3331456987

39

2.2. OPCJE ZŁOŻONE

Wyliczmy wartość oczekiwaną wypłaty opcji:

J“~ J^b~ (se^{-^r-^^)r-^y'’'^/T - K) n₂(x, y)dxdy, przy czym, aby skrócić zapis, stosujemy oznaczenie a± = d±(S*,r),

b_± = d_±(K,T).    (2.9)

(2.10)

Składnik całki podwójnej zawierający — K wynosi oczywiście -KN₂(a-,b-,p)

gdzie N2 oznacza dystrybuantę standardowego dwuwymiarowego rozkładu normalnego n₂. Liczymy całkę drugiego składnika:

[ f Se(^r~5^a2)^T~^ye7y/^ri2(x,y)dxdy

J—00 J—00 -■^se^rT J^a J e-^^2T-^y<Ty/Tn₂(x,y)dxdy - Se^rT j J e~^^a2T~(^y'~^<7^^a'^n2(x' — ay/r, y' — aVT)dx'dy'

(Mamy tu proste podstawienia: x' = x+cry/T oraz y' = y+cry/T). Wykładnik funkcji exp w wyrażeniu U2(x' — Oy/r, y' — ay/T) ma postać

(2.11)

(x' - ay/r)² - 2 p{x' - o y/r)(y' - a y/T) + (y' - a y/T)²

2(1-P²)

Rozwinięcie drugich potęg w liczniku i wstawienie p = yj^ daje w wyniku

(a/)² — 2 px'y' + (y¹)²    1    , r=

--2(1--₂°²T ₊ y'aVT.

Wobec tego całka wynosi «+ ń+

5e^rTy J n2(x^l,y')dx^,dy' = Se^rTN2(a₊,b₊,p).

Po uwzględnieniu całki 2.10 i zdyskontowaniu dostajemy wzór na wartość binarnej opcji cali na cali:

Cbcc = SN₂(a₊, b+, p) - Ke~^rTN₂(ab.,p).