "�x, y, z (�x(y +� z) =� xy +� xz �� (y +� z)x =� yx +� zx)� . uporzdkowany w m - wierszach, n - kolumnach A =� ain �� ... aik ��S [� ]� �� m��n �� Je[li dziaBanie �� przemienne pier[cieD przemienny. Je[li dziaBanie �� ma element jednostkowy am1 am2 ... amn �� pier[cieD z jedno[ci. ��a11 ... 0 �� 1 ... 0�� CiaBo: (K, +, ��) �� (K, +, ��, 0, 1), przy czym: 1) (K, +, ��) jest pier[cieniem z jedno[ci; 2) (K \ {0} , +, 1) �� jest grup Np. I =� ... =�diag(�1,...,1)� - macierz jednostkowa ��... ... �� =� diag a11,..., ann - macierz (� )� ��... �� 0 1�� 0 ann �� PrzestrzeD liniowa: �� diagonalna 2 A B DZIALANIA: Fakt Je|eli f �� L(�X ,Y)� to dimker f +�dimim f =�dimX (wymiar jdra + wymiar obrazu = wymiar �� dziedziny) [� ]� ��A +� B =� ai +� bik Je|eli A,B s macierzami tego samego typu (nad K,R), to * �� A =� aik B =� bik Zbi�r [� ]� [� ]� �� jednorodne, y =� 0 ��a� �� A =� a� �� aik �� [� ]� R�wnania liniowe f ��L(�X,Y)� (*�) f (�x)�=� y r�wnanie liniowe ��niejednorodne, y �� 0 �� Mat (K) w macierzy typu m��n nad K jest przestrzeni linow w sensie dziaBania * m��k R�wnania (*) jest niejednorodne �� y ��imf f (�x)� =� 0�� x ��ker f �� ... ... ... �� Mno|enie macierzy: ��... aij ...�� ... bjk ...�� =� ��... cik ...�� Na og�B mno|enie macierzy nie �� Lemat. Je|eli f �� L(�X ,Y)� , to: ... ... ... �� m��l �� l��n �� m��n �� jest przemienne ! 1�� ka|de r�wnanie jednorodne f (�x)� =� 0 ma posta: x ��ker f B0 =� ea� - baza jdra x =� l�a�ea� {� }� �� a� WBa[ciwo[ci 1�� Bczno[ (AB)C=A(BC) 2�� Je|eli y ��im f , to ka|de rozwizanie r�wnania f (�x)� =� y x =� x0 +� xS , gdy x0 ��ker f x - s 2�� rozdzielno[ A(B+C)=AB+AC 3�� a�(b�A)=( a�b�)A ; (a�+b�)A=a�A+b�A dowolne rozwizanie szczeg�lne r�wnania f (�x)� =� y Je|eli Matm��n A �� At =� A =� macierz transponowana (�K)�'� ki ik [�a ]� [�a ]� n��m m��n y ��inf $�s f xs =� y (� )� S Je|eli At = A macierz symetryczna ; At = - A macierz sko[nie symetryczna Niech x bdzie jakimkolwiek rozwizaniem r. f (�x)� =� y t Je|eli K =� C , Matm A �� A*� �� aki �� aik macierz sprz|ona (Hemite a do A) A*=A - macierz (�C)�; [� ]� [� ]� f x -� xs =� f (�x)�-� f (�s)� =� 0 x -� xs ��ker f (� )� samosprz|ona �� Hemite a Je|eli A*A=I, to A nazywamy macierz unitarn Lemat (Tw. o interpolacji odwzorowaD liniowych) X,Y p. liniowe nad K, B =� ea� - baza X, ka|de {� }� a��A t t *� *� t WBasno[ci: (�A +� B)� =� At +� Bt ; (�a�A)� =� a�At ; (�A +� B)� =� A*� +� B*� ; (�a�A)� =� a�A*� ; (�AB)� =� BtAt ~ ~~ odwzorowanie f : B �� Y ma jednoznaczne przedBu|enie liniowe f : X �� Y fB =� f *� ; (�AB)� =� B*�A*� Tw. (o izomorfizmie) Je|eli X,Y - p. liniowe nad K, to r�wnowa|ne s warunki: 1�� X��Y (X izomorficzne Def. Algebra X nad ciaBem K, to sup.(?) algebra (X,l�,��), gdzie 1�� (X,l�) - przestrzeD liniowa nad ciaBem z Y) 2�� dim X = dim Y Np. kn @� km �� n =� m K; 2�� (X,+,��) - pier[cieD; 3�� x(l�y)=l�xy; Je|eli "�x,y xy =� yx przemienne. Je|eli $�e"�x ex =� xe =� x | e - element jednostkowy WYZNACZNIKI �� dimK Matm��n =� m��n aik =� a11E11+�...+�amnEnm Eik =� =� [� ]� pq pq ��0,... (�K)� [�d� ]�,d� ��1, p =� i, q =� k m��n �� a11 ... a1n �� A =� ,.., A2 =� aik =� ... ... �� Matn (�A1 )� �� (�K)� [� ]� n��m Odwzorowanie liniowe f: X��Y ; X,Y p. liniowe nad K 1�� f x1 +� x2 =� f x1 +� f x2 addytywne ; 2�� (� )� (� )� (� )� ��a ... anm�� m1 �� f x =� a� f jednorodne; nazywamy liniowym (�a� )� (�x)� Def. Odwzorowanie det: Matn(�K)� �� K o wBasno[ciach: Def 1 detA jest f. liniow (swoich kolumn) L(� X ,Y)� zbi�r wszystkich odwzorowaD linowych f z X do Y jest p. liniow ~ det�� A1,..., Ak +� Ak ,..., An�� =� det ,..., Ak ,..., An det��..., Ak ,...�� (�A1 )�+� �� ~ �� f +� g (�x)� =� f (�x)�+� g(�x)� (� )� �� l� �� f , g �� L(� X ,Y)� det ,...,a�Ak ,..., A =� a� det ,..., Ak ,..., An (�A1 )� (�A1 )� �� (� )� (� )� n a� f x =� a� f x (� )� �� Def 2 ... A s identyczne to A=0 Y =� X, L(�X, X)� =� L(�X)� Def 3 det $� =� 1(�1 =� e)� nazywamy wyznacznikiem na A f: X��Y jest linowe, f - forma liniowa na X Def 4 Je|eli macierz A ma kolumny zerowe, to detA=0 L(X,K)��X* - przestrzeD dualna (sprz|ona dla X) Def 5 Je|eli B powstaje z A przez przestawienie dw�ch kolumn, to det A = - det B Def. Je|eli f �� L(�X ,Y)� , to ker f �� x �� X A(�x)� =� 0 - kernel f ; imf �� f (�x)� ��Y x �� X - obraz f Def 6 Je|eli p� jest permutacj zb (1,...,n) to det�� Ap� Ap� �� =� sgn A {� }� �� {� }� (�p� )�det (�1)�,..., (�n)�� w. ker f jest podprzestrzeni X , im f jest podprzestrzeni Y Def 7 Je|eli dwie kolumny macierzy A s identyczne lub proporcjonalne, to detA=0 Uwaga Je|eli a�,b� liczba kardynalne, to przez sum a�+b� rozumiemy moc sumy zbior�w rozBcznych Def 8 Wyznaczniki macierzy nie zmieniaj si, gdy do ustalonej kolumny doda inn kolumn mocy a�,b� odpowiednio pomno|on przez skalar $�zb. A,mocya�, A�� B =� �� a� +� b� =� card (�A�� B)� $�zb. B,mocy B 3 A B Def 9 Funkcja det( ) o wBasno[ciach D1-3 jest jedyn i ma posta det A =� sgnp� ap� �� x1�� p� ��Sn (�1)�,...,ap�(�n)� y1�� X '� x =� �� y =� Ax =� �� =� Ax ��Y Def 10 (Cauchy) det AB =� det Adet B ��x �� y �� n�� n�� Def 11 Wyznaczniki macierzy danej i transponowanej jest ten sam det A =� det At sprawdzamy, |e T(.) jest odwzorowaniem liniowym z X do Y. Jest ono bijekcj. Zatem T jest �� izomorfizmem p. lin. Def �� l <� k �� min(�m, n)� k - kolumna T �� m��n �� A �� A T =� A1 (�A1)� ii+�k T A2 =� T =� A1A2 X =� Y �� macierz odwrotna minor macierzy A: m=n DopeBnienie algebraiczne element�w aik Aik =� (�-�1)� Mik gdzie Mik to (�A1 )� (�A1)�T(�A2)� T =� A2 (�A2)� A-�1 �� A-�1 minor macierzy A, dopeBnienie algebraiczne aik Zbi�r wszystkich odwzorowaD A: X �� X , nieosobliwych, jest grup pod wzgldem skBadania Def 12 (Tw. Laplace a) odwzorowaD AB =� I �� B =� A-�1 ��det A, l =� i �� ai1Al1+�...+�ain Aln =� (�1)� ��0, l �� i �� Je|eli A,B macierze maj wBasno[ci AB =� I �� B =� A-�1 BA =� I �� B =� A-�1 (� )� ��det A,l =� k �� -�1 -�1 a1k A1l +�...+�ank Aal =� (�2)� ��0,l �� k (�AB)� =� B-�1A-�1 (�AB)� =� B-�1A-�1 �� -�1 -�1 Macierzowa reprezentacja odwzorowaD liniowych w przestrzeniach skoDczenie wymiernych (�A-�1)� =� A (�A-�1)� =� A X przestrzeD liniowa K, dim X=n | baza X, e =� e1,..., en (� )� Def. Macierz Ad dostawiona do A: Ad=[a ]t (macierz transponowana do macierzy dopeBnieD ik n algebraicznych element�w a ) X '� x =� xiei �� y =� ,.., xn n ik �� (�xq )��K i=�1 Stwierdzamy, |e ��x1�� a11 ... a1n �� A11 ... A1n �� det A ... 0 �� Kn '� y =� ,..., xn �� AAd= ... ... ... ... ... ... ... det A ... = det A*I (�xq )� ��...�� x �� a ... ann��An1 ... Ann�� 0 ... det A�� n n1 �� Skd: Niech (� X , e)� - p. linowa n-wymiarowa , o bazie e =� e1,..., en ; Y, f - p. linowa m.-wymiarowa, o (� )� (� )� A(1/detA*Ad)=I -> A-1=(1/detA)Ad Def. X,Y przestrzenie liniowe nad K, n,m wymiarowe, odpowiednio |e L(X,Y)'�A��A��Mat (K) f m��n bazie f =� f1,..., fn Rzd przeksztaBcenia liniowego A: r(A)=def= dim im A (liczba liniowo niezale|nych el. obrazu), r(A)= (� )� r(A): T(A)=A Matm��n(�K)� - p.. liniowa wszystkich macierzy typu m��n WBasno[ci: (1) Je|eli A jest nieosobliwe to r(A)=n (Y=X) (2) r(A)= liczba lin niezale|nych kolumn (wierszy), najwy|szy stopieD minora r�|ny od zera L(� X ,Y)� - zb. wszystkich odwzorowaD liniowych z X do Y Def. PrzeksztaBcenia elementarne macierzy: I rodzaju: (na wierszach). mno|enie wybranego wiersza przez a� ��0, przestawienie dw�ch wierszy, do Tw. Przestrzenie L(� X ,Y)� oraz Matm��n(�K)� s izomorficzne w szczeg�lno[ci: algebry L(�X)� oraz ustalonego wiersza dodanie liniowej kombinacji pozostaBych Matn(�K)� s izomorficzne II rodzaju (na kolumnach) (to samo) Lemat. Ka|de przeksztaBcenie elementarne: 1) I-rodz A��A = PA, gdzie P jest macierz nieosobliw ; 2) J: II rodz A��A = AQ, gdzie Q jest macierz nieosobliw n A ��L(� X,Y)� x �� X x =� xjej Zastosowanie przeksztaBceD elementarnych: �� j=�1 1 wy|szego rzdu macierzy l� n n n m m 2 obliczanie determinant�w �� A =� A�� xjej�� =� xj A =� xj�� aij fi�� =� aijxj�� fi aij - jednoznacznie �� (�x)� �� (�ej)� �� j=�1 j=�1 j=�1 i=�1 i=�1 �� Tw. (Kronecker Capelli) Rozwa|my ukBad m r�wnaD o n niewiadomych okre[lony element ciaBa K ��b1 �� x1 �� a1x1 +� ... +� x1nx1 =� b1 �� n �� (*)= ik ��a x1 +� ... +� xmnxn =� bm w kt�rym a ��K (C,R,...), b= dany wektor w Km x= - kolumna a1 jxj ��a11 ... a1n ��x1�� x1�� ... �� ... �� j=�1 �� 1m �� b �� x �� f =� �� ... �� =� ... =� Ax : x =� notacja kolumnowa n n �� n �� amjxj ��a ... amn��xn�� xn�� niewiadomych (Km) �� m1 j =�1 �� m��n prostoktny ukB liniowy, T m=n kwadratowy ,,, , ,, A�� A -jednoznaczne odwzorowanie b��0 ukBad niejednorodny b=0 ukB jednorodny 4 A B ��b1 �� x1 �� a11-� l� a12 ... a1n �� (*) ��Ax=b : A=[a ] b= x= �� A x + . .. . + A x =b , A a21 a22 -� l� ... ... ik m��n 1 1 n n j - to j-ta kolumna macierzy A ��... �� ... �� det (A-l�I)= = p (l�) wielomian stopnia n-tego nad K n ��b �� x �� ... ... ... ... n n �� an1 ... ... ann -� l�� Tw. (Kronecker Capelli) UkBad (*) jest niesprzeczny �� je|eli r(A)=r(A ), gdzie A to macierz �� b b utworzona z macierzy A przez doBczenie kolumny wyraz�w wolnych. ( r() rzd macierzy) p (l�)=(-1)nl�n+p l�n-1+ ... + p l�+p Ale K jest algebr zamknita (n��1), zatem istnieje l��K, |e r�wnanie n 1 n-1 n Dow�d: UkBad (*) jest niesprzeczny �� istniej el x ... x w K, |e ich kombinacja liniowa z el bazy daje 1 n (*) ma rozwizanie niezerwe w Kn element b��r(A)=r(A ) b Def. Wielomian p (l�)��det (A-l�I) nad (jest?) wielomianem charakterystycznym. n Wn (1) UkBad jednorodny jest niesprzeczny Ax=0 Wn. (2) Jednorodny ukBad kwadratowy r�wnaD lin Ax=0 (m=n) jest niesprzeczny. Liczba k liniowo (1) l�-waro[ wBasna A | kt�rekolwiek rozwizanie p (l�)=0 l� , ... ,l� n� , ... ,n� (krotno[ci n� , ... n 1 n 1 n 1 niezale|nych rozwizaD: K=n-r | r=r(A) | A=A | Ax=0 ��Ax=0 | dim ker A (=k) + dim im A ,n� ��1 | n� + ... +n� = n) k 1 k (r=r(A)) = n | k+r=n | k =n-r (2) l�-warto[c wBasna A, to odpowiada jej k=n-r (r=r(A-l�I)) liniowo niezal. Wektor�w wBasnych. (3) UkBad jednorodnyAx=0 (m=n) ma rozwizanie niezerowe �� n>r ��det A=0 (tzn A macierz X- n wymiarowa przestrzeD liniowa nad ciaBem K: Zapis (X,e) znaczy: w X wyraz e, n-wym baz e: e , ... 1 osobliwa) e n Je|eli r=r(A)=n to k=0 ukBad ma jedyne rozwizanie zerowe (Uwaga: baza to zawsze zbi�r niepusty) Uwaga: f:L(X,Y) | f(x)=y niesprzeczny �� y��im f , kt�rego ka|de rozwizanie x: x=x +x | 0 s X bazy e: e , ... e lub bazy e : e , ... e 1 n 1 n x ��ker f , x s 0 s-dowolnie dobrane rozwizania r�wnaD jednorodnych (f(x )=n) $� jednakowe odwzorowanie macierzy P=[p ]��Mat (K), |e ik n Je|eli ker f ma baz B , to ker f '� x =S� x e 0 a� a� ��e'1 =� p11e1 +� ... +� pn1en ��e'1 �� e1 �� W danym ukB (*) Ax=y | Ax=y | x ,Ax =0 | x = a� e + ... + a� e 0 0 s 1 1 k k �� Np.: x + 2x + ... nx =1 | X=Kn | x=a� e + ... + a� e | f:Kn��K | f(x)= x + 2x + ... + nx | A= =P-t , kr�tko: e = Pte 1 2 n 1 1 n n 1 2 n ��... ... .... tzn. ��... �� ... �� e' =� p1ne1 +� ... +� pnnen ��e �� [1,2, ... , n] ��e' �� n n n �� x1 �� zwana macierz przej[cia (w X) z bazy e do bazy e �� x= | (Ax=1) �� x = 1 (2x + ... + nx ), x , ... , x ��K WBasno[ci: 1 2 n 2 n ��... �� x �� (1) Macierz przej[cia P transformuje baz e na baz e poprzez swoje kolumny n �� (2) Macierz przej[cia P jest nieosobliwa: det P �� 0 r(A)=1 | r(A ) =1 b (3) Je|eli P jest macierz przej[cia z bazy e do bazy f oraz Q jest m. przej. z f do b. G, to PQ jest m. Przej. z b. e do b. g ��1-� (2x2 +� ... +� nxn)�� 1 �� -�2�� 0 �� P ��x1 �� (X,e) (X,f) ��x2 �� 0�� 0 �� 0 �� x= = = +x + ... + x 2 n ��... �� ... �� 0�� 0 �� 0 �� x �� PQ Q n �� xn �� 0�� 0 �� -� n�� (X,g) k+1=n | k=n-1 f=Pte, g=Qtf �� g= Qt(Pte) = (QtPt)e=(QP)te Tw. (Cramer) Je|eli maciezrz A��Mat (K) jest nieosobliwe, to ukBad kwadratowy r�wnaD liniowych (*) n (4) Je|eli P macierz przej[cia z bazy e do bazy f, to P-1 jest macierz przej[cia z b. f do b. e ��a11x1 +� ... +� an1x1 =� b1 ��D�1 / D� �� P �� (X,e) (X,f) Ax=b, tzn ... ma jedyne rozwizanie postaci x= , gdzie D�= det A , D� 1- to ��....... ��... �� a x1 +� ... +� annxn =� bn ��D� / D�� 1n n �� I Q determinant macierzy utworzonej z A przez zastpienie i-tej kolumny kolumn wyraz�w wolnych Dowod: A��A | Ax= b | A-nieosobliwe | $�A-1 | A-1 | Ax=b | (A-1A)x=A-1b �� x=A-1b �� x=A- (X,e) P*Q=I �� Q=P-1 ��A11 ... An1��b1 �� D�1 �� D�1 / D� �� e1 �� e1'�� 1 �� 1 �� 1 b | A-1=(1/D�)[A ] | x=(1/D�)[A ]b= ... ... ... = = �� ik ki �� ... �� .... �� ... �� D� (*) Pte=e | e= | e = ��... �� ... �� A ... Ann��bn�� D� ��D� �� D� / D�� 1n n n �� e �� e '�� n n �� Wyznaczenie macierzy przej[cia redukuje si do rozwizania r�wnania macierzowego (*) etP = (e )t WEKTORY I WARTOZCI WAASNE K- ciaBo algebraiczne nie zamknite (tzn. ka|dy wielomian stopnia >0 nad K ma przynajmniej jedno zero, X- n wymiarowa przestrzeD z dwiema bazami e, e C (o.k.),Z (nie),R(nie x2+1=0), A=[a ]��Mat (K) dana macierz p ik n n n n n n n n n Def. Je|eli istnieje wektor niezerowy l� (w Kn), |e przy pewnym l��K bdzie: Ax=l�x (Ax=l�x), to X'�x | x = ek = 'ek ' = '�� i=�1 pikei �� = pikxk 'ei = �� pikxk '��ei �� xk ��xk ��xk �� i=�1 k =�1 m�wimy, |e x jest wektorem wBasnym macierzy A, odpowiadajcym warto[ci wBasnej l�. A��(x,l�) �� k =�1 k =�1 k =�1 k =�1 i=�1 Tw. Ka|da macierz A=[a ] nad ciaBem alg. zamknitym ma warto[ci wBasne oraz wektor wBasny. ik m��n ��x1 =� p11x1'+�... +� p1nxn' ��x1 �� x1'�� Dow�d: l�,x to warto[ wBasna i wektor wBasny macierzy A �� jest x��0 oraz l��K | Gdy speBnione �� jest r�wnanie Ax=l�x �� (A-l�I)x=0 �� jest ukB. kwadratowych r�wnaD jednorodnych , tzn. =P | x= Px | x =P-1x ��... ��... �� ... �� x =� p1nx1'+�... +� pnnxn' ��x �� x '�� n n n �� 5 A B Zale|no[ macierzy przestrzeni lin przy zmianie bazy. Rozwa|my diagram przemienny: (Ax)*=� l�x* || x*A =� l�x* | x*A =� l�x* / x (x*A)x =� l�x*x A A (X,e) (Y,f) (X,e) (X,e) 2 2 2 x*A =� l�( x1 +� x2 +� ... +� xn ) A A 2 2 x*(Ax) =� x*l�x =� ( x1 +� ... +� xn )l� 2 2 2 2 a� P b� Q a� P a� P ( x1 +� ... +� xn )l� =� l�( x1 +� ... +� xn ) l� =� l� A A (X,e ) (Y,f ) (X,e ) (X,e ) M unitarne �� U*U=I (��UU*=I ��U*=U-1) B B u =� 2, r �� cosa� -� sin a� np: U =� �� w kt�rym ��sin a� cosa� �� X,Y przestrzenie liniowe skoDczenie wymiarowe n, m A: X��Y, dane przeksztaBcenie lin o macierzy A Fakt 2. widmo macierzy unitarnej jest zawarte w S: U*U=I => s� (A)�� S a� - automorfizm (X,e ) na (X,e) o macierzy P (przej[cia z e do e ) Dow�d: l�,x wart. , wektor wBasny macierzy U b� - automorfizm (X,f ) na (X,f) o macierzy Q (przej[ciaz f do d ) �� x1 �� B macierz operatora A w bazie e ,f �� 2 2 Ux =� l�x | x*U* =� l�x* | x*x =�[�x1,..., xn]��..... =� x1 +� ... +� xn >� 0 �� Mamy, |e xn �� Dla diagramu (1) | Ax=b�B, tj. A=b�-1 A a� (x*U*)Ux =� l�l�x*x Dla diagram�w (2) | A a� =a� B, tj. B=a�-1 A a� 2 2 2 2 (1) B=Q-1 AP x*x =� l� x*x x*x(1-� l� ) =� 0 -� >� 1-� l� =� 0 -� >� l� =� 1 (2) B=P-1 AP n Fakt 3 (Gershgorin, 1931) Je|eli A=[a ] �� Mat (j�), to s� (A) �� D gdzie: D ={l�=C: |l� - a | =< in n i =1 i i ii Def. W Mat (K): Macierz A jest podobna do macierzy B je|eli istnieje macierz nieosobliwa S: B=S-1AS n L� }, (koBo Gershgorin) n A wic podobieDstwo macierzy oznacza, |e s okre[lone na tej samej przestrzeni liniowej, lecz r�|nych n bazach. A�i =� aik �� k =�1 Drobiazgi (a) Rel. ~podobieDstwa macierzy jest r�wnowa|no[ci w Mat (K): A~A | S=p� | A~B =>B~A: | B=B- k �� i n 1 AS ��A=SAS-1=(S-1)-1B(S-1) | A~B & B ~C | B=S-1AS | C=p�-1B p�= p�-1(S-1AS)p� =(ST)-1ASp� ��a11 .... ... ... �� (b) Je|eli A~B, to p (l�)=p (l�) A B �� -macierze podobne maj r�wne wielomiany charakterystyczne ��.... .... .... ... ��. D:| l�-aii| =<L� | suma moduB�w wiersza bez element�w przektnej ��.... ... aii ... �� Dow�d: B=S-1AS | p (l�)=det (B-l� p� )=det(S-1AS-l� p� )=det S-1(A-l� p�)S=p (l�)detS-1=p (l�) B A A �� Def. [lad macierzy: tr A = a +...+a 11 nn �� ... .... .... ann�� Fakt: (1) tr AB = trBA | je|eli A~B, to trA=trB | (B=S-1AS, trB=tr S-1AS=tr A) (2) Je|eli K jest ciaBem algebraicznym, zamknitym to: tr A=l� +...+l� n n (3) Je|eli K jest algebraicznym zamknitym, to detA = l� .... l� 1 n A��Mat (j�) s�(A)=zbie|no[ wszystkich warto[ci wBasnych macierzy A (widmo) n ��n D i=1 n ��a �� A �� A*� =� i TW. Caley-Hamilton A ��Mat (K), f �� P [l� ] wielomian nad ciaBe K. f(x)=a +a l� + ....+ a l� n n n 0 1 n �� DEF wielomian od macie|y f(A)=a I+a A+..... 0 1 A*=A => s� (A) �� R | TW (Caley -Hamilton) Wielomian charakterystyczny p (l� )=p(l�)=det(A-l� p� ) macie|y A, zeruj t n Uwaga: U*U = I | s� (A) �� S macierz. p(A)=0 Fakt. 1 Widmo macierzy Hermite a jest zawarte w R A*=A => s� (A)�� R Dow�d: p(l�)=p +p l� +.....+p l�n | ( p =detA p =(-1)n ) | (p I+p A+....+p xAn=0) | B �� Mat (K), o 1 n n n n 1 n n Tw. je|eli A jest macierz rzeczywist w A*=A ,to A*=A=>s� ((A)�� R) to : (*) BBD=(detB)I | R�wno[ typu (*) to l� - macierzy | B=A-l� I Dow�d: Ax=l� x (l� -warto[ci wBasne x��0 wektor wBasny) (**) (A-l� I)(A-l� I)0=det(A-l� I)I �� p(l�)I Istniej jednoznacznie okre[lone macierze. C ,C ,.....,C W Mat (K) |e: (A-l� I)D=C +C l�+......+C 0 1 n-1 n 0 1 n-1 l�n-1 wykonanie dziaBania w (**) daje: 6 A B (A-l� I )(A-l� I )D=(A-l� I)(C +C l� + ......+C l�n-1)=AC +AC +AC l�+...+AC l� - (C l� +C l� 2+...+C l 0 1 n-1 0 0 1 n-1 0 1 n- 0 2-C l�n)=AC +(AC 1 n-1 n-2 n-1 0 1 n 1 0 1-C )l� +(AC )l�2+.....+(AC C )l�n-1 C l�n=(p I+p l�I+....+p I l�n) "�l��k (x | y) =� x(t)y(t)dt �� -�l Wobec dowolno[ci l� w k: (mo|emy skr�ci k r�wno[ci przez IA,...,Ak) I | AC =p I 0 0 l A | AC I 1 C=p 1 (x | y) =� dt =� 0 ��| x(t) |2 ... | ...... -�l ... | ...... An-1 | AC =p I n-1-C n-2 n-1 Lemat (nier�wno[ CBS) w przestrzeni z $� S(iloczyn skalarny) An | -C =p I n-1 n Nier�wno[ Schwartza : |(x|y)|<(x|y)1/2(y|y)1/2 "� x,y �� X Dow�d: x,y �� X, l� �� C (x+l� y|x+l� y)>=0 AC +(A2C )l� +(A3C )l�2 +...