Równania różniczkowe zwyczajne II
DEFINICJA
Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci
2
2
2 + =
2
7 y + p t y = q t ,
+ =
+ =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
gdzie p, q sÄ… okreÅ›lone i ciÄ…gÅ‚e na I ‚" nazywa siÄ™ RÓWNANIEM RÓŻNICZKOWYM
‚"
‚"
‚"
LINIOWYM I RZ
DU.
Jeżeli q t `" 0, t " I , to równanie (7) nazywa się LINIOWYM NIEJEDNORODNYM.
`" "
( ) `" "
( ) `" "
( )
( )
Jeżeli q t = 0, t " I , to równanie (7) nazywa się LINIOWYM JEDNORODNYM.
= "
( ) = "
( ) = "
( )
( )
UWAGA
(i) Równanie liniowe jednorodne
2
2
2
2
y + p t y = 0 R.L.J.
+ =
+ =
+ =
( )
( )
( )
( )
jest szczególnym przypadkiem równania o zmiennych rozdzielonych.
(ii) Jeżeli y1 , y2 są różnymi rozwiązaniami równania liniowego niejednorodnego
2
2
2
2
y + p t y = q t R.L.N.
+ =
+ =
+ =
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
to y t = y2 t - y1 t jest rozwiÄ…zaniem R.L.J.
=
=
=
( ) ( ) - ( )
( ) ( ) - ( )
( ) ( ) - ( )
( ) ( ) ( )
(iii) Jeżeli y jest rozwiązaniem R.L.J. i y1 jest rozwiązaniem R.L.N., to
y2 t = y t + y1 t
= +
= +
= +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
jest rozwiÄ…zaniem R.L.N.
TWIERDZENIE
Rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego
równania liniowego jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.
C.O.R.L.N. = C.O.R.L.J. + C.S.R.L.N.
DEFINICJA
Równanie różniczkowe rzędu II, które można zapisać w postaci
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
8 y + p t y + q t y = h t ,
+ + =
+ =
+ =
( ) + ( ) ( ) ( )
( ) + ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
gdzie p, q, h sÄ… okreÅ›lone i ciÄ…gÅ‚e na I ‚" nazywa siÄ™ RÓWNANIEM
‚"
‚"
‚"
RÓŻNICZKOWYM LINIOWYM II RZ
DU.
Jeżeli h t `" 0, t " I , to równanie (8) nazywa się LINIOWYM NIEJEDNORODNYM.
`" "
( ) `" "
( ) `" "
( )
( )
Jeżeli h t = 0, t " I , to równanie (8) nazywa się LINIOWYM JEDNORODNYM.
= "
( ) = "
( ) = "
( )
( )
UWAGA
Jeżeli y1 , y2 są rozwiązaniami równania liniowego jednorodnego
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
y + p t y + q t y = 0 R.L.J.
+ + =
+ =
+ ( ) ( )
+ ( ) ( )
+ =
( ) ( )
( ) ( )
to dla dowolnych c1 ,c2 " funkcja
"
"
"
y t = c1 y1 t + c2 y2 t
= +
= +
= +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
jest także rozwiązaniem R.L.J.
DEFINICJA
Parę rozwiązań y1 , y2 równania liniowego jednorodnego II rzędu określonych na
( )
( )
( )
( )
przedziale I ‚"
‚" nazywa siÄ™ UKA
ADEM FUNDAMENTALNYM (PODSTAWOWYM)
‚"
‚"
R.L.J. NA I, gdy dla każdego t " I WROC
SKIAN pary y1 , y2 jest niezerowy, tzn.
"
" ( )
" ( )
( )
( )
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ y1 t y2 t Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
W y1 t , y2 t := det
=
( ) ( ) =
( ) ( ) =
( ( ) ( )
( ( ) ( )
)
( )
( ) ïÅ‚ śł`" 0
) ïÅ‚ śł`"
ïÅ‚
ïÅ‚
2 2
2 2
2 2
2 2
( ) ( )śł `"
( ) ( )ûÅ‚ `"
( ) ( )śł
( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚y1 t y2 t ûÅ‚
ðÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚
TWIERDZENIE
Niech y1 , y2 będzie układem fundamentalnym równania liniowego jednorodnego. Wtedy
( )
( )
( )
( )
dla każdego rozwiązania y tego równania istnieją jednoznacznie określone stałe c1 ,c2 "
"
"
"
takie, że
y t = c1 y1 t + c2 y2 t
= +
= +
= +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
DEFINICJA
Równanie postaci
2 + p + q = 0,  " , p,q "
+ + = " "
+ + = " "
+ + = " "
nazywa się RÓWNANIEM CHARAKTERYSTYCZNYM równania liniowego
jednorodnego II rzędu o stałych współczynnikach
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
8 y + py + qy = 0, p,q "
+ + = "
( ) + + = "
( ) + + = "
( )
( )
Natomiast wielomian
W  = 2 + p + q
= + +
( ) = + +
( ) = + +
( )
( )
2
2
2
2
nazywa się WIELOMIANEM CHARAKTERYSTYCZNYM równania 8 .
( )
( )
( )
( )
WNIOSEK 1
2
2
2
2
Jeżeli 1 `" 2 , 1 ,2 " są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego równania 8 ,
`" "
`" " ( )
`" " ( )
( )
( )
to układ fundamentalny tego równania tworzą funkcje:
1 2
y1 t = e t , y2 t = e t
= =
=
( ) = ( ) =
( ) ( ) =
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
a rozwiązanie ogólne równania 8 jest postaci:
( )
( )
( )
( )
1 2
y t = c1e t + c2e t , c1 ,c2 " C.O.R.L.J.
= + "
( ) = + "
( ) = + "
( )
( )
WNIOSEK 2
2
2
2
2
Jeżeli  " ( )
" jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania 8 ,
" ( )
"
( )
( )
to układ fundamentalny tego równania tworzą funkcje:
y1 t = et , y2 t = tet
= =
( ) = ( ) =
( ) = ( ) =
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
a rozwiązanie ogólne równania 8 jest postaci:
( )
( )
( )
( )
y t = c1et + c2tet , c1 ,c2 " C.O.R.L.J.
= + "
( ) = + "
( ) = + "
( )
( )
WNIOSEK 3
Jeżeli 1 = Ä… + ²i , 2 = Ä… - ²i , Ä… " , ² > 0 sÄ… pierwiastkami zespolonymi wielomianu
= + = - " >
= + = - " >
= + = - " >
2
2
2
2
charakterystycznego równania 8 , to układ fundamentalny tego równania tworzą funkcje:
( )
( )
( )
( )
y1 t = eÄ…t cos ²t , y2 t = eÄ…t sin ²t
= =
( ) = ( ) ( ) = ( )
( ) = ( ) ( ) = ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2
a rozwiązanie ogólne równania 8 jest postaci:
( )
( )
( )
( )
y t = eÄ…t c1 cos ²t + c2 sin ²t , c1 , c2 " C.O.R.L.J.
= + "
( ) = ( ) + ( ) "
( ) = ( ) + ( ) "
( ) ( ( ) ( )
( ) ( ( ) ( )
)
( )
( )
)
UWAGA
Analogicznie jak dla równań liniowych I rzędu, rozwiązanie ogólne równania liniowego
niejednorodnego II rzędu jest sumą rozwiązania ogólnego równania liniowego jednorodnego
i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.
C.O.R.L.N. = C.O.R.L.J. + C.S.R.L.N.