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de demontrer p. ex. les propositions analogues a 6,7,13,18 etc. restent inefficaces.

Les theoremes suivants etablissent certaines relations entre l’addition et la multiplication des nombres cardinaux:

58    (T). Si p. q m-f" it, on a: p<Im ou bien q <> n (et

2^q < 2ⁿ).

59 (T). Si p. q*Ou-f~it et un au moins parmi les nombres m, ii, p et (| est un aleph, on a: p m ou q n.

60    (T). Si p. q <* ni + n, on a: p <> ni ou bien ą O tu

La derniere proposition entraine le theoreme suivant, qui correspond au celebre theoreme de Bolzano-Weierstrass:

61    (T). Si un ensemble borne A de points de 1’espace euclidien peut etre decompose en 2^K° (=c) ensembles non-vides et disjoints, il existe dans cet espace un point p tel que l'en-semble de points de A situes dans un entourage quelconque de p peut etre decompose en 2^H° ensembles disjoints.

Dans la proposition 62 on reconnaitra un cas particulier du thćoreme connu de J. K ó n i g etablissant certaine inegalite generale entre les sommes et les produits des nombres cardinaux:

62    (T). Si nt<p, n<q, et, de plus, une des conditions suivantes est remplie:

(a) p    ni, resp. 2^m <C 2^V; (b) i]    n, resp. 2" <C 2^}\

(c) parmi les nombres m, n, p et i], au moins un est un aleph,— alors on a: lit -f- n < p. (].

M. Tars lei a trouve une demonstration nouvelle du theoreme fondamental sur les alephs:

a etant un aleph quelconque, tr = a.

La demonstration est une modification de celle de H e s -senberg¹), mais se distingue par son caractere d’effectivite. M. Tarski a defini notamment dans le domaine des nombres ordinaux une fonction de deux variables ($, '*]) jouissant des proprietes suivantes (dont le theoreme considere est une con-sequence immediate):

(a) i et Tj etant des nombres ordinaux quelconques, il existe un (et un seul) nombre £ tel que Kon a: £ = ę (S, i]).

(b)    £ etant un nombre ordinal quelconque, il existe une paire et une seule des nombres i et Y] telle que l'on a:£ ='f (4, Tj).

’) Grundbegriffe der Mengenlehre (1906), § 77.