+(AnC )l�n-1-AnC l�n=p(A) 0 1-AC 1 n-1-AnC 0 2-AC n-1 n-1 0=p(A) (x +� l�y | x +� l�y) =� (x | x) +� l�(x | y) +� l�l�(y | y) >�=� 0, "�x, y��X | (x=0 lub y=0) | x,y ��0 Obliczymy l� = - (x|y)/(y|y), podstaw (x+l� y|x+l� y)=.........=(x|x)- (x|y)2/(y|y)>=0 |(x|y)2=<(x|x)(y|y) Wnioski: n n n n Rn (x|y)= �� x y | |�� x y |=<(�� x2)1/2(�� y2)1/2 1 i i 1 i i 1 1 (1) An jest kombinacj liniow macierzy I,A,...An-1 | Ak,k>=n n n n n (2) Je|eli A jest nieosobliwe, to A-1 jest kombinacj liniow rozpit na macierzach I,A,...,An-1 Cn (x | y) =� yi | | yi | �� ( xi |2)1/ 2( yi |2)1/ 2) ��xi ��xi ��| ��| p A-1+(p I+...+p An-1)=0 0 1 n 1 1 1 1 A-1= -(1/p ) (p I+...+p An-1) 0 1 n l l l C <-l,l> x(t)y(t)dt �� ( x(t) |2dt)1/ 2( y(t) |2dt)1/ 2 �� | ��| DEF: wielomian m� =m�(l�), unormowany (tzn wsp�Bczynnik przy najwikszej potdze jest 1) i mo|liwie -�l -�l -�l najmniejszego stopnia, |e m�(A)=w� Lemat: PrzestrzeD z $� S jest przestrzeni unormowan ||x||=(x|)1/2 Wstpne informacje o przestrzeni Banacha i Hilberta Dow�d: 1) ||x||=0 �� (l� (x)=0 x=0 ) 2) ||a� x||=(a� x|a� x)1/2=|a�| ||x|| 3) X przestrzeD liniowa nad ciaBem K=P lub R CBS N 3 2 2 2 2 2 2 2 Odwzorowanie: X'�x��||x||�� R f()��|| || wBasno[ci: x +� y =� (�x +� y | x +� y)�=� (�x | x)�+�(�x | y)�+�(�y | x)�+�(�y | y)�=� x +� y +� 2Re(�x | y)�� x +� y +� 2(�x | y)� �� x +� y +� 2 x y =�(� x +� N1 ||x||=0 �� x-0 (wBasno[ jednoznaczno[ci) N2 ||a� x||=|a�| ||x|| N3 ||x+y||=<||x|| +||y|| (nier�wno[ tr�jkta) Std x +� y �� x +� y nazywamy NORM w przestrzeni liniowej X Lemat: Je|eli (X,|| ||) jest przestrzeni unormowan to (d(x,y)=||x-y|| jest metryk w X n 2 n Def. PrzestrzeD liniow X z $�S nad K(C, R) nazywamy przestrzeni UNITARN (pre Hilberta). Je|eli np: X=R , ||x||=|x| | X=C , ||x||=|z| | X=Rn , ||x||=(�� x )1/2 | X=Cb , ||x||=(�� |x |2)1/2 1 i i=1 i n jest zupeBna nazywamy j przestrzeni W Cn norma Minkowskiego: Cn'�x=(x .....,x ) | ||x|| =(�� |x |p)1/p , 1<p<�� 1 n p i=1 i Ka|da przestrzeD unitarna jest przestrzeni unormowan. DEF: || || oraz || || s r�wnowa|ne [ || ||~|| || ] 0 0 �� x +� y =� x +� y �� np: || || s r�wnowa|ne (tzn zbie|no[ po wsp�Brzdnej) FAKT W przestrzeni unitarnej mamy: * �� x, y s liniowo zale|ne p �� x, y �� 0 �� Lemat: W X, || ||~|| || �� $� "� a�||x|| =<||x||=<b� ||x|| �� 0 a�,b�>0 x �� X 0 Q przestrzeD metryczna zwarta C(Q) zbi�r wszystkich funkcji cigBych rzeczywistych na Q | ||x||=sup|x(t)| t �� Q ORTOGONALNOZ DEF: X przestrzeD liniowa nad K(=C,R); Odwzorowanie: X��X'�(x,y)��(x|y) �� C DEF. X - przestrzeD liniowa z $�S , x, y �� 0 . Je|eli x| y =� 0 to piszemy x ^� y m�wic, |e element x i y (� )� $� S1 (x+y|z)=(x|y) �� C $� S2 (a� x | y)=a�(x|y) s ortogonalne. (Uwaga "�x x|0 =� 0 ) (� )� $� S3 (x | y) =� (y | x) UkBad* x1,..., xn,... nazywamy $� S4 "� (x|x)>=0 oraz (x|x)=0 �� x=0 x Iloczyn skalarny w X 1) ortogonalnym, je|eli xk ^� xl ^� xl =� 0 k �� l (�xk )� (X, || ||) "� ||x ||��0 => $� x ��x (PrzestrzeD Banacha ) m,n�� (� )� (xy) n-x m x n �� l x=(x� ), �� |x� |<�� | ||x||=�� |x� | 1 n 1 n 1 n �� l x=(x� ), �� |x� |2<�� | ||x||=(�� |x� |2)1/2 2) ortonormalnym, gdy jest ortogonalny i unormowany (tj. xk =� 1, "�k ) 2 n 1 n 1 n z def $� S1-4 => (x|y+z)=(x|y)+(x|z) | (x |a�y) =� (a�y | x) =� a�(x | y) =� a�(x | y) n A wic $� S: Np. a) w Rn y =� xi yi baza standardowa e�i jest ukBadem ortogonalnym b) w (�x| )� �� 1 1. odwzorowanie liniowe (dla R) kp� 2. p�Btora liniowe (dla C) i t l c C -�l,l , y =� x ukBad trygonometryczny j�n =� e , k ��Z jest ortogonalny (�x| )� (�t)�y(�t)�dt (�t)� n �� -�l n np: 1) Rn, (x|y)= �� x y 2) Cn , C<-l,l>, x=x(t) <-l,l>��C, cigBa 1 i i (x | y) =� xi yi �� i 7 A B �� sup x x =� 1 1 0 0 �� (UkBad ,j�n�� jest ortonormalny) �� $�' x ��S 2 �� sup x =� x' �� b� >� 0 0 Lemat UkBad ortogonalny jest liniowo niezale|ny "�x��S x �� b� 0 a�1x1+�...+�a�nxn =� 0 | (��|��)�xi x x 0 x =� 1 | x �� 0 �� S | �� b� x �� b� x x1+�..+�a�nxn|xi =� =� 0 (�a�1 )� (�0, xi)� p 0 x x 0 0 =� a�i |xi |xi (xn|xi ) (�x1 )�+�...+�a�i(�xi )�+�...+�a�n b� x �� x �� a� x 0 2 a�i xi =� 0 �� a�i =� 0, i =� 1,2,...,n Wniosek W n-wymiarowej przestrzeni unitarnej, istnieje baza ortogonalna (ortonormalna) | x1,..., xn - PS Proces ortogonalizacji (E.Shmidt) liniowo niezele|ne �� f1,..., fn - baza ortogonalna ortogona ln y W przestrzeni unitarnej X elementy x1,..., xn,... s liniowo niezale|ne. W X istnieje ukBad ortogonalny Komentarz: | PrzestrzeD Euklidesa: | n-wymiarow przestrzeni Euklidesow nazywamy n- e1,...,en,... o wBasno[ci * span ,.., xn,.. span ...,en,... wymiarow przestrzeD unitarn (rzeczywist K=R, zespolon K=C) {�x1 }�=� {�e1, }� V - rzeczywista przestrzeD Euklidesa ( ��|�� , ) | Nier�wno[ CBS: (� )� f2|e1 (� )� Konstrukcja: e1 =� f1, f1 =� x1 | e2 =� f2, f2 =� x2 -� a21e1 z |daniem f2 ^� e1 std a21 =� | 2 x| y (� )� e1 x| y �� x y x, y �� 0 -�1 �� 1 . (� )� x y |e2 |e1 (�x3 )� (�x3 )� e3 =� f3, f3 =� x3 -� a32e2 -� a31e1 z |daniem f3 ^� e1,e2 a32 =� a31 =� 2 2 x| y (� )� e2 e1 Ka|d liczb j� �� 0,p� o wBasno[ci: cosj� =� nazywamy ktem midzy wektorami x y |en-�1 |e1 (�xn )� (�xn )� ... en =� fn, fn =� xn -� an,n-�1en-�1-�...-�an,1e1 an,n-�1 =� ,..., an1 =� $�S: (w przestrzeni Euklidesa) x| y =� x y cosj� (� )� 2 2 en-�1 e1 Cig odwzorowaD liniowych w przestrzeni Banacha: X, Y - przestrzeD unormowana nad K(�R �� C)� | Tak skonstruowany ukBad jest ortogonalny. e1 en �� 1o addytywne UkBad: ,..., ,... jest przyporzdkowanym ukBadem ortonormalnym A: x �� x�� -� odwzorowanie liniowe o e1 en �� 2 jednorodne R�wnanie liniowe: Ax =� y | niesprzeczne �� y ��Im A | x =� x0 +� xs | x0 ��ker A xs - przesunicie Lemat Ka|da n-wymiarowa przestrzeD liniowa nad ciaBem K(�R �� C)� jest przestrzeni Banacha (tzn. (wektor) mo|na tak zdefiniowa norm, |e bdzie ona przestrzeni Banacha) FAKT R�wnowa|ne s warunki: (I) A jest cigBe w pkt. x0 =� 0 | (II) A jest cigBe (w og�le) | X - przestrzeD liniowa nad ciaBem K �� C x1,..., xn - n - wymiarowa baza (�R )�, (III) $�M >�0"�x��X Ax �� M x ~ n izomorf X '� x =� xiei ��.�� x =� ,..., xn n �� (�x1 )��K 1 Just.: (I) �� (II) xn �� 0, n �� , to "�x��X | x +� xn �� x, n �� | 1 ~ 2 �� izom. n 2 �� A x +� xn =� Ax +� Axn ��n�� Ax +� A��0 =� Ax +� 0 =� Ax (� )� �� x =� xi �� =� x �� jest to norma w X | X �� Kn - przestrzeD zupeBna (Banacha) �� 1 �� (II) �� (III) Przypu[my, |e (III) nie zachodzi: �� , "�M >�0$�x AxM >� M xM M =� n, n =� 1,2,3... �� Je[li X , jest jak[ norm w X, to ~ | * M �� 0 0 "�n��X$�x ��0 Ax >� n xn 1 n n CBS n n n 2 �� x =� xiei �� xi ei �� M x | M =� �� ei �� 2 �� 1 1 1 �� 0 0 �� 0 �� 0 xn A�� >� 1, "�n �� ~ �� n xn �� S - sfera jednostkowa w Kn: x =� 1 - jest to zbi�r zwarty (jako domknity i ograniczony). Ka|da norma xn xn jest funkcj cigB ( x -� y �� x -� y ) =� 1 | �� 0 x n xn Stosujemy twierdzenie Weierstrassa: 8 A B n �� xn �� 0 �� Axn �� 0 - sprzeczno[ A =� sup Ax | Ax =� Ax n�� x =�1 Ex. Ka|de odwzorowanie liniowe: A:Rn �� Rm (�Cn �� Cm)� jest cigBe Przestrzenie unormowane: B Kn, Km , Matm��n s liniowo izometryczne (� )� �� a11x1+�..+�a1nxn Matm��n '� A =� ain K =� R �� C �� (�K)� Rn:e [� ]� Ax =� �� ... �� 1 Rm:e' �� 2 n m 2 x1+�...+�amnxn�� am1 �� A =� aik �� i=�1 k =�1 �� U (III) A jest ograniczone w ka|dej kuli x �� r �� Ax �� Mr �� speBnia warunek Lipschitza (� )� FAKT Je|eli X, Y - p. unormowana, a Y ��B , to x1, x2 �� X, Ax1 -� Ax2 =� A x1 -� x2 �� M x1 -� x2 (� )� B(� X ,Y)� - jest przestrzeni unormowan "�S >�0$�Ne� >�0"�n,m�� N2 An -� Am <� e� DEF Je|eli A: X �� Y jest cigiem odwzorowaD liniowych, to liczb "�x -� Am �� An -� Am x <� e� x n, m �� N (�An )�x A =� inf M >� 0 | "�x��X Ax �� M x nazywamy norm cigBego operatora liniowego A. {� }� Anx -� Amx <� e� x FAKT Dla cigBego odwzorowania liniowego A: X �� Y mamy A ��B(� X ,Y)� Ax FAKT Je|eli X ��B, A ��B(�x)� A =� sup Ax A =� sup (�A)� x��0 x =�1 x -�1 A �� q <� 1, to I -� A ma cigBe odwzorowanie[ (�I -� A)� ��B(�X)� ] Ax �� x �� 0 | �� M I -� A =� Ak �� x k =�0 �� (III) | x =� 1 Ax �� A Szereg Ak jest zbie|ny w B(�X)� �� k =�0 n n FAKT PrzestrzeD liniowa B(� X ,Y)� wszystkich cigBych odwzorowaD liniowych A, B z X do Y (X, Y - An+�..+� Am �� A +�..+� A �� qn+�..+�qm ��n,m��0 �� przestrzeD unormowana) jest przestrzeni unormowan w sensie r�wno[ci (P) �� (�A)� A1+�..+� An | Ak zbie|ne (� )� (� )� �� 0 A =� 0 �� A =� 0 sprawdzamy, |e -� A =� -� A I +� A1+�...+� An =� lim -� A I +� A1+�...