6700449611

Zadanie 5.74. Niech f: X —» Y i niech {A_t}tgT będzie rodziną podzbiorów zbioru X, zaś {B_s}_ses będzie rodziną podzbiorów zbioru Y. Pokazać, że

^ffu^Ai)-u«^A<). 'fn^a-1 ^cn^f<^A*).

\tST / t€T    \teT / t€T

lu >0 - u    fn».) - n

\ses / ses    \ses / ses

Zadanie 5.75. Pokazać, że jeśli f, g są funkcjami różnowartościowymi i można jest złożyć, to (gof)-' =f-^] og-¹.

Zadanie 5.76. Niech f: X —» Y, g: Y —> X będą takimi funkcjami, że g o f = idx, tzn. g (f(x)) = x, dla każdego x 6 X. Pokazać, że f jest różnowartościowa i g jest surjekcją. Czy f i g muszą być bijekcjami?

6 Nierówności i równania

Zadanie 6.77. Pokazać, że dla x, y,xi, X2,..., Xn € IR zachodzą następujące nierówności:

(f)    sinx ^ x, dla 0 < x $ f,

(g)    |sinxK |x|, dla x e IR,

(h)    |cosx —cosyl < |x —y|.

(a)    |x + y|<|x| + |y|,

(b)    |M-W|<|x-y|,

(c)    |x + x,+... + x_n|^|x|-(|x,| + ... + |x_n|)₁

(d)    |xi + x₂ +... + x_n| < |xi | + |x₂| +... + |x„|,

Zadanie 6.78. Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych ai, a₂, ..., a_n, b],b₂,..., b_n spełnione są następujące nierówności:

(a) Jir=i latbil <    ^Qi\/lir=l bf (nierówność Cauchy¹-Schwarza?); (Wskazówka:

przekształcić i wykorzystać nierówność:    (|q,|x + |b,|) > 0);

00    <Jzt, «f + s/Zt,W (nierówność Minkowskiego²).

Zadanie 6.79. Udowodnić, że dla n ^ 2 oraz dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych X|, x₂,...,x_n zachodzą następujące nierówności:

(a) xi • x₂ •... • x_n = 1 => X] + x₂ + ... + Xn $5 n (nierówność Weier-strassa),

0») »'+*^-+»ⁿ ^ yx, ■ x₂ ■... ■ x„,

(^c) -L + -L+...+-L < l/X, -X₂-...-X_n.

Zadanie 6.80. Udowodnić następujące nierówności metodą indukcji matematycznej:

(a) (1 + x)ⁿ ^ 1 + nx, gdzie x jest hczbą rzeczjrwistą, x ^ —1 oraz n > 1 (nierówność Bemoullego³);

(b) (1 + x)" St 1 +nx+ -■^|n2~'-¹-x⁴ + ^(n-iHn-2)_x3| dla x > 0 i n > 0;

(c)    2^n_1 =gn!, dla n > 1;

1

'Augustin Louis Cauchy (1789-1857), francuski matematyk.

2

Hermann Minkowski (1864-1909), niemiecki matematyk i fizyk pochodzenia polskiego i żydowskiego.

3

Jakub Bernoulli (1654-1705), szwajcarski matematyk i fizyk.

4

Karl Hermann Amandus Schwarz (1843-1921), matematyk niemiecki.