8416072480

Dla f € X poszukuemy wielomianu P_n G P, stopnia < n, o tej własności, że f(xj) = P_n(xj) dla j = 0,1,2, • • •, n.

Wielomian P_n spełniający powyższe warunki to wielonian interpolacyjny Lagrange’a dla funkcji f, i węzłów xo, X\, • • •, x_n.

Ten sposób aproksymacji pozwala prybliżać przy pomocy wielomianu P_n stopnia < n dowolną funkcję (nawet nie koniecznie ciągłą!), określoną jedynie w zadanych węzłach. Funkcję /, której wartości znamy jedynie w węzłach wymienionych w sformułowaniu zadania (1.1), (mogą to być na przykład wielkości otrzymane z pomiarów eksperymentalnych), zastępujemy wielomianem

Pn-

Wielomian interpolacyjny Lagrange’a nie jest na ogół elementem najlepszej aproksymacji!.

Twierdzenie 1.2

Zadanie interpolacji Lagrange’a (1.1) ma jednoznaczne rozwiązanie Dowód

1. Istnienie. Podamy konstrukcję rozwiązania, używając tak zwanych wielomianów bazowych Lagrange’a, związanych z węzłami xq, X\, • • •,x_n. Każdemu węzłowi przyporządkowany jest wielomian stopnia n:

(1 2) l (x)=    ~ ^xo)(^x ~ si)''' (^x - Xj-\){x - x_j+1) • • • (x - x_n)

³    (^Xj ~ ^xo)(^xj — ^xl) • • • i^xj — Xj-l)(Xj — £j+l) • • • (xj — x_n) ’

dla j = 0,1, • • •, n. Zauważmy, że

lj(^xk) = Sjk dla j, k = 0,1, • • •, n,

oraz że każda z funkcji lj jest wielomianem stopnia n. Stąd natychmiast wynika, że

(1.3)    P_n{x) = Y_Jf{x_j)l_j{x),

3=0

jest wielomianem stopnia < n, oraz że

P_n{x_k) = J2 ^Sjkf{xj) = f{x_k),

3=0

4