+� An (�I )�B (�I )�lim (�I )� A +� B �� A +� B (� )� (� )� n�� n�� a�A =� a� A Dotyczy w szczeg�lno[ci przestrzeni Wnioski Niech g(�X )� bdzie grup wszystkich odwzorowaD liniowych A�� B(�X)� , kt�re s odwracalne, B(�X)� =� B(�X , X)� X - przestrzeD B Je|eli A�� g(�X)� oraz B w B(�X)� ma dostatecznie maB form to A +� B =� g(�X)� X* =� B(�X , K)� -przestrzeD dualna [tzn. g(�X)� jest podzbiorem otwartym w B(�X)� ] B(�X)� jest algebr w sensie mno|enia - skBadanie odwzorowaD AB ��B(�X)� , to AB ��B(�X)� . Ponadto AB �� A B A +� B =� A(�I +� A-�1B)�� g(�X)� AB jest cigiem odwzorowaD liniowych w X g(�X)� je|eli A-�1B �� q �� 1 AB =� sup (�AB)�x =� sup A(�Bx)� �� sup A Bx �� A B x =�1 x =�1 x =�1 q B �� Tak|e A-�1 I =� idx , to I =� 1 A �� Matn(�K)� K - algebra zamknita n A1 =� A, A2 =� AA,... , to An �� A x,l� | Ax =� l�x K=�R��C B Kn, Km @� Matm��n(K) (� )� Je[li ciaBo jest algebr zamknit, to macierz posiada wektory i warto[ci wBasne A�� Mat (K) , K- ciaBo n algebr. zamknite x,l� �� Ax=l�x A - odwzorowanie liniowe cigBe A �� A Je[li ciaBo jest algebraicznie zamknite, to macierz posiada wektory i warto[ci wBasne. 9 A B Wektory i warto[ci wBasne odwzorowania Zatem (macierze podobne maj to samo widmo) A��B(X) dimX=n 1�� s�(B) = s�(A) Def. Warto[ci oraz wektor wBasny przeksztaBcenia liniowego A: W X obieramy baz e=(e ,.....,e ) 2�� x=Px 1 n $�! A w Mat (K), |e Ax=Ax x, l� (��0) wektor i warto[ wBasna przeksztaBcenia liniowego A: Wektory i warto[ci wBasne mog ulec zmianie przy zmianie bazy. n Ax=l�x �� Ax=l�x FAKT Je|eli przechodzimy z bazy e do f i P jest macierz przej[cia [f =P��e], to A�� B=P-1��A��P Je|eli V przestrzeD Euklidesa(n), to ka|da forma liniowa f na V [f:V�� K] ma posta lin zatem macierze podobne maj to samo widmo [ s� (A)= s� (B), x=P��x ]. f(x) = (x|y), "� , x��X Wektory i warto[ci wBasne mog ulec zmianie przy zmianie bazy. gdzie y��V jest jednoznacznie okre[lonym elementem. Fakt: Je|eli V to n-wymiarowa przestrzeD Euklidesa, to ka|da forma liniowa f na V [f: V��K] ma posta: Ponadto odwzorowanie f(x)=(x��y) "�x��X gdzie y��V jest jednoznacznie okre[lonym elementem V* '� f �� y��V jest liniowe gdy K=R i jest antyliniowe gdy K=C (staB a� wyB. si ze sprz|eniem). ponadto odwzorowanie V *'�f �� y��V jest liniowe gdy K=R i jest antyliniowe gdy k=C n lin n Wsk. V ma baz f (x) =� f ( ei) =� xi f (ei) =� (x | y) ��xi �� n n 1 �� i=�1 �� Wn: V ma baz: f (x) =� f ei �� =� f (�ei)�=�(�x y)� ��xi ��xi �� FAKT i=�1 i=�1 �� Je|eli A��B(V), to "� odwzorowanie y��V Fakt: Je|eli odwzorowanie A��B(X) jest liniowe to "�y��V odwzorowanie V'�x�� (Ax|�y)��K jest form V'�x��(Ax|y)��K liniow nad V Jest form liniow nad V. Zatem "�y��V istnieje jedyny element z=A*y w V, |e (Ax|�y)= (x|�A*y) Zatem "� istnieje jedyny element z=A*y w V, |e y��V Odwzorowanie A*: V��X jest liniowe (Ax|y)=(x|A*y) Spr: x,y ,y ��V a�,b��K, to 1 2 Odwzorowanie A*:V��V jest liniowe. (Ax|�a�y +b�y )=(x|�A*(a�y +b�y ))= a�*(Ax|�y )+ b�*(Ax|�y )=a�*(x|�A*y )+b�*(x|�A*y )=(x|�a� A*y +b�A*y ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Spr. DEF: Je|eli A��B(V) to operator liniowy A*: V��V okre[lony |daniem : x,y ,y ��V, a�,b��K to 1 2 (Ax|�y)= (x|�A*y) "�x,y��K nazywamy operatorem sprz|onym do A (Ax|a�y +b�y )=(x|A*(a�y +b�y )) 1 2 1 2 szczeg�lnie: A=A* - operator samosprz|ony (Ax|�y)= (x|�Ay) Komentarz: = a� (Ax|y )+ b� (Ax|y ) 1 2 I *=I (A+B)*=A*+B* = a� (x|A*y )+ b� (x|A*y ) 1 2 (a�A*)=a�*A* =(x|a�A*y |+b�A*y ) 1 2 (A*)*=A czyli A* jest liniowe, tu ��B(V). (AB)*=B*A* (A-1)*=(A*)-1, gdy A nieosobliwa DEF. Je|eli A��B(V) to operator liniowy A*:V��V A*=A �� s� (A)�� R - widmo macierzy Hermiitte a jest rzeczywiste okre[lony |daniem (Ax | y)=(x | A*y), "� ��K x,y U- unitarna �� s� (A)�� S widmo macierzy unitarnej le|y na obrbie koBa jednostkowego nazywamy OPERATOREM SPRZ{ONYM do A. Szczeg�lnie A=A*, to m�wimy |e A jest op.samosprz|onym Informacje o diagonalizacji macierzy (Ax | y) = (x | Ay ); F1 Macierz A��Mat (K) K- ciaBo algebraicznie zamknite. Wdanej bazie e=(e ,...,e ) jest macierz n 1 2 Komentarz: diagonizowaln �� gdy e jest baz zBo|on z wektor�w wBasnychmacierzy F2 UkBad wektor�w wBasnych odpowiadajcych r�|nym warto[ciom wBasnym operatora liniowego A: I*=I, (A+B)*=A*+ B*, (a�A)*= a� A* V��V jest liniowo niezale|ny (A*)*=A, (AB)*=B*A* Gdy warto[ci wBasne operatora A s jednokrotne, to wektory wBasne tworz baz V (A-1)* = (A*)-1, je|eli A jest nieosobliwa F3 Wektory wBasne operatora samosprz|onego na przestrzeni n-wym Euklidesa V nad ciaBem K (R lub C) odpowiadajce r�|nym warto[ciom wBasnym s ortogonalne w. Je|eli A��B(V), e=(e ,... e ) baza V, to 1 n D. Niech l� ,l� (l� ��l� ) warto[ci wBasne operatora A, Ax =l� x Ax =l� x l�*=l��R 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 ( Ax| y) =� xt Ay, ( A*x| y) =� xt A* y , (Ax |�x )=(x |�Ax )= (l� x |�x )= (x |�l�x )=l�(x |�x ) 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 (Ax |�x )= (l�x |�x )= l�(x |�x ) �� (l� )(x |�x )=0 �� (x |�x )=0 �� x ,x s ortogonalne 1 2 1 2 1 2 1-l� 2 1 2 1 2 1 2 gdy A[(Ae | e )] i j A��Mat (K), K alg.zamkn. n x, l� | Ax = l�x A*=A => d�(A)��R widmo macierzy Hermitte a jest rzeczywiste Je[li ciaBo jest alg. zamknite, to macierz posiada wektory wBasne i warto[ci wBasne. U - unitarna => d�(U)��S widmo macierzy unitarnej le|y na Wektor i warto[ ODWZOROWANIA: obrze|u koBa jednostkowego. A��B(x), dimX = n INFORMACJE O DIAGONALIZACJI MACIERZY Def. Warto[ wBasna oraz wektor wBasny przeksztaBcenia liniowego A: (F1) Macierz A��Mat (K), K-ciaBo alg.,zamknite, jest w danej n W X obieramy baz e=(e , ... , e ) 1 n bazie e=(e ,... e ) diagonalna �� e jest baz zBo|on z wektor�w 1 n $�! A w Mat (K), |e Ax=Ax n wBasnych macierzy. l�, x (��0) przeksztaBcenia liniowego A: n n x =� xiei, Ax =� xi Aei �� Ax = l�x �� Ax = l�x i i Je|eli przechodzimy z bazy e��f i P macierz przej[cia [f=Pe], to A �� B=P-1AP. A~�B �� A=P-1BP (P nieosobliwa) 10 A B Niech P - macierz przej[cia z ��l�1x1 0 0 ��e1�� e1�� a�n ... a�1n �� e� do e. Wtedy Pte�=e n �� xil� ei =� 0 ... 0 e =� =� i �� ...�� ...�� i �� e �� a� a�nn�� a�n ... a�n1�� 0 0 l�nxn��en�� n n1 �� P=et= ... �� (F2) UkBad wektor�w wBasnych odpowiada r�|nym wart. ��a� a�nn�� 1n �� wBasnym. Op. lin. A:V��V jest liniowo niezale|ny Gdy warto[ci wBasne operatora A s jednokrotne to ��1,i =� j �� wektory wBasne tworz baz V. Wiemy |e (e |e )= i j ��0,i �� j �� Niech e ...,e , 1��k��n - wektory wBasne odp. Kolejnym 1, k �� wart.wBasnym a� & a� , e ��{e } 1 k 1 1 ��a�n ... a�1n ��a�n ... a�n1�� 1 0 0�� e & e s lin. niezale|ne ��indukcja(1��l��k��n) 1 k �� 1) a� e +& a� e =0 => a� a� =0 PP*= ... ... =� .1. 0�� =I 1 1 l l 1=& = l �� 0 2) a� e +& a� e + a� e =0 ��a� a�nn ��a� a�nn �� 0 0 1�� 1 1 l l l+1 1+1 n1 1n �� 1)l�, 2)-1)l�=: l� e =0 => l� = 0 l+1 l+1 l+1 (UU*=Ie U*U=I U*=U-1), wic P=S-macierz unitarna. (F3) Wektory wBasne wektora samosprz|onego na przest Zatem macierz A op A po przej[ciu z bazy e� do e bdzie n wymiarowej Euklidesa V nad ciaBem K (R lub C) odp. postaci P*AP (P*=P-1). Z drugiej strony m. A op A w r�|nym warto[ciom wBasnym s ortogonalne. bazie ortonormalnej e ma posta diagonaln diag(l� l� ) 1& n D-d. Niech l� (��x ), l� (��x ) (l� ��l� )-wart.wB. operatora A Mamy tez: S*AS=diag(l� l� ). 1 1 2 2 1 2 1& n Ax =l� x , Ax =l� x FORMY LINIOWE, FORMY KWADRATOWE 1 1 1 2 2 2 (Ax |x )=(x |Ax ), bo A=A* =(x |l� x ) = l�(x x ), l�=l�*��R X-p.l. nad K=R, f: X*X��R, kt�re jest liniowe ze wzgldu 1 2 1 2 1 1 2 1 2 (Ax |x ) = (l�x |x ) = l� (x |x ) => (l� l� )(x |x )=>(x |x )=>0 na obie zmienne f=f(x,y): f(x+z,y)=f(x,y)+f(x,y) 1 2 1 2 1 1 2 1* 2 1 2 1 2 �� x ort x f(a�x,y)=a�f(x,y), f(x,y+z)=f(x,y)+f(x,z), f(x,a�y)=a�f(x,y) 1 2 x TW. O RZUCIE ORTOGONALNYM nazywamy FORM DWULINIOW. Jest ona symetryczna Je|eli w przest. Euklidesa V, X jest 0 je[li "� ��X f(x,y)=f(y,x). Je|eli zachodzi r�wno[ x,y podprzestrzeni wBa[ciw (nie jest ident z X f(x,y)=-f(y,x) to form nazywamy sko[nie symetryczn. i nie jest zerowa), to V=X ��X, Zad. Ka|d f.2lin f na X mo|na przedstawi(jednoznacznie) 0 gdzie "� mamy x ^� X (x^�x , "�x ��X ) w postaci sumy 2lin form: symetrycznej i sko[nie symetrycz. x��0��X 0 0 0 0 X 0 (F4) Je|eli A jest operatorem samosprze|onym na $�f ,f , "� ��X f=f +f s a x,y a a n-wymiarowej przest. Euklidesa V, to przest. V ma baz (np. f(x,y)=0,5(f(x,y)+f(y,x))+0,5(f(x,y)-f(y,x)) ) ortogonaln (i te| ortonormaln) zBo|on z wekt.wBasnych A. Forma dwuliniowa na n-wym przest. Euklidesa V: D-d,szkic. l� 1-wekt.wB.op.A, ||e ||-1, x ={e } n n 1-wart. e 1 1 1 x =� xiei y =� yjej �� 1 1 V=X ��X , e ^�X . MaB podprzestrzeD l� ,e ��X , 1 n-1 1 n-1 2 2 n-1 n n n tak wybra e aby e ^�e . Rozwa|am podprzest. na e ,e , 2 1 2 1 2 f(x,y)=f( xiei , yjej )= xi yj f (ei,ej )=** �� 1 i i, j,=�1 istnieje podp. ortog. do p. l� ,e ��X 3 3 n-2, TWIERDZENIE - macierz samosprz|ona jest diagonali- f(e ,e )��a , A=[a ] - macierz formy 2lin w bazie e i j ij ij zowalna. DokBadniej: gdy A��Mat (C) ma wBasno[ A*=A, W ustalonej bazie forma jest wilomianem wielu zmien. n to istnieje macierz unitarna S, |e S*AS=diag(l� ,& ,l� ), n 1 n Przebiegajcych i,j. **= aijxi yj �� gdzie l� ,& ,l� - wart. wBasne mat.A, przy czym ka|da warto[ i, j,=�1 1 n wyst. tyle razy ile wynosi jej krotno[ jako pierwiastek Zad. f jest symetryczna(sko[nie sym.)