5192604475
Znaczenie kopuł w badaniach wielowymiarowych funkcji rozkładu jest podsumowane przez następujące twierdzenie, z którego wynika, po pierwsze, że wszystkie wielowymiarowe dystrybuanty zawierają kopuły, a po drugie, że kopuły mogą być stosowane w połączeniu z jednowymiarowymi dystrybuantami do tworzenia wielowymiarowych funkcji rozkładu.
Twierdzenie 3.2 (Sklar) [8]
Niech F będzie dystrybuantą łączną z dystrybuantami brzegowymi Fy, F2,.... Fd. Istnieje kopula C : [0, l]d —* [0,1] taka, że dla każdego x\,x%, ■■■,xd e® = [—00,00],
F(xi,X2,...,Xd) = C(Fi{xi), F2(x2),Fd(xd)). (3.1)
Jeśli dystrybuanty brzegowe są ciągle, to kopula C jest dana jednoznacznie. W przeciwnym przypadku, C jest jednoznacznie określona na ran Fj x ran F2 x • • • x ran Fd, gdzie ran F* = Fj(lR) oznacza zbiór wartości funkcji Fj. Odwrotnie, jeśli C jest kopułą i Fi,..., Fd są jednowymiarowymi dystrybuantami, to funkcja F zdefiniowana wzorem (3.1) jest dystrybuantą łączną z dystrybuantami brzegowymi Fy,..., Fd.
Dowód 3.3 [8]
Udowodnione zostaną istnienie oraz jednoznaczność kopuły w przypadku, gdy Fi,..., Fd są ciągle oraz twierdzenie odwrotne (pełny dowód dla przypadku dwuwymiarowego można znaleźć w [9]).
Niech x\, ...,Xd € R. Niech X ma dystrybuantę F. Wtedy
F(xi, ...,xd) = P(X1 < X\,..., Xd < xd) = P(F1(X1) < Fi(Xi),..., Fd(Xd) < Fd(xd)).
Jeśli Fj, ...,Fd są ciągłe, to z Uwagi A.9 oraz Definicji 3.1 mamy
(F1(X1),F2(a:2),...,F<i(X(i))
jest funkcją kopuły i oznaczamy ją przez C.
Jeśli obliczymy (3.1) dla argumentów Xi = F‘-(tti), 0 < ui < 1, i = 1 ,...,d oraz skorzystamy z własności (4) Twierdzenia A.6, to otrzymamy
C(ui,..., ud) = F(FrK),..., F^M), (3.2)
co daje dokładną postać C w zależności od F i jej rozkładów brzegowych, co pokazuje jednoznaczność.
Aby udowodnić twierdzenie odwrotne, załóżmy, że C jest kopułą oraz Fy,.... Fd są jednowymiarowymi dystrybuantami. Skonstruujemy wektor losowy o rozkładzie zadanym wzorem (3.1), poprzez wzięcie wektora losowego U z dystrybuantą C. Niech
X:= ((Fr(^i),...,Fj-(t/d))),
20
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
245 § 1. Badanie przebiegu funkcji Jasne jest stąd, że w punkcie x — —2 funkcja ma maksimum, w punkc
Etap pisemny egzaminu Przykładowe zadanie 2. Funkcja M30 jest identyfikowana przez sterownik obrabia
ET9 3.2. Rodzaje funkcji pełnionych przez turystykę 39 Funkcja etniczna jest realizowana przez tury
Slajd60 E Stan układu termodynamicznego jest opisywany przez następujące parametry: 1.
częstotliwość jest dzielona przez 2, a następnie przez 6, co daje sygnał o częstotliwości 19 kHz&nbs
image 072 72 Pole bliskie anteny i jego znaczenie dla techniki antenowej Funkcja kz (patrz (4.25)) j
Zdj?cie0453 Gęstością rozkładu zmiennej losowej: >4. Jest funkcja (tu), (b) i (c); C. są wszystki
img006 (68) po części socjologiczna nad tymi zagadnieniami podejmowana jest przez pryzmat badania sp
img065 Wykład 6Kryterium różniczkowalności Badanie róźniczkowalności funkcji wprost z definicji 5-3.
P1040786 Ćwiczenia 13 i 14.B+IŚ Zmienna losowa wielowymiarowa i jej rozkłady 1 Rozkład zmiennej loso
4. Sprawdź czy funkcja />, = /(/) = -—— dla i = 1,2,3,... jest rozkładem j i +
096 2 190 X. Badanie przebiegu zmienności funkcji Krzywa jest wszędzie wypukła (bo _y">0) i
237 § 1. Badanie przebiegu funkcji Konieczność. Jeśli /(x) jest funkcją rosnącą w przedziale 3C, to
więcej podobnych podstron