Algebra z geometriÄ… analitycznÄ… A - MAP 1140
Algebra z geometriÄ… analitycznÄ… B - MAP 1141
Lista uzupełniająca
1. Uprościć wyrażenia:
a3 - 1 4x2 - y2 u2 + 3uv
a) ; b) ; c) .
a2 - 2a + 1 4x2 + 4xy + y2 u2v + 3uv2
2. Pokazać indukcyjnie, że jeżeli

1 n + 1
a) a1 = 2 oraz an = 1 - an-1 dla n 2, to an = dla n 1;
n2 n
b) a1 = 0 oraz an = an-1 + 2n - 3 dla n 2, to an = (n - 1)2 dla n 1.
3. Wyznaczyć równanie prostej w postaci parametrycznej, która zawiera podane punkty P , Q:
a) P = (4, 3), Q = (5, 6); b) P = (-1, 0), Q = (2, -1);
c) P = (-2, 1), Q = (-2, 3); d) P = (3, 1), Q = (5, 1).
4. Wyznaczyć w postaci ogólnej równanie prostej przechodzącej przez punkt P = (2, -1) i równoległej do
prostej l, jeżeli:

x y
x = -1 + 2t,
a) l : y = 3x - 1; b) l : 2x - y + 11 = 0; c) l : - = 1; d) l :
y = 2 - t.
2 3
5. Wyznaczyć równania ogólne prostych zawierających punkt P = (1, 1) i prostopadłych do prostych z po-
przedniego zadania.
6. Wyznaczyć te wartości parametru ą, dla których proste l1, l2 są równoległe oraz te, dla których są prosto-
padałe:
Ä…x Ä… - 1 (Ä… - 1)x Ä…
a) l1 : y = + , l2 : y = + ; b) l1 : Ä…x - 2y + 3 = 0, l2 : y = Ä…x + 2Ä…y - 1 = 0;
Ä… + 1 Ä… + 3 Ä… + 1 Ä… + 3

x = 1 + Ä…t, x = -2 + t, x = 2 + t,
c) l1 : l2 : d) l1 : l2 : 2x - 3Ä…y + 4 = 0.
y = 3 + 4t, y = 1 - t; y = 3 - 2t,
Ä„
Wyznaczyć te wartości parametru ą, dla których proste z podpunktu a) przecinajaą się pod kątem .
4
7. Dla podanych punktów P , Q napisać równanie symetralnej odcinka P Q:
a) P = (-2, 2), Q = (2, 10); b) P = (1, 3), Q = (5, 0).
8. Obliczyć odległość punktu P = (1, 2) od podanych prostych oraz wyznaczyć punkty symetryczne do punktu
P względem tych prostych:

x = 6 + 3t,
a) y = x - 1; b) y - 2x + 5 = 0; c)
y = 3 - 2t.
9. Uzasadnić, że podane proste są równoległe, a następnie wyznaczyć odległości między nimi:
a) l1 : y = -2(x + 1), l2 : y = -2x - 1; b) l1 : y = 3 - 4x, l2 : y = -4x + 2;
c) l1 : 2x - 3y + 2 = 0, l2 : 4x - 6y - 1 = 0; d) l1 : 2x - 3y + 2 = 0, l2 : -4x + 6y - 1 = 0;

x = 1 + 2t, x = -3 + 4t, x = 1 + 8t,
e) l1 : l2 : f) l1 : l2 : 3x - 4y - 2 = 0.
y = 2 - 3t, y = 1 - 6t; y = 3 + 6t,
10. Wyznaczyć pole kwadratu, którego jednym z wierzchołków jest punkt P = (1, -3), a jego przekątna leży
na prostej o równaniu y = 2x.
1
11. Wyznaczyć miarę kąta, jaki tworzą wersory jeżeli wektory = 2 + , = -4 + 5 są prostopadłe.
u, v, p u v q u v
12. Wyznaczyć punkt P , który jest względem prostej l : x + 2y = 2 symetryczny do punktu Q = (-1, -3).
13. Dla jakiej wartości parametru a, prosta y = ax + 4 jest równoległa do prostej

x = 1 + 3t,
l :
y = 2 - t, gdzie t " R.

"
14. a) Znalez
ć równanie krzywej zawierającej punkty, których suma odległości od punktów A = 2 - 2 3, 0

"
i B = 2 + 2 3, 0 jest stała i równa 8. Sporządzić rysunek.
b) Jaką krzywą stożkową opisuje równanie x2 - 2x - y2 + 4y - 7 = 0? Narysować ją. Wyznaczyć współrzędne
ognisk.

