W I C Z E N I E 7
W Y Z N A C Z A N I E L O G A R Y T M I C Z N E G O D E K R E M E N T U T AU M I E N I A
O R A Z W S P AC Z Y N N I K A O P O R U O ZR O D K A .
W p r o w a d z e n i e
C i a Bo d r g a j c e w r z e c z y w i s t y m o [r o d k u z u p By w e m c z a s u z m n i e j s z a
a m p l i t u d d r g a D, m a l e j e e n e r g i a m e c h a n i c z n a p o r u s z a j c e g o s i c i a Ba
z a m i e n i a j c s i w e n e r g i w e w n t r z n o [r o d k a , w k t r y m p o r u s z a s i c i a Bo o r a z
w e n e r g i w e w n t r z n c i a Ba p o r u s z a j c e g o s i . S t r a t y e n e r g e t y c z n e z a l e | o d
r o d z a j u o [r o d k a o r a z o d k s z t a Bt u c i a Ba u c z e s t n i c z c e g o w r u c h u .
C i a Bo w o [r o d k u r z e c z y w i s t y m p o r u s z a s i r u c h e m d r g a j c y m n i e s w o b o d n y m .
D o z n a j e z a t e m o p o r w r u c h u . S i Ba o p o r u o [r o d k a z a l e |y o d p r d k o [c i
p o r u s z a j c e g o s i c i a Ba . D l a m a By c h p r d k o [c i m o |e m y u w a |a , |e s i Ba o p o r u
F ~ V ,
l u b w p o s t a c i r w n a n i a
F = - b V ,
g d z i e : b - j e s t w s p Bc z y n n i k i e m o p o r u z a l e |n y m o d k s z t a Bt w c i a Ba i r o d z a j u
o [r o d k a .
Z n a k m i n u s o z n a c z a , |e s i Ba o p o r u j e s t z a w s z e p r z e c i w n a w z g l d e m w e k t o r a
p r d k o [c i . W a r t o [ l i c z b o w a b r w n a j e s t s i l e d z i a Ba j c e j n a c i a Bo p o r u s z a j c e
s i z j e d n o s t k o w p r d k o [c i . R |n i c z k o w e r w n a n i e r u c h u c i a Ba d r g a j c e g o w
o [r o d k u s t a w i a j c y m o p r m o |e m y z a p i s a w p o s t a c i
2
d x d x
m = - b - k x
d t 2 d t
,
d x
= V
d t
g d z i e : .
P o u p o r z d k o w a n i u
d 2 x b d x k
+ + x = 0
d t 2 m d t m
.
b k
= 2 = 2
m m
O z n a c z a j c , o r a z o t r z y m a m y r w n a n i e :
2
d x d x
+ 2 + 2 x = 0
d t 2 d t
. / 1 /
J e s t t o j e d n o r o d n e r |n i c z k o w e r w n a n i e d r u g i e g o r z d u o s t a By c h
w s p Bc z y n n i k a c h . C h a r a k t e r r o z w i z a n i a t e g o r w n a n i a z a l e |y o d w a r t o [c i
w s p Bc z y n n i k a . P r z y p u [m y , |e c a Bk s z c z e g l n r w n a n i a j e s t w y r a |e n i e
x = e t .
/ 2 /
A b y w y z n a c z y w s p Bc z y n n i k n a l e |y c a Bk / 2 / p o z r |n i c z k o w a n i u
o d p o w i e d n i o p o d s t a w i d o r w n a n i a / 1 / . O t r z y m a m y w w c z a s :
w i c z e n i e 7 1
2 e t + 2 e t + 2 e t = 0
.
S t d Ba t w o z a u w a |y , |e
2
+ 2 + 2 = 0
/ 3 /
j e s t r w n a n i e m c h a r a k t e r y s t y c z n y m .
J e |e l i w y r |n i k r w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o j e s t w i k s z y o d z e r a ,
w w c z a s m a m y d o c z y n i e n i a z r u c h e m a p e r i o d y c z n y m .
R o z w i z a n i e o g l n e
1 2
x = A e t + B e t ,
2 2
1 = - + 2 + 2 i 2 = - + -
g d z i e : ,
2 2 2 2
- t
x = e - t A e + B e - - t
( )
l u b . / 4 /
S t a Be A i B w y z n a c z a m y z w a r u n k w p o c z t k o w y c h n p . : d l a t = 0 |d a m y a b y :
x = 0 i V = V 0 . / 5 /
Z a u w a |m y , |e V = d x d t , z a t e m
2 - 2 t 2 2 - 2 t 2
V = - e - t A e + B e - 2 - 2 t + e - t A 2 - e - B 2 - e - 2 - 2 t
.
N a k Ba d a j c w a r u n k i / 5 / w r w n a n i a c h / 4 / i p o w y |s z y m , o t r z y m u j e m y u k Ba d
r w n a D a l g e b r a i c z n y c h :
A + B = 0
2 2
- A + B + - A - B = V 0
( ) ( )
,
k t r e r o z w i z u j e m y w z g l d e m s t a By c h A i B . P o p r o s t y c h p r z e k s z t a Bc e n i a c h
d o s t a j e m y :
1 V 0 1 V 0
A = B = -
2 2
2 - 2 i 2 - 2 .
