3331456996

35

2.1. OPCJE BINARNE

co wraz ze wzorem (1-45) na dystrybucję jV'(-) daje:

Stosując podstawienie z = y + nu\/T dostajemy:

= Sⁿeⁿ’^ir+i^n{-ⁿ-¹^^TN(d-(K) + naVf).

-d_(K)+n<rVf , ,

e"5² dz

Ostatecznie mamy więc wzór na oczekiwaną wypłatę binarnej potęgowej opcji cali:

P^m(K) = Sⁿeⁿ‘^J-^T+^ⁿ-^l),,,T N(d.(K) + mrVT).    (2.7)

W podobny sposób można przeprowadzić obliczenia dla opcji put. Zamiast tego zauważmy, że w granicy, gdy K —* 0, powyższy wzór daje

E_P(Sⁿ(T))= f°° xⁿ<l>(x)dx = Sⁿe^nt‘^T+iⁿ⁽ⁿ~^1),,2T,    (2.8)

Jo

więc wartość oczekiwaną wypłaty dla opcji put dostajemy jako różnicę wartości dwóch całek: (2.8) i (2.7). Zatem wartość oczekiwana wypłaty dla binarnej potęgowej opcji put wynosi

Sⁿe^1tllT+%ⁿ(ⁿ~¹^^a'^2TN(—d_(K) - mrVf).

Przechodząc do miar martyngałowych i wykorzystując formułę (1.6) dostajemy wzory na ceny Cb_pn.c i Cb_pn.p binarnych potęgowych opcji cali i put

C_bp„.c = Sⁿe⁽-ⁿ-^^rT+^ⁿ-¹>^2TN(d_(K) + naVf), C_bp„.p =    -naVT).

Oczywiście w szczególnych przypadkach n = 0 i n = 1 dostajemy odpowiednio wzory na ceny opcji „gotówka albo nic” oraz „aktywa albo nic”.