��A jest sym(skos.sym) r�wnania charakterystyczngo. Je|eli f jest form 2lin symetr. na V, to f(x,y)=xtAy=(Ax|y) n =(x|Ay) Obieramy przestrzeD Eulidesa V=Cn z $�S (x|y)= xi yi �� 1 Zmieniamy baz, jak zmieni si macierz formy ? rozumiejc xe x y - wsp�Brzdne elemntu x,y, odp. w bazie i i Na V f jest symetr. i ma w bazie e posta f(x,y)=xtAy standardowej (ortogonalnej) e� e =Pte, x=Px , y=Py , f(x,y)=xtAy=(Px )tA(Py )= Niech A bdzie operatorem samo- =x t(PtAP)y A e-macierz formy w bazie e => PtAP-macierz ��e�1��1 0 0�� sprz|onym na Cn, kt�ry w bazie formy w e �� e� =� .1. 0�� ...��0 e� ma zadan macierz (samosprz)A. ��e� ��0 0 1�� UkBad wektor�w wBasnych operato- FORMY KWADRATOWE n �� ra A (a wic A) tworzy baz ortonor- Je|eli f=f(x,y) jest symetryczn form dwuliniow na V, to funkcj f: X��R �� f(x)=f(x,x) - warto[ formy dwuliniowej na przektnej nazywamy form kwadratow na V. M�wimy wtedy, |e f(.) jest form ��e1�� biegunow (polarn) formy kwadratowej f. f(l�x)=l�2f(x) "� i "� Zachodzi r�wno[: x��V a��R maln przestrzeni Cn : e =� ��...�� Niech elementy e ,...,e bazy 1 n ��e �� f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(x,y)+f(y,y) �� n �� e maj w bazie standardowej e� wsp�Brzdne: f(x,y)=0.5(f(x+y,x+y)-f(x,x)-f(y,y)) "� x,y��V 11 A B Forma dwuliniowa symetryczna na przektnej: e'1 f(x,y)=0.5(f(x,y)-f(x)-f(y)) S=P= ... e'n Zmiana macierzy formy: Def Form kwadratow f na V nazywamy V,e,f forma liniowa na V, A[a ], a =f(e ,e ) ij ij i j �� f(x)>0 dodatnio okr n 1) okre[lon , je|eli "� �� x��0 1) f (x) =� aijxixj =xTAx �� (Ax��n) �� i, j =�1 �� f(x)<0 ujemnie okr (x��An) �� f(x)>=0 dodatnio p�Bokr 2) V(e��e ) 2) p�Bokre[lon, je|eli "� �� x��0 f(x)=xTAx=(x )T(PTAP)x ��xPx �� f(x)<=0 ujemnie p�Bokr �� 3) nieokre[lon, je|eli $� x ��0 i x ��0 ,|e f(x )f(x )<0 macierz formy Wniosek: Forma kwadratowa f na V (=R4) jest: 1) dodatnio okre[lona �� l� ,...,l� >0 �� p�Bokre[lona �� l� ,...,l� >=0 i $�l� ��0 2 2 1 n 1 n i Def Je|eli forma kwadratowa f ma posta (w pewnej bazie) f(x)=l� x +...+l� x �� l� ��R to m�wimy o 1 1 n n i 2) ujemnie okre[lona �� l� ,...,l� <0 �� p�Bokre[lona �� l� ,...,l� <=0 i $�l� ��0 1 n 1 n i tej formie, |e ma posta kanoniczn. 3) nieokre[lona �� $� l� ,l� , l� l� <0 1 2 1 2 2 2 (J) f(x)= l� x +..+l� x >0 �� "�l� >0 1 1 n n i Powiedzmy, |e l� ,...,l� >0, za[ l� ,...,l� <0, 1 k k+1 n 2 2 f(x)= l� x +..+l� x <0 �� "�l� <0 1 1 n n i niekt�re mog by zerami. Wtedy: Tw (Sylwester): Forma kwadratowa f na Rn jest: 1 1) dodatnio okre[lona �� wszystkie minory gB�wne macierzy A s dodatnie xi =� xi i=1,...,k a11 a12 l�i M =a >0, M = , ..., M =detA>0 1 11 2 n a21 a22 za[: dodatnio p�Bokre[lona: 1 xi =� xi i=k+1,...,n a11 a12 -� l�i M =a >=0, M = , ..., M =detA>=0 1 11 2 n a21 a22 dla pozostaBych x =x . i i 2) ujemnie okre[lona �� (-1)kM >0 k=1,2,...,n Wtedy forma daje si zapisa jako k 2 2 2 ujemnie p�Bokre[lona �� (-1)kM >=0 f(x)=x +...+ x - x -...-x n2 Jest to posta normalna formy kwadratowej. k 1 k k+1 W pozostaBych przypadkach forma jest nieokre[lona. Tw (O redukcji formy kwadratowej do postaci kanonicznej) Examplum : Niech f=f(x)=xTAx bdzie f. kwadratow na danej bazie e przestrzeni liniowej. Rn Zbada odwrotno[ formy : Istnieje przeksztaBcenie ortogonalne 2 f(x)=a + ... + a x + 2(x x + x x + ... + x x ) 1 n 1 1 2 2 3 n-1 n V��V �� x=Sx (gdzie S jest macierz unitarn) ,|e forma f ma w pewnej bazie e posta kanoniczn 2 2 f(x)=l� x +...+l� x Dow A-a macierz formy na danej bazie e przestrzeni V jest symetryczna 1 1 n n a 1 ... 0 1 (At=A) Ma wic widmo rzeczywiste. l� ,...,l� warto[ wBasna A. Wiadomo, |e wektory wBasne 1 n 1 ... I Twierdzenie Sylu macierzy A : e ,...,e tworz baz ortogonaln przestrzeni V. 1 n A= . . . II Metoda widmowa 0 ... 1 a n Mamy e =PTe ,x=Px Twierdzenie Gershgorina : Zatem f(x)=(Px )TA(Px )=xTAx=(x )T(PTAP)x Widmo macierzy A jest zawarte w sumie k�B G. i te koBo G to : Jednak (Tw. podst) P diagonalizuje A, gdy PTAP=diag(l� ,...,l� )=D 1 n l� D |l� - a | < L� = 1 i 1 1 zatem f(x)=(x )T D x= D l� l� |l� - a | < L� = 1 n n l�1 0 0 0 x1 2<i<n-1 |l� - a |<L� = 2 | a > 2 na prawo 0 i i 0 l�2 0 0 x2 2 2 Std widmo w R => forma dodatnio okre[lona [x ,...,x ] = l� x +..+l� x 1 n 1 1 n n 0 0 ... ... ... Zamiana formy kwadratowej do postaci kanonicznej. 0 0 ... l�n xn Metoda Lagrange a W unitarnej bazie mamy : I f(x) a = a <> 0 1 n 2 2 F(x) = a x + (...) x + ( reszta bez x ) = a ( x + 2 a /a x x + ...) + pozostaBo[ 1 1 1 1 1 1 12 1 1 2 12 A B Do postaci kanonicznej x jest rozwizaniem szczeg�lnym | f(x ) = y s s 2 = a (x + a� x + ...)2 + pozostaBo[ to ka|de rozwizanie r�wnania f(x) = y ma posta: 1 1 1 2 II "� = 0 , j�(n) = �� a x x = 2�� a x y iii i,j = 1 ij i j j>i ij i j x =� xo +� xs : xo ��ker f a =a<>0 12 f(x)=a x x + Px + Qx + R 1 2 2 (1) Ax = y (A �� A , Kn �� Kn ) P funkcja liniowa nie zawierajca zmiennych x , x 1 2 Je|eli r(A) = r(Ay) Q - funkcja liniowa nie zawierajca zmiennych x , x 1 2 x = x + x x : Ax = 0 R pozostaBa cz[ formy kwadratowej nie zawierajca x , x o s o 1 2 x : Ax = y Piszemy : s 2 2 k + r = n j�(x) = a ( x + Q/a ) ( x + P/a ) + r PQ/a = a( x x ) + f | f = R PQ/a 1 2 1 2 1 k = n r 1 P +� Q Q ' {�x1 =� (x1 +� x2 +� ) {�x1 =� x1 +� x2 -� �� 2 a a (2) X �� B (K =� l� lub R) 1 P -� Q P -� Q {�x2 =� (x1 -� x2 -� ) {�x2 =� x1 -� x2 -� a �� B(x) , O <� A �� q <� 1 2 a a �� x -� Ax =� y �� (I -� A)x =� y �� x =� ((I -� A)-�1 y =� Ak )y �� Ak y Def: f forma kwadratowa na X (dimRX = n) to r(f)=r(A) �� k=�0 0 a) AX + XB = C Definicja jest poprawna, poniewa| A,B,C macierz dana w Mat (C) n e,A �� e , Ae = Pt AP A lub B jest nie nieosobliwe r( Ae ) = r( Pt AP ) = r(A) <=> X + A-1 XB = A-1C A�� B(Matn (C)) Tw. Sylwester o bezwBadno[ci formy kwadratowej . AX =� A-�1XB �� A-�1 B X Je|eli f jest form kwadratow (w pewnej bazie e), to istnieje baza e , |e p 2 q 2 A �� A-�1 B f (x) =� xi,, -� x,,+�i �� p i=�1 i=�1 Jezeli : +� liczby p,q ��Z , p +� q =� r(�f )� O <� A-�1 B �� q <� 1 to istnieje jedno rozwiazani e d (szkic) Tw. Podstawowe e,e ( baza wekt. wBasn. A z wektorem unormowanym ) (3) R�wnanie r�|niczkowe liniowe n-tego rzdu: I ustalony przedziaB na osi R n 2 q 2 f (x) =� l�ixi, -� x, �� p+�i Cn (I) przestrzeD liniowa wszystkich funkcji rzeczywistych UCn na K i=�1 i=�1 l Cn(I) �� C(I) n ln(x(?))(t) =� aox(n)(t) +� ... +� an-�1x(t) +� an e, �� e,, ei,, =� l�i *ei gdzie ai =� ai (t) to funkcje ciagle na I p 2 q 2 , f (x) =� f (x) =� xi,, -� x,p+�i �� i=�1 i=�1 l jest odwzorowaniem liniowym z Cn (I) do C(I) n l to tworzymy operator r�wnaD liniowych n-tego rzdu n � R�wnanie Def. Sygnatura formy kwadratowej f.: lnx =� f ( x =� x( f ) , f =� f (t)��C(I) ) sgn f = (p,q) nazywamy r�wnaniem r�|niczkowym liniowym n-tego rzdu �� jednorodne , f =� 0 znamy: �� p ��niejednorod. , f �� 0 �� Uwaga ''sgn f =� p -� q ''�� Np. �� q x Niekt�re informacje o r�wnaniach liniowych: y'=� f (x) f =� C(I) �� y =� f (t)dt +� c (�� f (x)dx) �� (0) f: X��X - odwzorowanie liniowe x0 Def. Zagadnienie pocztkowe ( te| zagadnienie Cauchy ) dla r�wnania l x = y polega na n �� jednorodne , y =� 0 poszukiwaniu rozwizania x = x(t), kt�re speBnia warunek: �� x f (x) =� y �� niejednorod. , y �� 0 f (x) =� 0 �� x �� ker f ea� -� baza ker f �� x =� l�a�ea� �� a� f (x) =� y �� y ��inf 13 A B std : a�'' + 2x' + 2x = O x = e-t( C cost + C sint ) o 1 2 x(to ) =� a�o , x'(to ) =� a� , ... , x(n-�1) (to ) =� a�n-�1 gdzie: to �� I i a� =� (a�o , ... ,a�n-�1) �� R -� s dowolnieobrane x''+�2x'+�2x =� 1 Zapis 1 1 xs =� x =� x0 +� xs =� e-�t (C1 cost +� C2 sin t) +� 2 2 ln x =� f (x, x',..., x(n-�1) )t =� a� 0 lnx =� ea� t (P(t) cosb�t +� Q(t)sin b�t) a�, b� �� R P,Q - wielomian y Tw 1. ( o istnieniu jednoznaczno[ci ) Je|eli f , a = a (t) s cigBe na I, to i i W (II) a1 =� const "�(t0,a�)�� I �� Rn Jezeli liczba zespolonaa� �� ib� jest k - krotnympierwiastkiem r�wnaniacharakt. ln (l�) =� O r�wnanie(II) ma calk zespolon postaci : zagadnienie pocztkowe O ma jedyne rozwizanie: xs =� ea� t (W1(t) cos b�t +� W2(t)sin b�t) *tg� Tw 2. Je|eli a = a (t) s cigBe na I, to dim ker l = n. i i n gdzie W1,W2 - wielom. stopnia �� max (dgP, dgQ) dg -� stopieD charakt. ln g� - a� �� ib� jest pierwiastkiem r�wn . (l�) =� O ��x =� x(t) �� t �� I a� =� O Ex. n=2 2 x''+�w� x =� Acosm�t O �� im� x''(t) + px'(t) + qx(t) = f(t) b� =� m� x'' = -px' qx + f 2 x''+�w� x =� O 2 Q | x , ... , x UB R.C. l�2 +� w� cosw�t,sin w�t 1 n Operator r�wnania liniowego n-tego rzdu l staBych wsp�Bczynnikach n x0 =� C1 cosw�t +� C2 sin w�t | w� �� m� a (t) = a = const. i = 1, 2, ... i i m� =� w� | O �� iw� , k =� 1 xs =� t(Acosw�t +� b� sin w�t) pozwala skonstruowa UB (ukBad bazowy ). x =� x0 +� t(Acosw�t +� B sin w�t) D. 1) Poszukujemy rozw. r�wnania szczeg�lnego l x = O w postaci n UkBad normalny r�wnaD r�|niczkowych liniowych x =� el�t , l� =� a� �� ib� ��C (=� ea� t cos b�t +� iea� t sin b�t) ��x1'=� a11x1 +� ... +� a1nxn +� f1 �� operatorr�wnanialiniow. ln x =� O �� ln (el� t ) =� O �� el� t ( n(x) ) =� O (*) .......... .......... .......... ��.......... a0 =� 1 ��x '=� a11x1 +� ... +� annxn +� fn n �� ln (l�) =� l�n +� a l�n-�1 +� ... +� an-� l� +� an =� O 1�4�4�4�4�4�14�4� 4�4�4�4� a = a (x) - to funkcje cigBe na ICR 2�4�4�4�1 3� in in R�WNANIE CHARAKTERY TYCZNE DLA lnx=�O S �� f1 �� Jezeli l� =� a� �� ib� jest k - krotnympierwiastkiem r�wn . charakt. to �� f =� M� - funkcjeciagle �� odpowiadajemu uklad liniowo niezaleznych calek �� fn �� ea�t co sb� t ,tea�t cos b�t,..., tk-�1ea�t cos b�t b� �� O �� a�t sin b� t -�1 �� x1 �� e ,tea�t sin b�t,..., tk ea�t sin b�t (b� =� O �� l� =� ea�t ) �� x =� M� , A =� [ain] (*)�� x'=� Ax +� f �� x �� n FAKT. �� Przypisujc w.w. zasadzie ... R�wnanie (*) | x = x(t) , Ex. zagadnienie pocztkowe x'' + w�2�x = O 2 x =� el� t R�wnanie charakt. : l�2 +� w� =� O l�2 =� -w� l� =� ��iw� ��cosw�t w. �� UB �� sin w�t x =� C1cosw�t +� C2sinw�t C1,C2 �� R x'' + 2x' + 2x = 1 najpierw: x'' + 2x' + 2x = O | x = el�t r�wnanie jednorodne l�2 +� 2l� +� 2 =� O D� =� -�4 l� =� -�1 �� i ��e-�t cost �� UB�� n =� 1 -�t �� e sin t 14 A B ��x' =� Ax +� f Niech f =� f (z) �� K ma z <� R (O <� R <� ��) �� | (t0 ,a�) �� Rn �� x(t0 ) =� a� f (z) =� ak zk , z <� R �� k =�0 R�wnanieliniowe ln x =� j� jest �� z ukadem(*) Def.: Jezeli A �� Matn (C), to ln x =� f | a0 x(n) +� a1x(n-�1) +� ... +� an-�1x +� an =� j� �� (*) f (A) =� ak Ak �� 0 ozn. x =� x1 FAKT x2 =� x1' � Je|eli ||A||<R to szereg (*) jest zbie|ny w Mat (C) [tzn. def. jest poprawna !] n .......... n xn =� xn-�1' J. Mat (C) jest p??? Banacha Mamy: x(n) =� -�an x -� an x'-�... -� a1x(n-�1) +� j� 1 q q akAk �� ak Ak �� O �� x1' =� x2 k=� p k=� p �� ' =� x3 ��x2 poniewa ak zk jest zbiezny w | z | <� R. | szereg �� 0 �� M� Cig sum cz[ciowych szeregu (*) speBnia warunek Cauchy, zatem (*) jest zbie|ny. ��x ' =� xn n-�1 WNIOSEK: �� xn ' =� -�an x1 -� an-�1x2 -� ... -� a1xn +� j� Jezeli d� (A)�� K(O, R) to szereg (*)jest zbiezny. �� Justification : l�, x | Ax =� l�x (x �� O) , Ax =� l� x �� A �� l� dla "�l� macierzy A �� x1 �� 0 1 0 ... 0�� x1 �� 0�� M� =� L� M� +� M� Np. �� xn �� -� an L� -� a1 �� xn �� j�� Ak �� 1 eA =� �� Ak "�A �� Matn (C) �� T�w 1. Przy zaBo|eniu jak wy|ej, zagadnienie pocztkowe k =�0 0 k! k! ��x'=� Ax +� f ma dokladniejedno �� (-�1)k �� sin A =� A2k+�1 | R =� �� x(t ) =� a� rozwiozwi globalne �� k=�0 �� e (2k +�1)! 0 �� (-�1)n+�1 ( tzn. okre [kre[ na calym przedziale I ) ln (1+� A) =� An | || A || <� 1 �� 1 n Tw 2. Maksymalna liczba rozwizaD liniowo niezale|nych ukBadu (*) jest r�wna n. �� tk eAt =� Ak , "�A �� Matn (C) , "�t �� R �� UkBad o staBych wsp�Bczynnikach jednorodnych: 0 k! ��x' =� Ax +� f x' =� Ax �� 0 ��x(t ) =� a� | A - macierz stala na I ZP �� x(t) =� eA(t-�t )x0 x(t0) =� x0 �� 0 �� t c� x(t) =� x0 +� A x(s)ds �� t0 �� xik �� t �� xk =� M� xn =� x0 +� A xk -�1(s)ds k =� 1,2,... �� t0 ��xnk�� xk �� x , k �� A (t -� t0 )k x(t) =� x0 +� x0 (t -� t0 ) +� ... +� Ak x0 +� ... 1! k! t -� t0 (t -� t0 )k x(t) =� (1+� A +� ... +� Ak +� ...) x0 1! k! Def. �� (t -� t0 )k 0 eA(t-�t ) =� Ak �� k =�0 k! A(t-�t0 ) x(t) =� e x0 Funkcja od macierzy: 15 A B TWIERDZENIE SPEKTRALNE DLA MACIERZY x �� x �� ||x || �� ||x||, n �� (Por. b) n n PrzestrzeD unormowana (X,||.||) zupeBna w sensie metryki (c), a wic o wBasno[ci Niech A �� Mat (C) n ||x - x || �� 0, m,n �� $� x��X x �� x, n �� , n m n l�1,..., l�k -� wartosci wlasne A nazywamy przestrzeni Banacha. g� ,..., g� (g� �� 1 , g� +� ... +� g� =� n) 1 k i 1 k Niech w p.l. X dane bd normy ||.|| oraz ||.|| . M�wimy, |e s one r�wnowa|ne piszc ||.|| ~� ||.|| , je|eli w 0 0 i (X,||.||) zbie|ne s te i tylko te cigi, kt�re s zbie|ne w (X, ||.|| ) 0 X =�{�x ��Cn (A - l�I)g� x =� O}� i tzn. ||x|| ||.||0 Wlasnosci: x �� x, n �� x �� x, n �� . n n (1) Ax �� Xi , "�xi �� xi , i =� 1,..., n FAKT1. W p.l. X (nad ciaBem C lub R) o zadanych normach ||.|| oraz ||.|| mamy: 0 b aza ||.|| ~� ||.|| �� $� a�,b�>0 "�x��X a�||x|| �� ||x|| �� b�||x|| . i 0 0 0 �� 5�4�6�x 4�7�� FAKT2. Ka|da skoDczenie wymiarowa przestrzeD liniowa X (nad C lub R) jest przestrzeni Banacha (2) Xi �� span ��xi �� ... �� xk �� =� {��}� i =� 1,... �� (tzn. w X istnieje norma ||.||, |e (X,||.||)��B). W skoDczenie wymiarowej przestrzeni Banacha wszystkie �� normy s r�wnowa|ne. (3) "�x �� X zachodzi jednoznaczna reprezentacja x =� xi +� ... +� xk | xi �� X , i =� 1,..., k Dow�d Niech dim X = n (n��N), e = (e , ..., e ) - baza w X. "�x��X mamy jednoznaczn reprezentacj x = 1 n S�n x� e . Odwzorowanie 1 n n (x =� x1 �� ... �� xk ) X'�x �� x~� = (x� , ..., x� )��Kn 1 n Tw. Donforda jest izomorfizmem. Ponadto �� ||x|| = (S�n |x� |2)1/2 (= ||x~�|| w Kn) 1 k 2 Jezeli f jest funkc calkowit ( f (z) =� ak zk ) to dla dowolnej j macierzy �� 0 jest norm w X (tak|e w Kn). Przestrzenie (X,||.||) oraz (Kn,||.|| ) s zatem (liniowo) izometryczne. Std 2 k g� 1 i-�1 (l) (X,||.||) jest (wraz z (Kn,||.|| )) przestrzeni Banacha. 2 A �� Matn (C) oraz "�t �� R f (At) =� f (tl�i )tl * El� i �� i=�1 l=�1 i Niech ||.|| bdzie dowoln norm w X. Nier�wno[ CBS daje 0 2 gdzie El� i to macierze okreslonenastastp ymr�wnaniem: ||x|| = ||S�n x� e || �� S�n |x� | ||e || ��(CBS) b�||x||, gdzie b� = (S�n ||e� || )1/2 0 1 n n 0 1 n n 0 1 k 0 PrzestrzeD Banacha (X,||.||) jest izometryczna z (Kn,||.|| ), zatem sfera jednostkowa 2 El� i x =� xi , i =� 1,..., k S = {x��X: ||x|| =1} (jako podzbi�r domknity i ograniczony: dim X = n <� ��) jest zbiorem zwartym. 0 Norma jest funkcj cigB, zatem tw. Weierstrassa daje: PrzestrzeD Banacha a� = inf ||x|| = ||x || dla pewnego x��S (a wic x ��0) X - p. l. nad ciaBem K = C lub R. Funkcj X'�x �� ||x||��R o wBasno[ciach x��S N1. ||x|| = 0 �� x = 0, Std a� > 0 oraz a� �� ||x||, "�x��S (tj. ||x|| = 1). Je|eli x��X\{0}, to x/||x|| ��S, czyli 0 0 N2. ||a�x|| = |a�| ||x||, a�||x|| �� ||x||, "�x��X, co wraz z (*) daje tez o r�wnowa|no[ci norm. �� 0 N3. ||x + y|| �� ||x|| + ||y|| nazywamy norm w X. Par uporzdkowan (X,||.||) - przestrzeni unormowan. FAKT3. Dane s p.u. X,Y nad wsp�lnym ciaBem K(=C lub R) oraz odwzorowanie liniowe A: X �� Y. Stwierdzamy natychmiast, |e: R�wnowa|ne s warunki: a) "�x��X ||x|| �� 0, (i) A jest cigBe w punkcie x = 0, b) "�x,y��X | ||x|| - ||y|| | �� ||x - y|| (ii) A jest cigBe, c) Funkcja X��X'�(x,y) �� d(x,y) = ||x - y||��R (iii) $� M>0 "�x��X ||Ax|| �� M||x||. jest metryk w X (tzw., metryka indukowana norm). (dla prostoty zapisu norm w X,Y oznaczamy tym samym symbolem ||.||). d) Metryka (c) jest niezmiennicza wzgldem przesunicia: d(x+z,y+z) = d(x,y), "�x,y,z��X. Dow�d. (i)��(ii). Je|eli x �� 0, n �� , x��X, to x + x �� x, n �� , zatem (ii): n n R�wno[ ||x|| = d(x,0) wskazuje, |e norm elementu (jego odlegBo[ od x) mo|na interpretowa jako A(x+x ) = Ax + Ax �� Ax + A(0) = Ax + 0 = Ax, n �� . n n dBugo[ wektora x. (ii)��(iii). Niech A bdzie cigBe. ZaB�|my, |e (iii) nie zachodzi, czyli Cig (x ) w (X,||.||) nazywamy zbie|nym do x piszc n "� M>0 $� x��X ||A(x )|| >� M||x ||, x �� 0. M M M x �� x, n �� lub lim x = x, dla n �� n n Dowolno[ liczby M>0 zredukowana do przypadku M = n (n = 1,2,...) daje je|eli "�n��N $� x �� 0 ||Ax || > n||x ||. n n n "�e�>�0 $� N >�0 "�n��N ||x - x|| <� e� (tzn. ||x - x|| �� 0, n �� ). e� e� n n Jednak relacje Je|eli "�n��N ||A(x/(n||x||))|| > 1 oraz A(x /(n||x ||)) �� 0, n �� n n "�e�>�0 $� N >�0 "�m,n��N ||x - x || <� e� (tzn. ||x - x || �� 0, m,n �� ), e� e� n m n m daj sprzeczno[. Wynikanie (iii)��(i) jest oczywiste. �� to (x ) nazywamy cigiem Cauchy ego. n Oczywiste jest, |e Warunek cigBo[ci odwzorowania liniowego w postaci (iii) oznacza tyle samo, co stwierdzenie: granica cigu zbie|nego jest jedyna, A jest odwzorowaniem ograniczonym w ka|dym podzbiorze ograniczonym (��), w podcig (x ) cigu (x ) zbie|nego do x, jest zbie|ny do x, nk n szczeg�lno[ci cig zbie|ny jest ograniczony: x �� x, n �� , to $� r>�0 "�n��N x �� K(0,r), n n ||A(x)|| �� M, ||x|| �� 1, cig zbie|ny speBnia warunek Cauchy ego (LECZ NIE NA ODWR�T). lub te| Ponadto dziaBania strukturalne A speBnia warunek Lipschitza: "�x ,x ��X ||Ax - Ax || = ||A(x - x )|| �� M ||x - x || 1 2 1 2 1 2 1 2 K��X'�(a�,x) �� a�x��X, X��X'�(x,y) �� x+y��X Je|eli A: X �� Y jest cigBym odwzorowaniem liniowym, to liczb oraz norma ||.