2 -1 4 1
15. Rozwiązać równanie macierzowe 2 + 2X =
0 1 -2 0
16. Które z iloczynów macierzy A2BT , BA2, B2A, BT A2 istnieją, jeżeli A jest macierzą stopnia 3, a B macierzą
wymiaru 3 × 2? Obliczyć te z podanych iloczynów, które istniejÄ…, jeżeli
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 2 1 -1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = 0 -1 3 , B = 0 1 .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2 -2 0 -1 2

Å„Å‚
ôÅ‚ 1 1
ôÅ‚
ôÅ‚ - Y =
2X
ôÅ‚
òÅ‚
-1 0
17. Rozwiązać ukad równań macierzowych . Następnie obliczyć XY.
ôÅ‚
ôÅ‚
0 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół -4X + Y =
1 0
18. Obliczyć wyznaczniki:


1 2 0 0 0

4 1 1 1 2 1 0 2

0 -1 2 0 0

1 3 1 1 1 1 0 1

a) ; b) ; c) 0 0 1 2 0 .

1 1 2 1 1 1 1 1

0 0 0 -1 2

1 1 1 1 1 1 1 2

2 0 0 0 1
19. Sprawdzić, że


sin2 a cos2 a 1 1 a b


a) sin2 b cos2 b 1 = 0 dla dowolnych a, b, c " R; b) 1 a + x b = xy dla dowolnych a, b, x, y " R.


sin2 c cos2 c 1 1 a b + y
20. Korzystając z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej, obliczyć macierz odwrotną do macierzy
îÅ‚ Å‚Å‚
-2 4 10
ïÅ‚ śł
3 2 0 .
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 1 3
21. Metodą bezwyznacznikową obliczyć macierz odwrotną do macierzy:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1 2 3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a) 1 1 2 ; b) 2 1 2 .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 2 3 3 2 1
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0 0 -2
ïÅ‚ śł
q 0 1 1
ïÅ‚ śł
22. Dla jakich wartoÅ›ci parametru q, macierz ïÅ‚ śł ma macierz odwrotnÄ…?
ðÅ‚ q 1 -1 4 ûÅ‚
3 1 q 2
2
23. Znalez
ć macierz A spełniającą równanie:
îÅ‚ Å‚Å‚-1 îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚

1 0 0 3
1 0 0
1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł 0 -1 -1 0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
a) 2 -4 2 0 A = A + 4 ; b) A 1 1 0 = .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 0 2 2 1
2
1 1 1
8 -4 1 -11
24. Dla jakich wartości parametru p podany układ równań jest układem Cramera?
Å„Å‚
2x
Å„Å‚ ôÅ‚ - y + z + 2t = 2
ôÅ‚
ôÅ‚
px - 2y - z = p
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
px + z = 0
a) - y + 2z = -1 ; b) .
ôÅ‚ ôÅ‚
p2x + y + z = 1
ół ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
-x + pz = 1
ół
x + y + pz = -1
25. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać podane układy równań:
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ 2x + y - z + t = 5 ôÅ‚ 2x + 7y + 3z + t = 5
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
x + y + z - 2t = -1 x + 3y + 5z - 2t = 3
a) ; b) ;
ôÅ‚ - 2y + z + t = 2 x + 5y - 9z + 8t = 1
ôÅ‚
x
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
x + z = 3 5x + 18y + 4z + 5t = 12
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ 3x + 2y + z = 5 ôÅ‚ 2x + 3z = 7
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
x + y - z = 0 4x + y + 4z = 10
c) ; d) .
ôÅ‚ 6x + 7z = 8 ôÅ‚ - 4y + 4z = 4
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
4x - y + 5z = 3 2x - 4y + 5z = 5
Å„Å‚
ôÅ‚
x + my - 3z = 0
òÅ‚
26. Dla jakich wartości paremtru m układ równań 2x + y + z = 0 ma niezerowe rozwiązanie?
ôÅ‚
ół
3x + my - z = 0
Å„Å‚
ôÅ‚
2x + y - z = p
òÅ‚
27. Wyznaczyć te wartości parametru p, dla których układ równań x + py + z = 0 ma jedno rozwiazanie.
ôÅ‚
ół
3x + y - az = p
28. Określić liczbę rozwiązań podanego układu równań liniowych w zależności od parametru p :
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
px + 2y + 2z = 10 x + 4z = 6
òÅ‚ òÅ‚
a) x + py + z = 4 ; b) 2x + y + 10z = 14 .
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
x + y + z = 4 3x + y + pz = 20
29. Niech = (1, 0, -1), = (0, -2, 1), = (1, 1, -1) . Obliczyć:
u v w
a) (2 - × b) ( ć% ( × c) ( v,
u v) w; u w) u w); u, w) u;
d) × ( × ; e) × - × f) × + [ × Ä‡% 2 v.
u v w) u v u w; u v w v u]
30. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez:
a) punkt P = (3, -1, 2) i prostopadłej do wektora = (3, -1, 2);
n
b) punkt P = (-4, -1, -2) i równoległej do płaszczyzny 2x - 3y + 4z = 0;
c) punkty P = (2, -1, 3), Q = (3, 1, 2) i równoległej do wektora = (-3, 1, 4);
v
d) punkt P = (1, 5, 1) i równoległej do wektorów = (2, 1, 6), = (-3, 5, 6);
u v
e) punkty P = (3, 1, 2), Q = (0, -1, 1), R = (1, 0, 2);
f) punkt P = (-1, -2, -3) i prostopadłej do płaszczyzn x - 3y + 2z - 7 = 0, 2x - 2y - z + 3 = 0;
g) punkty P = (2, -1, 4), Q = (1, -1, 5) i prostopadłej do płaszczyzy x - 2y + z - 1 = 0.
31. Wyznaczyć te wartości parametru p, dla których płaszczyzny
Ä„1 : x + 2y - z - 1 = 0, Ä„2 : px - y - z - p = 0, Ä„3 : x - py + z - 1 = 0
przecinajÄ… siÄ™
a) w jedyn punkcie (wyznaczyć ten punkt);
b) wzdłuż jednej prostej (podać równanie tej prostej).
3
Å„Å‚
ôÅ‚
x = t,
òÅ‚
32. Dana jest prosta l : y = at, oraz płaszczyzna Ą : 3a2x + ay + z - 4a = 0. Wyznaczyć wartości
ôÅ‚
ół
z = 2 - t
parametru ą, dla którego:
a) prosta l przecina płaszczyznę Ą;
b) prosta l jest równoległa do płaszczyzny Ą;
c) prosta l leży w płaszczyz
nie Ä„.
33. Prostą l zadaną w postaci krawędziowej (parametrycznej) zapisać w postaci parametrycznej (krawędziowej),
jeżeli:

2x - 2y + 4z - 2 = 0, 4x + z - 1 = 0,
a) l : b) l :
3x + y - 5z - 1 = 0; x - 2y + 3 = 0;
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚ -2 + 4t,
x = 2 + t, x =
òÅ‚ òÅ‚
c) l : y = -3 - 2t, d) l : y = 1 - 2t,
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
z = 1 + 3t; z = -2 + 3t.
34. Wyznaczyć punkt przecięcia prostej l i płaszczyzny Ą: jeżeli:
Å„Å‚
ôÅ‚ -1 + 2t,
x =
òÅ‚
a) l : y = 3 + 4t, Ä„ : 3x - 3y + 2z - 5 = 0;
ôÅ‚
ół
x = 3t,

2x + y - 3z = 0,
b) l : Ä„ : x + y + z + 1 = 0.
x + 2y + 3z + 1 = 0,
35. Napisać równanie płaszczyzny zawierającej proste l1, l2, jeżeli:
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x = 2 + 4t, x = 2 - 6s,
òÅ‚ òÅ‚
a) l1 : y = - 5t, l2 : y = 9s,
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
z = -1 + 8t, z = -1 + 12s;
Å„Å‚

ôÅ‚ - 2t,
x = 3
òÅ‚
3x + 2y - 3 = 0,
b) l1 : y = 1 + 3t, l2 :
ôÅ‚ - y + 3z - 9 = 0.
ół
z = 2 + t,
36. Napisać równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P = (-1, 2, 2) oraz:
a) równoległej do wektora = (-1, 2, 2);
v
b) punkt Q = (-2, 0, 3);
c) prostopadłej do płaszczyzny 3x - y + 2z - 5 = 0;
d) prostopadłej do wektorów = (2, 0, -3), = (-1, 2, 0);
v1 v2
Å„Å‚

