1675609759

4 marca 2003

Inżynieria Finansowa

3

* Fm-i&m-iN następującego w t_M-i-

oraz

* (1 + Fm&m)N następującego w t\i,

również wynosi N, bowiem

(l + F_MA_M)jv)

(F_M-₁A_M-₁ + 1)N = N.

1

1 +

1

1 + Fm-iAm-i

Postępując dalej w analogiczny sposób pokazujemy, że zdyskontowana do chwili ti wartość przyszłych w stosunku do fi przepływów pieniężnych tej obligacji wynosi N. Ta wartość w połączeniu z kuponem RiA\N płatnym w fi daje nam przepływ, którego wartość bieżąca jest ceną obligacji.

Uwaga: Z powyższych rozważań wynika również, że wartość obligacji o zmiennym kuponie na początku każdego okresu odsetkowego jest równa jej nominałowi, tzn. cena za 100 wynosi 100 (obligacja jest wyceniana at par). Wynika to również z wzoru na cenę P\, bowiem na początku okresu odsetkowego (1 + Ri Ai)DF(t\) = 1.

Komentarz: Zwracam uwagę, że bardzo podobne rozumowanie było przedstawione na wykładzie przy omawianiu wyceny kontraktów wymiany procentowej IRS.

Obligacja B

Ta obligacja w czasie jej trwania nie wypłaca kuponów. Kupony są kapitalizowane co okres odsetkowy i ich wypłata następuje wraz z nominałem w terminie wykupu tej obligacji. Niech 11 < f2 < ... < fjif oznaczają terminy kapitalizacji kuponów; fi jest pierwszym terminem kapitalizacji (który zaczął się w chwili t₀), a tM terminem zapadalności w którym następuje wypłata skapitalizowanych odsetek i zwrot nominału. Niech 1 < k < M oznacza numer bieżącego okresu odsetkowego. Zatem, wartości i?i, R2, ■ ■ ■, Rk stopy rynkowej na pierwsze k okresów odsetkowych zostały już (w przeszłości), tj. w chwilach t₀ <ti < ... < tk-i (dokładniej tuż przed), ustalone przez rynek. Natomiast, wartości stopy rynkowej na przyszłe okresy odsetkowe tj), gdzie i = k + 1,... M będą dopiero ustalone. Tak jak w przypadku poprzedniej obligacji, do bieżącej wyceny tej obligacji jako wartości tych przyszłych stóp bierzemy stopy forward Fi na odpowiednie okresy odsetkowe. Wówczas, dzisiejsza projekcja kwoty skapitalizowanych kuponów wraz z nominałem płatnych w terminie wykupu obligacji wynosi

C(t_M) = (1 + fliAj) ■... ■ (1 + R_kA_k) ■ (1 + F_k+1 A_fc+i) •... • (1 + F_mA_m)N.

Ceną tej obligacji jest wartość bieżąca tego przepływu pieniężnego, a więc

Ponieważ, jak wynika z definicji stopy forward,

(1 + FiAi)DF(ti) = DF(ti_ 1),