|| s cigBe: ||A|| = inf {M>0: "�x��X ||Ax|| �� M ||x||} (a� ,x ) �� (a�,x) �� a� x �� a�x, n �� , n n n n nazywamy norm cigBego odwzorowania (operatora) liniowego A. (x ,y ) �� (x,y) �� x + y �� x + y, n �� , n n n n Oszacowanie (iii) implikuje : ||A|| �� M. 16 A B FAKT6 . (Eq) Je|eli X jest przestrzeni Banacha A��B(X) oraz ||A|| �� q <� 1, to FAKT4. Je|eli A: X �� Y jest cigBym operatorem liniowym, to "�y��X r�wnanie x - Ax = y (P) A =� Ax , sup ma w X jedyne rozwizanie x =�1 x = (I-A)-1y = S�� Ak. k=0 FAKT7. Niech X bdzie przestrzeni Banacha, a G(X) zbiorem wszystkich odwracalnych B(X). Ax (A) A =� (i). G(X) jest grup sup x x��0 (ii) G(X) jest podzbiorem otwartym w B(X) Dow�d wynika z okre[lenia normy ||A||. Dow�d. WBasno[ (i) jest oczywista. (ii) Nale|y zauwa|y, |e ka|dy punkty A w G(X) (dim X > 0) jest Norma ||.|| cigBego operatora liniowego z X do Y ma wBasno[ci N1-3: punktem wewntrznym. W tym celu obieramy B w B(X) |dajc, by norma ||B|| byBa dostatecznie maBa, ||A|| = 0 �� A = 0, ||a�A|| = |a�| ||A||, ||A+B|| �� ||A|| + ||B||. np. ||A-1B|| �� q/(||A-1||). Faktoryzacja: Dla przestrzeni unormowanych X,Y niech B(X,Y,) bdzie zbiorem wszystkich cigBych odwzorowaD A + B = A-1 (I + A-1B) na czynniki odwracalne daje zatem A + B��G(X). (inaczej: G(X) zawiera kul liniowych z X do Y. W szczeg�lno[ci oznaczamy: K(A,r), 0<r<||A-1B|| (��q<�1).) �� B(X) = B(X,X) - algebra cigBych operator�w liniowych na X, X* = B(X,K) - przestrzeD dualna do X (czyli przestrzeD wszystkich cigBych form Komentarz Powy|sze fakty odnosz si w szczeg�lno[ci do przestrzeni B(Kn,Km), a tak|e do algebry liniowych na X). B(Kn), gdzie K = C lub R. A zatem r�wnie| do przestrzeni macierzy Mat (K) oraz algebry macierzy W sensie zwykBej struktury liniowej oraz normy okre[lonej zgodnie z FAKTEM4 przestrzenie B(X,Y), m��n Mat (K). Wiemy bowiem, |e ustalajc bazy w Kn oraz w Km mo|na ustali odwzorowanie B(X), X* s unormowane. Ponadto, gdy w B(X) okre[li mno|enie rozumiane jako skBadanie n odwzorowaD: B(Kn,Km)'�A �� A�� Mat (K), m��n kt�re jest izomorfizmem. Jest to r�wnie| izometria (liniowa), je|eli przyj (A,B)(x) = A(B(x)), "�x��X, ||A|| = ||A|| ( = sup ||Ax||) dla ||x||=1 to B(X) staje si algebr (z jedno[ci e �� I = id , komutatywna jedynie, gdy dimX = 1 �� 0). x W szczeg�lno[ci w przestrzeni (algebrze) Mat (K) grupa G macierzy nieosobliwych jest zbiorem W algebrze B(X) mamy n otwartym. (Jest to swego rodzaju wBasno[ stabilno[ci: ||AB|| �� ||A|| ||B||. je|eli A jest nieosobliwa to A+B te|, jednak, gdy B ma dostatecznie maB norm. Istotnie, AB��B(X) wraz z A i B, a poza tym AB =� (�AB)�(�x)� =� A(�Bx)� �� A Bx �� A B . sup sup sup PrzestrzeD Hilberta x =�1 x =�1 x =�1 X przestrzeD liniowa na K = C lub R. Odwzorowanie XxX '� (x, y) �� (x | y) �� C o wBasno[ciach: ES1. (x + y | z) = (x | y) + (y | z) Oczywi[cie ||I|| = 1, ||An|| �� ||A||n, n = 0, 1, 2, ... ES2. (a� x | y) = a� ( x | y) FAKT5. B(X,Y) przy unormowaniu jak w F.4 jest przestrzeni Banacha wraz z Y. B(X) jest przestrzeni ES3. (x | y) = (y | x) (algebr) Banacha wraz z X. ES4. (x | x) >0 "�x �� X \ {0} (tzn. "�x �� X (x | x) �� i (x | x) = 0 �� x = 0) X* = B(X,K) - przestrzeD dualna do przestrzeni unormowanej X, jest przestrzeni Banacha. nazywamy iloczynem skalarnym w X. Ilocznyn skalarny jest wic funkcj liniow wzgldem pierwszej zmiennej, a p�Btora liniowa wzgldem Dow�d. Niech (A ) bdzie cigiem Cauchy ego w B(X,Y): n pozostaBej; jest funkcj dwuliniow w przypadku K = R. ||A - A || = sup ||(A - A )x|| < e�, dla ||x||=1, m,n �� N . Fakt 1. (Nier�wno[ CBS) W przestrzeni liniowej X z iloczynem skalarnym (�� | ��) mamy oszacowanie n m n m e� Cig (A x) element�w przestrzeni Banacha Y jest r�wnie| cigiem Cauchy ego: 1 1 n 2 2 (*): (�x | y)� ��(�x | x)� (�y | y)� a znak r�wno[ci zachodzi wyBcznie wtedy, gdy elementy x, y s liniowo (*) ||A x - A x|| <� e�||x||, "�x��X, m,n �� N , n m e� zatem istnieje granica zale|ne. Ax =� lim A x, dla n �� , "�x��X. n Dow�d: "�a� �� C, (x + l� y | x + l� y) �� 0, a std: (�x | x)�+� | l� |2 (�y | y)�+� l�(�x | y)�� 0 . Je[li y = 0, teza jest Tak okre[lone odwzorowanie X'�x �� Ax��Y jest liniowe: rzeczywista. Je|eli y �� 0, to biorc l� = - (x | y) / (y | y), otrzymujemy: A(a�x +b�x ) = lim A (a�x +b�x ) = a�Ax + b�Ax . 1 2 n 1 2 1 2 2 2 2 2 Przej[cie graniczne m �� w (*) daje ||(A - A)x|| �� e�||x||, n �� N , skd A - A��B(X,Y). n e� n (�x | y)� (�x | y)� (�x | y)� (�x | y)� Tym samym A = A + (A - A ) jest w B(X,Y). Ponadto (�x | x)�=� -� -� =� (�x | x)�-� �� 0 std (*). Znak r�wno[ci w (*) zachodzi n n (�y | y)� (�y | y)� (�y | y)� (�y | y)� ||A - A || = sup ||(A - A)x|| �� e�, dla ||x||=1, n �� N , n n e� wic A jest granic cigu (A ) w metryce przestrzeni B(X,Y). �� jedynie wtedy, gdy przy pewnym l�, (x + l� y | x + l� y) = 0. To jednak zgodnie z ES4. oznacza, |e x + n l� y = 0, czyli: x, y s liniowo zale|ne.�� Uwaga Zbie|no[ cigu (A ) do A w przestrzeni B(X,Y) to po prostu zbie|no[ cigu (A ) do A n n Fakt 2. W przestrzeni X z ES odwzorowanie X '� x �� (x | x) � �� R jest norm. jednostajna na ka|dej kuli K(0,r), r>0. 2 2 2 FAKT6. Niech X bdzie przestrzeni Banacha, A��B(X) oraz ||A|| �� q <� 1. Dow�d: Mamy : || x || = 0 �� (x | x) = 0 �� x = 0 (ES4.), a�x =�(�a�x |a�x)�=�a�a�(�x | x)�=� a� x , std Wtedy w B(X) istnieje operator (I-A)-1 odwrotny do I-A oraz N.2, a nier�wno[: (I-A)-1 = S�� Ak. k=0 Dow�d. B(X) jest przestrzeni Banacha, przeto r�wno[ 2 2 2 x +� y =� (�x +� y | x +� y)�=� x +� y +� 2 Re(�x | y)� ||An + ... + Am|| �� qn + ... +qm < e�, dla m,n �� N e� 2 2 2 2 stwierdza zbie|no[ szeregu S�� Ak (w przestrzeni B(X)). Ponadto w algebrze B(X) mamy 0 �� x +� y +� 2 Re(�x | y)� �� x +� y +� 2 x y daje N3�� An �� 0, n �� . Je|eli sum szeregu S�� Ak oznaczy przez B, to 0 2 (I - A)B = (I - A)lim(S�� Ak) = lim (I-A)(I + A + ... + An) = lim (I- An+1) = I, dla n �� =�(� x +� y )� 0 (na mocy cigBo[ci mno|enia w algebrze B(X)). W algebrze B(X) r�wno[ (I -A)B = I potwierdza, |e Def. PrzestrzeD liniowa X z iloczynem skalarnym (�� | ��), wyposa|on w norm indukowan tym elementy I - A oraz B s wzajemnie odwrotne: iloczynem skalarnym: || x || = (x | x) � nazywamy przestrzeni unitarn (lub pre-Hilberta) Gdy jest to B = (I - A)-1��B(X) �� przestrzeD zupeBna w sensie metryki indukowanej norm: d(x, y) = || x y || ( = (x - y | x - y) � ) , to nazywamy j przestrzeni Hilberta. 17 A B Fakt 3. W przestrzeni Euklidesa V rozwinicia element�w wedBug bazy ortonormalnej (e) maj n n PrzykBady przestrzeni Hilberta: a) Rn, (�x | y)�=� xk yk b) Cn (�x | y)�=� xk yk c) l 2 �� 2 2 k =�1 k =�1 n n wBasno[ci: 1) x =� xiei , gdzie x = (x | e ) (wsp�Brzdne w bazie ON) 2) x =� xi i i �� 1 1 �� (�x | y)�=� xk yk . Natomiast przestrzeD liniowa C(-l, l) wszystkich funkcji zespolonych cigBych i �� k =�1 n (Pitogorean Theorem) 3) (�x | y)�=� xi yi , gdzie x , y to wsp�Brzdne w bazie (e) elementu x, y. i i �� 1 l ograniczonych na odcinku (-l, l) wraz z iloczynem skalarnym: (�x | y)�=� x(t)y(t)dt nie jest przestrzeni �� Dow�d: WBasno[ 1) jest oczywista. Wystarczy zanotowa r�wno[ -�l Hilberta (brak zupeBno[ci). n n n n n n n �� (�x | y)�=� �� xiei | yk ek �� =� xi ��ei | ykek �� =� xi yk (�ei | ek )�=� xi yi , poniewa| �� Tw. Ka|da przestrzeD Hilberata jest przestrzeni Banacha, lecz nie na odwr�t. 1 1 1 1 i=�1 k =�1 1 �� x +� y =� x +� y �� 1 k =� i �� Fakt 3. W przestrzeni unitarnej mamy: je|eli to elementy x, y s liniowo zale|ne. �� (�ei | ek )�=� �� x, y �� 0 ��0 k �� i Dow�d: ZaBo|enie || x + y || = || x || + || y || oraz r�wno[ || x + y || 2 = (x + y | x + y) daj Re (x | y) = || x || Odwzorowanie V '� x ��Pi��Pi x =�(�x | ei )�ei ��V, i =�1,..., n nazywamy rzutem V na i-t osi �� (CBS ) ortonormalnego ukBadu wsp�Brzdnych (e , ..., e ). 1 n || y ||. Piszc: x y =� Re(�x | y)�� (�x | y)� x y otrzymujemy (�x | y)� =� x +� y . Wobec F1 i �� Fakt 4. Operatory rzutowania P maj wBasno[ci: 1) P �� B(V), to jest P jest cigBym operatorem linowym na V (Ponadto || P || = 1) i i i elementy x, y s liniowo zale|ne �� Pi k =� i �� Ortogonalno[ 2) Pi Pk =� �� Dana jest przestrzeD unitarna X. Je|eli x, y �� X \ {0} oraz (x | y) = 0 to m�wimy, |e elementy x i y s ��0 k �� i ortogonalne, piszc x + y. (Oczywi[cie "�x �� X (x | 0) = 0 lecz to nie oznacza ortogonalno[ci x to 0!). n n A��B(�V)� Niezerowy ukBad element�w x , ..., x , ... o wBasno[ci x ^� x (tj. ( x | x ) = 0), k �� l nazywamy ukBadem 3) "�x��V x =� Pi x Ax =� (�x | ei )�Aei , gdy 1 n k l k l �� 1 1 ortogonalnym. UkBad ortogonalny o wBasno[ci || x || 1, k = 1, 2, ... nazywamy ukBadem ortogonalanym. k Dow�d: Dowodzc 3) wystarczy napisa: x1 xn Je|eli x , ..., x , ... jest ukBadem ortogonalnym, to ,... ,... jest ukBadem ortonormalnym. ��(�x | ei )�, k =� i 1 n �� (�Pi Pk )�(�x)�=� Pi(�Pk x)�=� Pi(�(�x | ei )�ek )�=�(�x | ei )�(�ei | ek )�=� , reszta jest oczywista.