O s t a t e c z n i e k i n e m a t y c z n e r w n a n i e r u c h u / 4 / d a s i z a p i s a w p o s t a c i
2 2 2 2
1 V 0
- t
x = e - t e - e - - t
( )
2
2 - 2
, / 7 /
l u b
V 0
x = e - t s i n h 2 - 2 t
( )
2 - 2
.
" = 2 - 2 )#0
, t o
J e |e l i w y r |n i k r w n a n i a / 3 / j e s t m n i e j s z y o d z e r a t z n .
" = i 2 - 2 , g d z i e - 2 *#0
2
m o |e m y z a p i s a a i j e s t j e d n o s t k u r o j o n
i = - 1 . P r z y j m u j c , |e w c h w i l i p o c z t k o w e j t = 0 c i a Bo z n a j d o w a Bo s i w
p o Bo |e n i u r w n o w a g i i p o r u s z a Bo s i z p r d k o [c i V 0 ( c o o d p o w i a d a w a r u n k o m
w i c z e n i e 7 2
/ 5 / ) r o z w i z a n i e r w n a n i a / 1 / o t r z y m u j e m y w p o s t a c i / 7 / d o k o n u j c w n i m
p o d s t a w i e D
2 - 2 ! i 2 - 2 .
Z a t e m
2 2 2 2
1 V 0
x = e - t e i - t - e - i - t
( )
2
i 2 - 2
,
l u b p o w y k o r z y s t a n i u w z o r u E u l e r a
V 0
x = e - t s i n 2 - 2 t
( )
2 - 2
. / 8 /
J e |e l i w y r |n i k r w n a n i a / 3 / " = 0 , w w c z a s r o z w i z a n i e m o |e m y z a p i s a w
p o s t a c i
x = e t A 2 + B 2 t
( )
, / 9 /
g d z i e : = - .
d x
V = = - e - t A 2 + B 2 t + B 2 e - t
( )
d t
O b l i c z a j c , o r a z n a k Ba d a j c w a r u n k i / 5 /
o t r z y m a m y u k Ba d r w n a D a l g e b r a i c z n y c h w z g l d e m s t a By c h A , B :
A 2 = 0
B = V 0
2
.
C o p o z w a l a z a p i s a r o z w i z a n i e / 9 / w p o s t a c i
x = V 0 t e - t .
/ 1 0 /
R o z w i z a n i e / 1 0 / o d p o w i a d a t z w . p r z y p a d k o w i g r a n i c z n e m u k i e d y t o c i a Bo
w y k o n u j e w y c h y l e n i e , z k t r e g o p o w r t d o s t a n u r w n o w a g i z m i e n i a s i w
z a l e |n o [c i o d c z a s u j a k f u n k c j a w y k Ba d n i c z a . N a j b a r d z i e j i n t e r e s u j c y m n a s
p r z y p a d k i e m j e s t p r z y p a d e k o p i s a n y r o z w i z a n i e m / 8 / . O d p o w i a d a o n d r g a n i o m
p e r i o d y c z n y m o m a l e j c e j w y k Ba d n i c z o a m p l i t u d z i e
V 0
A = e - t
2 - 2 , / 1 1 /
l u b
A = A 0 e - t .
S z y b k o [ z a n i k u d r g a D z a l e |y o d w a r t o [c i w s p Bc z y n n i k a . W y k r e s
w y c h y l e n i a w f u n k c j i c z a s u ( p a t r z r w n a n i e 9 ) p r z e d s t a w i a r y s u n e k p o n i |e j .
w i c z e n i e 7 3
N i e c h A N i A N + 1 o z n a c z a j k o l e j n o p o s o b i e n a s t a j c e a m p l i t u d y w y r a |a j c e s i
o d p o w i e d n i o w z o r a m i :
A N = A 0 e - t
i
A N + 1 = A 0 e - ( t + T ) ,
g d z i e : T - o k r e s d r g a D,
A N A N
= e T l n = T = D
A N + 1 A N + 1
t o i ,
g d z i e : D - n a z y w a m y d e k r e m e n t e m t Bu m i e n i a .
= D T = b 2 m
W s p Bc z y n n i k t Bu m i e n i a o b l i c z a m y z e w z o r u , a l e ;
2 m D
b =
T
s t d . / 1 2 /
L o g a r y t m i c z n y d e k r e m e n t t Bu m i e n i a o b l i c z y m o |n a z d w c h d o w o l n y c h l e c z
[c i [l e o k r e [l o n y c h w c z a s i e a m p l i t u d , n p . a m p l i t u d y A N i A N + k , g d z i e k j e s t l i c z b
t = k T
n a t u r a l n z w i z a n z c z a s e m o b s e r w a c j i t i o k r e s e m d r g a D T w z o r e m ,
l = k - 1
A N + l l = k - 1 A N + l A N
k D = l n = l n = l n
"
l = 0 A N + l + 1 l = 0 A N + l + 1 A N + k .