ôÅ‚
x = 1 + 2t,
òÅ‚
2x - y + z - 1 = 0,
e) prostopadłej do prostych l1 : y = -1 + 4t, l1 :
ôÅ‚ x + z = 0.
ół
z = t,
37. a) Sprawdzić, czy punkty P = (1, 2, -3), Q = (2, 5, -3) leżą po tej samej stronie płaszczyzny 2x-y-z+6 =
0.
b) Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu P = (4, -1, 6) względem płaszczyzny 2x - y + 3z - 7 = 0.
c) Wyznaczyć miejsce geometryczne punktów, które są w równej odległości od punktów P = (2, 1, 4), Q =
(-4, -3, 2).
Å„Å‚
ôÅ‚ -7 + 5t,
x =
òÅ‚
d) Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu P = (6, 2, 9) względem prostej l : y = -7 + 2t,
ôÅ‚
ół
z = -6 + 4t.
38. Sprawdzić, że podane proste l1, l2 oraz płaszczyzny Ą1, Ą2 są równoległe i następnie obliczyć odległość
między nimi:
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x = 1 + t, x = 2s,
òÅ‚ òÅ‚
a) l1 : y = 2 + 2t, l2 : y = 4s,
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
z = -3 + 3t, z = 6s;
4

x - 5y + 6z - 3 = 0, 13x + y + 1 = 0,
b) l1 : l2 :
2x + y - z + 5 = 0, 11x + z - 1 = 0;
Å„Å‚

ôÅ‚
x = 1 - 6t,
òÅ‚
x + y + z = 0,
c) l1 : l2 : y = -8,
2x - y + 2z = 0, ôÅ‚
ół
z = 2 + 6t;
d) Ä„1 : x - 2y + 3z - 8 = 0, Ä„2 : 2x - 4y + 6z + 21 = 0.
39. Niech A(-1, 0, 1), B(0, 0, 0), C(1, y, 0) będą wierzchołkami trójkata ABC. Wyznaczyć y, jeżeli pole trójkąta
1
ABC wynosi .
2
40. Obliczyć część rzeczywistą i urojoną liczb:
4 1 + 3i 2 + i 3 + i
a) (2 + 5i)(-1 + 2i) - i; b) ; c) " ; d) - .
2i - 1 1 - 2i 3 - i
1 - 2i
41. Znalez
ć wszystkie pierwiastki całkowiete wielomianu 2x3 - 9x2 - 38x + 21.
42. Nie wykonując dzielenia wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez wielomian Q(x), jeżeli:
"
a) P (x) = x3 - x2 - x + 2, Q(x) = x - 5; b) P (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1, Q(x) = x - 2;
c) P (x) - x8 - 16x4 + 3x2 - x + 1, Q(x) = x2 + 3x + 2; d) P (x) = x5 + 11x - 13, Q(x) = x3 - 3x2 - x + 3.
43.
a) Wielomian P (x) przy dzieleniu przez dwumiany x - 1 i x + 3 daje odpowiednio reszty 3 i -1. Wyznaczyć
resztę z dzielnia wielomianu P (x) przez trójmian x2 + 2x - 3.
b) Wielomian P (x) przy dzieleniu przez wielomian x4 - x3 + x - 1 daje resztę x3 + 2. Wyznaczyć resztę z
dzielenia wielomianu P (x) przez x2 - 1.
44. Liczba z1 jest pierwiastkiem wielomianu W (z). Znalez
ć pozostałe pierwiastki tego wielomianu, jeżeli:
"
1 3
a) W (z) = z4 + iz3 - z - i, z1 = -i; b) W (z) = z4 - z3 + 4z2 + 3z + 5, z1 = - + i ;
2
"2
"
1 3
c) W (z) = z5 + z4 - 3z3 + 3z2 - 18z, z1 = i 3; d) W (z) = z4 + z3 + 5z2 + 4z + 4, z1 = - - i.
2 2
45. Wiemy, że liczba zespolona z1 jest pierwiastkiem wielomianu W (z). Rozłożyć wielomian W (z) na nieroz-
kładalne czynniki rzeczywiste, jeżeli:
"
"
1 i 3
a) z1 = - + , W (z) = z4 - z3 + 4z2 + 3z + 5; b) z1 = 2i, W (z) = z4 + z3 + 3z2 + 2z + 2.
2 2
5