2335501604

13

2. Grupa podstawowa

W szczególnści, przestrzeń X jest ściągalna wtedy i tylko wtedy, gdy ma ten sam typ homotopii, co przestrzeń jednopunktowa.

Wiemy, że n\ jest funktorem. Jeśli więc / : X —► Y jest homeomorfizmem, to grupy ni(X,p), 7n(y, f(p)) są izomorficzne. Założenie ”/ jest homeomorfizmem” można osłabić:

Stwierdzenie 2.4.8. Jeśli ip : X —» Y jest homotopijną równoważnością, to grupy ni (X,p), ni(Y,ip(p)) są izomorficzne. E3

Grupa podstawowa przestrzeni łukowo spójnych jest więc niezmiennikiem typu homotopii (i tym bardziej niezmiennikiem topologicznym).

Niech X będzie przestrzenią spójną. Jeśli Y jest przestrzenią homotopijnie równoważną z X, to Y również jest przestrzenią spójną ([16] 138).

2.5 Przykłady

Stwierdzenie 2.5.1 ([12]24, [6]22). n\{X x Y,{p,q)) ss n\(X,p) x niiy,q). S Stwierdzenie 2.5.2 ([12]23, [6]31).

f Z, gdy n = 1,

7T1 (Sⁿ)=\

[ 0, gdy n > 1. K

Grupa Z, liczb całkowitych, jest więc grupą podstawową każdej przestrzeni topologicznej mającej typ homotopii okręgu, w szczególności pierścienia kołowego, pełnego torusa i ogólniej, produktu S¹ x Iⁿ dla każdego n = 1,2,..., a także na przykład dla wstęgi Móbiusa. Grupa podstawowa torusa S¹ x • • • x S¹ (n razy) jest natomiast suą prostą n grup cyklicznych:

TT I (S^l X ... X S\) = Z X ••• X Z.

Znając powyższe fakty można łatwo udowodnić, że okrąg S¹ nie jest retraktem koła domkniętego. Stąd natomiast otrzymuje się łatwo szczególny przypadek twierdzenia Brouwera o punkcie stałym: każde ciągle odwzorowanie kola domkniętego w siebie ma punkt stały (patrz [12]25).

Przestrzeń rzutową P" = P"(IR) można zdefiniować jako przestrzeń ilorazową sfery Sⁿ, otrzymaną przez utożsamienie punktów antypodycznych.

Stwierdzenie 2.5.3 ([12] 31).

f Z, gdy n= 1,

7Ti(Pⁿ) = \

( Z2, gdy n > 1. E3

Stwierdzenie 2.5.4 ([12] 23). Jeśli G jest jedno spójną grupą topologiczną, a H jest jej dyskretnym dzielnikiem normalnym, to n\(G/H, 1) ~ H. £3

Stwierdzenie 2.5.5 ([16] 155). Jeśli G jest grupą topologiczną i e jest jej elementem neutralnym, to grupa n\(G,e) jest abelowa. K 2.6 Wyższe grupy homotopii

Na podstawie [16] 155.

Grupę n\{X,p) nazywa sią często pierwszą grupą homotopii przestrzeni X w punkcie p. Indeks ” 1” przypomina o tym, że grupa ta jest zbiorem klas abstrakcji dróg, czyli ciągłych odwzorowań z I¹ do X. W ogólnym przypadku można określić n_n(X,p), n-tą grupę homotopii, zastępując drogi przez odwzorowania ciągłe o : /" —* X. Przedstawiamy szkic konstrukcji.

Niech p e X będzie wyróżnionym punktem.