W t e n s p o s b
1 A N
D = l n
k A N + k ,
/ 1 3 /
O p i s u r z d z e n i a p o m i a r o w e g o .
U r z d z e n i e p o m i a r o w e s k Ba d a s i z w a h a d Ba g r a w i t a c y j n e g o z
w y m i e n n y m i o b c i |n i k a m i ( z e w s k a z w k ) z a w i e s z o n y m i n a d w c h d Bu g i c h
s Ba b o r o z c i g l i w y c h n i t k a c h . P o d c z a s w a h a D w s k a z w k a o b c i |n i k a p r z e s u w a
s i n a t l e r e g u l o w a n e j s k a l i m i l i m e t r o w e j . P Ba s z c z y z n a d r g a D j e s t p r o s t o p a d Ba d o
o d p o w i e d n i e j p Ba s z c z y z n y p r z e k r o j u o b c i |n i k a . W y c h y l e n i e w a h a d Ba n a t l e
s k a l i o b s e r w u j e m y p r z y p o m o c y s o c z e w k i d y f r a k c y j n e j .
w i c z e n i e 7 4
P r z e b i e g p o m i a r w .
1 . W a h a d Bo w p r a w i a m y w d r g a n i a [c i [l e p Ba s k i e p o u p r z e d n i m s t w i e r d z e n i u , |e
p u n k t r w n o w a g i w a h a d Ba p o k r y w a s i z z e r e m s k a l i m i l i m e t r o w e j .
2 . O d c z y t u j e m y n a p o d z i a Bc e , ( z t e j s a m e j s t r o n y p o Bo |e n i a r w n o w a g i ) k o l e j n e
a m p l i t u d y w y k o n u j c k i l k a n a [c i e o d c z y t w . P o m i a r y p o w t a r z a m y z a c z y n a j c
z a w s z e o d t e j s a m e j a m p l i t u d y p o c z t k o w e j .
3 . S p o r z d z a m y w y k r e s k r z y w e j t Bu m i e n i a A N = f 1 ( t ) o d k Ba d a j c n a o s i a c h
u k Ba d u a m p l i t u d m i e r z o n w m m , a c z a s w o k r e s a c h .
4 . S p o r z d z a m y w y k r e s j a k w p u n k c i e 3 f u n k c j i l n A N = f 2 ( t ) .
5 . O b l i c z a m y l o g a r y t m i c z n y d e k r e m e n t t Bu m i e n i a . P o t r z e b n e a m p l i t u d y
o d c z y t u j e m y z k r z y w e j t Bu m i e n i a w r |n y c h j e j m i e j s c a c h . O b l i c z a m y
w a r t o [ [r e d n i l o g a r y t m i c z n e g o d e k r e m e n t u t Bu m i e n i a .
6 . W y z n a c z a m y [r e d n i o k r e s d r g a D w a h a d Ba m i e r z c k i l k a k r o t n i e c z a s t r w a n i a n
d r g a D. ( L i c z b n p o d a p r o w a d z c y z a j c i a n p . n = 1 0 0 ) .
7 . W y z n a c z a m y m a s w a h a d Ba n a w a d z e l a b o r a t o r y j n e j .
8 . O b l i c z a m y w s p Bc z y n n i k o p o r u z e w z o r u / 1 2 / .
9 . P o w t a r z a m y p o m i a r y d l a w a h a d e B o i n n y c h k s z t a Bt a c h .
1 0 . P r z e p r o w a d z a m y o c e n b Bd w .
1 1 . W y c i g a m y w n i o s k i .
O c e n a b Bd w .
1 . B Bd m a k s y m a l n y p r z y p o m i a r z e a m p l i t u d y o k r e [l a m y b i o r c p o d u w a g
n a j m n i e j s z p o d z i a Bk s k a l i o r a z r o z r z u t p u n k t w p o m i a r o w y c h n a
p Ba s z c z y zn i e A , t .
2 . P r z y o s z a c o w y w a n i u m a k s y m a l n e g o b Bd u p o m i a r u d e k r e m e n t u k o r z y s t a m y
z m e t o d y r |n i c z k i z u p e Bn e j w y k o r z y s t u j c w z r / 1 3 / .
1 A N + A N + k
"D = "A N
k A N A N + k
.
3 . B Bd p o m i a r u o k r e s u o k r e [l a m y z b Bd u p o m i a r u c z a s u o b s e r w a c j i .
" n T
( )
"T =
n
,
g d z i e : n - l i c z b a z a o b s e r w o w a n y c h d r g a D,
" n T
( )
- b Bd z a l e |n y o d n a j m n i e j s z e j d z i a Bk i s t o p e r a o r a z p r z y j t e g o b Bd u
r e a k c j i u r u c h o m i e n i a i z a t r z y m a n i a s t o p e r a .
4 . M a k s y m a l n y b Bd p o m i a r u w s p Bc z y n n i k a t Bu m i e n i a o b l i c z a m y m e t o d
r |n i c z k o w a n i a l o g a r y t m i c z n e g o
"D "T "m
"b = b + +
D T m
.
w i c z e n i e 7 5
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