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(A)    Z n'est pas vide

(B)    Si E_v E_v..., en nombre au plus denombrable, ap-partiennent a Z, on a aussi:

y

ŁeZ

(C) Si £sZ, E<ZE', on a E' e Z.

On voit p. e. que la classe Z' de tous les ensembles de

l^re categorie par rapport a un ensemble parfait donnę, et aussi la classe Z" de tous les ensembles de mesure 0, satisfont aux

conditions 04), (6), (C).

Dófinition. Disons que les ensembles A et B sont equiva-lents par rapport a la classe Z:

A^B,

SI

(A —    +    — A)zZ.

On demontre par un calcul bien facile que la condition necessaire et suffisante pour qu'il soit A . B est qu'il existe

deux ensembles p, q appartenant a la classe Z et tels que

(1)

A = B-\-p — q

On demontre de meme que dans l'enonce precedent la formule (1) peut etre remplaęee par une autre:

A = B — p + q.

La notion d'equivalence de deux ensembles par rapport a Z possede toutes les proprietes characteristiques de l'identite.

1. Lemme. Soit M un ensemble artitraire, a chaque element a duquel correspondent deux ensembles (de points) A_a et B_rj\

dans ces conditions on a:

a iM    <l*M    asAf

2. Lemme. Dans les memes conditions on a:

II A,-II B,CV

ol z M    usM    fj.z M