�� x1 xn �� 0 , k �� i Fakt 1. UkBad ortogonalny x , x .... jest liniowo niele|ny. 1 2 Uwaga: W rzeczywistej przestrzeni Euklidesa V z wyr�|nion baz ortonormln (e), mamy: x = (x | e ) i i Dow�d: Je|eli dla pewnego n (n �� 2) elementy x , x , ..., x ukBadu ortogonalnego s liniowo zale|ne, to 1 2 n = || x || cos j� , gdzie j� to kt midzy wektorem x (x �� 0) a i-t osi e ukBadu wsp�Brzdnych (e). Ponadto i i i istniej a� , a� , ..., a� w C, |a� | + |a� | + ... + |a� | > 0, |e a� x + ...+ a� x = 0. Std "�i �� {1, ..., n}, 0 = 1 2 n 1 2 n 1 1 n n n (a� x + ... + a� x | x ) = a� || x || 2, czyli a� = ... = a� = 0. Sprzeczno[.�� 1 1 n n i i i 1 n x =�1�� xi =� cosj�i �� cos2 j�k =�1 , co czytamy: x jest wektorem jednostkowej dBugo[ci wyBcznie �� 1 UkBad liniowo niezale|ny nie musi by ortogonalny to jednak mo|na przyporzdkowa jemu ukBad ortogonalny utworzony z kombinacji liniowych. Bli|ej m�wi o tym proces ortogonalizacji Schmidta. wtedy, gdy jego wsp�Brzdne to cosinusy kierunkowe tego wektora z poszczeg�lnymi osiami Fakt (E. Schidt). W przestrzeni unitarnej X, dany jest ukBad liniowo niezale|ny x , ..., x , ... Wtedy, w X ortonormalnego ukBadu wsp�Brzdnych. 1 n istnieje ukBad ortogonalny f , ..., f , .., |e (*) span {x , ..., x } = span {f , ..., f }, "�n = 1, 2, ... 1 n 1 n 1 n Dow�d: kBadziemy: f = x , f = x a f |dajc, aby f ^� f czyli a = (x | f ) / || f || 2, f = x a 1 1 2 2 21 1 2 1 21 2 1 1 n n n,n- f n,1 1 n n-1 1 n,n-1 n n-1 n-1 n,1 n 1 1 1 n-1 - ... a f |dajc, aby f ^� f , ..., f , czyli a = (x | f ) / || f || 2, ... , a = (x | f ) / || f || 2. Tak otrzymany ukBad f , ..., f jest ortogonlany, a zatem liniowo niezale|ny. Relacja (*) jest oczywista.�� 1 n DODATKOWE Uwaga UkBad e , ..., e , ... , gdzie e = f / || f || , n = 1, 2, ... jest ortonormalny 1 n n n n Def. Niech A �� M (K). Je[li istnieje macierz A �� M (K) taka, |e AA = A A = I, gdzie I jest macierz n n Wniosek: W n-wymiarowej przestrzeni Euklidesa istnieje baza ortononalna (ortonormalna). jednostkow stopnia n, to macierz A nazywa si macierz odwrotn do macierzy A. Tw. (Kronecker-Cappelli) UkBad r�wnaD linowych ma co najmniej jedno rozwizanie wtedy i tylko PrzestrzeD Euklidesa. wtedy, gdy rzd macierzy ukBadu r�wnaD jest r�wny rzdowi macierzy rozszerzonej. SkoDczenie wymiarow przestrzeD unitarn V nad ciaBem K ( = C lub R), dim X = n, wyposa|on w Dow�d: Niech A = (A , A , ..., A ) bdzie macierz ukBadu r�wnaD i A = (A , ..., A , B) macierz 1 2 n b 1 n norm || . || indukowan iloczynem skalarnym (�� | ��), a wic || x || = (x | x) � x �� V nazywamy n- rozszerzon tego ukBadu. Zachodz w�wczas nastpujce r�wnowa|no[ci: wymiarow przestrzeni Euklidesa (- zespolon lub rzeczywist). (g� , ..., g� ) jest rozwizaniem ukBadu r�wnaD �� g� A + ... + g� A = B �� B �� L(A , ..., A ) �� 1 n 1 1 n n 1 n W przestrzeni Euklidesa zachodzi nier�wno[ CBS: (�x | y)� �� x y tak, |e przy zaBo|eniu x, y �� 0, �� L(A , ..., A ) = L(A , ..., A , B) �� dim L(A , ..., A ) = dim L(A , ..., A , B) �� 1 n 1 n 1 n 1 n �� rz (A , ..., A ) = rz(A , ..., A , B) �� rz A = rz A 1 n 1 n d (�x | y)� bdzie: ��1 . ( L(..) zbi�r wszystkich kombinacji liniowych wszystkich skoDczonych produkt�w ukBadu ...) �� x y Tw. (Kronecker-Cappelli) i Dow�d wg. Henia: strona 4a W rzeczywistej przestrzeni Euklidesa V przez kt midzy wektorami x, y (x, y �� 0) rozumiemy liczb j� Def. Je|eli istnieje wektor niezerowy l� (w Kn), |e przy pewnym l��K bdzie: Ax=l�x (Ax=l�x), to m�wimy, |e x jest wektorem wBasnym macierzy A, odpowiadajcym warto[ci wBasnej l�. A��(x,l�) (�x | y)� �� <0, p�>, |e cosj� =� . Mamy wtedy (x | y) = || x || || y || cos j� , "�x, y �� V, a ponadto x ^� y �� j� Tw. Ka|da macierz A=[a ] nad ciaBem alg. zamknitym ma warto[ci wBasne oraz wektor wBasny. ik m��n x y Dow�d: l�,x to warto[ wBasna i wektor wBasny macierzy A �� jest x��0 oraz l��K | Gdy speBnione = p�/2 (x , y �� 0). jest r�wnanie Ax=l�x �� (A-l�I)x=0 �� jest ukB. kwadratowych r�wnaD jednorodnych Uwaga: Powy|sza nier�wno[ jest prawdziwa r�wnie|, gdy x lub y jest elementem zerowym, bowiem Def. Rzdem macierzy A = (A , ..., A ) �� M (K) nazywamy rzd ukBadu jej kolumn, rozpatrywanych 1 n m x n przez kt midzy wektorem niezerowym x, a wektorem zerowym 0 mo|na rozumie dowoln liczb j� �� jako wektory przestrzeni Km. <0, p�>. Tw. (o rzdzie macierzy) Rzd macierzy A �� M (K) jest r�wny najwikszemu stopniowi jej nie m x n znikajcych minor�w. W r�wnaniach 2 prostych, gdy: rz A = rz A = 2 przecinaj si (ozn.); rz A = 1, rz A = 1 porywaj si b b (nieoznaczony), rz A = 1, rz A = 2 r�wnolegBe (sprzeczny). b 18 A B TW. (KRONECKERA-CAPELLIEGO). RZD MACIERZY m��n Rzdem macierzy o wymiarze nazywamy: a11x1 +� a12x2 +�...a1nxn =� b1 �� a11 ... a1n �� 1) liczb R r�wn najwy|szemu ze stopni jej r�|nych od zera minor�w, gdy macierz jest niezerowa; (*) ... �� A =� ... �� 2) liczb zero, gdy macierz jest zerowa am1x1 +� am2x2+�...amnxn =� bm�� am1 ... amn�� Rzd macierzy speBnia nastpujc nier�wno[ 0 �� R �� min(�m, n)� ��a11 ... a1nb1 �� Rzd macierzy nieosobliwej stopnia n jest r�wny n; rzd kwadratowej macierzy osobliwej i niezerowej �� jest ni|szy od jej stopnia. (**) x1 =� a�1, x2 =� a�2,..., xn =� a�n C =� ... �� a ... amnbm�� m1 �� PRZESTRZEC PRZEDHILBERTOWSKA (UNITARNA PRZESTRZEC LINIOWA) Iloczynem pseudoskalarnym na przestrzeni liniowej E nad ciaBem R nazywamy odwzorowanie UkBad liniowy (*) zBo|ony z m r�wnaD o n niewiadomych jest rozwizywalny wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(C), przy czym R(A) = R(C) = n, to ukBad (*) na dokBadnie jedno rozwizanie, gdy za[ �� :E �� E '� x, y a� x| y ��R speBniajce dla dowolnego a� ��R i dowolnych x, y, z ��E nastpujce | (� )� R(A) = R(C) = r < n, to ukBad ma nieskoDczenie wiele rozwizaD zale|nych od n - r parametr�w. DOW�D warunki: K o n i e c z n o [ . Je[li ukBad (*) ma rozwizanie (**) to R(A) = R(C), bo rzd macierzy C nie ulegnie 1o y| x =� x| y (symertia) 2o a�x| y =� a� x| y (jednorodno[) 3o x +� y|z =� x|z +� y|z zmianie w wyniku odjcia od kolumny wyraz�w wolnych sumy i-tej kolumny pomno|onej przez a� , i a ostatnia kolumna wyraz�w wolnych zostanie wyzerowana. +� (rozdzielno[ wzgldem dodawania) 4o x| x ��R0 D o w � d d o s t a t e c z n o [ c i . W przypadku r = n jednoznaczno[ rozwizania jest oczywista bo ukBad jest albo ukBadem Cramera, albo r�wnaD jest wicej ni| niewiadomych - r�wnowa|ne ukBadowi Cramera. Gdy r < n, to mo|na tak przenumerowa zmienne i wybra r r�wnaD spo[r�d r�wnaD ukBadu Je|eli ponadto speBniony jest warunek 5o x| x =� 0 �� x =� 0 to odwzorowanie nazywamy iloczynem (*), by otrzyma ukBad Cramera o r r�wnaniach: skalarnym okre[lonym na przestrzeni liniowej E. Par E, ��|�� , tzn. przestrzeD liniow E wyposa|on w (� )� a11x1+�...+�a1rxr =� b1 -� a1r +�1xr +�1+�...-�a1nxn �� (***) ... �� iloczyn skalarny ��|�� , nazywamy przestrzeni liniow unitarn lub przestrzeni przedhilbertowsk. ar1x1+�...+�arrxr =� br -� arr +�1xr +�1+�...-�arnxn �� Funkcja dwu zmiennych speBniajca warunki 1o - 3o jest symetryczn form dwuliniow; je|eli tak|e 4o - Wtedy pozostaBe r�wnania ukBadu (*) jako zale|ne od r�wnaD ukBadu (***) mo|na odrzuci. UkBad (***) to dodatnio p�Bokre[lon lub dodatnio okre[lon; gdy ponadto 5o - to jest to symetryczna forma jest jednoznacznie rozwizalny wzgldem zmiennych x1,.., xr w zale|no[ci od pozostaBych zmiennych dwuliniowa dodatnio okre[lona. W unitarnej przestrzeni liniowej zawsze wprowadzamy norm elementu xr +�1,..., xn . Wobec tego ukBad (*) jest nieoznaczony, a jego rozwizanie zale|y od n - r dowolnych za pomoc wzoru x : =� x| x parametr�w (kt�rymi mog by np. zmienne xr +�1,..., xn ). WEKTORY I WARTOZCI WAASNE a11 -� l� a12 (*) A -� l�E =� =� l�2 -� trA ��l� +� det A =� 0 a21 a22 -� l� ��a11 -� l� a12 ��x1�� 0�� (**) (�A -� l�E)�X =� 0 lub �� =� �� a21 a22 -� l��x2�� 0�� R�wnanie (*) nazywamy r�wnaniach charakterystycznym macierzy A, jego lew stron - wielomianem charakterystycznym macierzy A, pierwiastki l�1,..., l�n r�wnania (*) - warto[ciami wBasnymi macierzy A, wektory X1,.., Xn bdce rozwizaniami r�wnaD (**) dla warto[ci wBasnych macierzy - wektorami wBasnymi macierzy A. Wektor wBasny odpowiadajcy warto[ci l� znajdujemy rozwizujc jedno i z r�wnaD r�wnania (**).

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Algebra (teoria)
Algebra Teoria podzielnosci
podstawy algebry teoria
Algebra I Teoria Grup
Algebra liniowa teoria
pawlikowski, fizyka, szczególna teoria względności
Teoria i metodologia nauki o informacji
teoria produkcji
Cuberbiller Kreacjonizm a teoria inteligentnego projektu (2007)
Teoria B 2A
Teoria osobowości H J Eysencka
silnik pradu stalego teoria(1)
Rachunek prawdopodobieństwa teoria
Wstęp do pakietu algebry komputerowej Maple
Teoria konsumenta1 2
niweleta obliczenia rzednych luku pionowego teoria zadania1

więcej podobnych podstron