7945641924

4 Ciąg i granica ciągu

Zestaw 4. Ciąg i granica ciągu

Zadanie 4.1. Napisać pięć pierwszych wyrazów ciągu (a„) określonego następująco: a) dn = 2    b) a„ =    c) a_n = ■■ ^ + -^{1 +} ^

d) «„ = (-1)"« ■    _e)^ = -„(2 + (-!)“) f)«„ = _Sin =

g) On = (—1)" + sin    h) a_n = 1 + n sin    i) a_n = 1 +    ^cos ^

Zadanie 4.2. Podaj wzór na n — ty wyraz ciągu (a_n), jeśli:

a) (a„) — (4,1, -2, -5, -8,...) b) (a_n) = (180,90,45,22.5,11.25,...) c) (an) = (10, -17,24, -31,38,...) d) oj = 100, a_n = a_ra_j - 10 dla n > 1

e)    ai = 10, a_n = 2a„_i dla n > 1 f) aj = 1, a„ = a_n-1 + 3^n_1 dla n > 1

Odp.: a) a_n = 7 - Sn, b) a_n = f?, c) a_n = (-l)ⁿ (3 + 7n), d) a_n = 110 - lOn, e) a„ = 5 • 2ⁿ, f) ^an = \ (3" - 1) .

Zadanie 4.3. Obliczyć piąty wyraz ciągu (a_n), jeśli suma jego n pierwszych wyrazów wynosi 4n²—3n.

Odp.: a₅ = s₅ — s₄ = 33.

Zadanie 4.4. Zbadać monotoniczność ciągów:

1    n — 1

a) On = —— b) an = -——    c) a„ = n² -8n + 15

n + 1    3n + 1

d) a_n — ⁿ e) a_n — — n² + 3n — 2 f) a_n — ⁿo~*" ^

’ n + 2    ’    n² + 3

Odp.: a) malejący, b) rosnący, c) brak monotoniczności, d) rosnący, e) nierosnący, f) malejący.

Zadanie 4.5. Obliczyć następujące granice (o ile istnieją):

a) lim (n² + 5n — 6)    b) lim (—2n⁷ + 3n² — 4)

n² — 2

d) Hm g) Jim j) lim

6 n^A — 1 3n³ + 2n — 4 n — 1

n² + 2n — 1 /2n + 3N³

U+iJ

1 — 2n

m) lim -^; 2 +

e) lim -h) lim k) lim n) lim

c) lim f) lim

n² + Sn n² — 1 —3n³ + 1

n³ + 2n - 1 n⁴ + n

l + 2 + 3 + ... + n

(3n - l)²

2 + \/n > l-2n

i) lim 1) Jim o) lim

(1 — 2n)³

(2n + 3Y (1 - 7n)

2 + 4 + 6 + ... + 2n (1 - 9n²)

(3 - sjnf 5 + 4 n

)

9n² + 4n

n² + 3

lim (y/4n² + 9n - 2 - 2n) t) lim (s/n³ + 5 - n) — 5

q) lim (y/2n — 1 — \Jn — 7) r) lim (3n — \/9n² + l)

v) lim 2

w) lim

2²ⁿ — 7

u) lim eⁿ+^l

2ⁿ⁺¹ — 3^{n+2 x}) Jai——