Algebra z elementami równań różniczkowych
Dr Marian Gewert
Wykład 02
Równania różniczkowe zwyczajne
Równania liniowe
Równania liniowe niejednorodne
śąNLźą y' �ą pśątźą y=qśątźą
Metody rozwiązywania równań liniowych niejednorodnych postaci :
Metoda uzmienniania stałej
Szukamy rozwiązania równania (NL) w postaci
yśątźą=C śątźąe-+" p śąt źądt
y' śątźą�ą pśąt źą y śątźą=qśąt źą
Zatem
Ponieważ
y' śątźą=C ' śątźąe-+" p śątźądt�ąC śątźą e-+" pśąt źądt śą- p śątźąźą ,
y' śątźą�ą pśąt źą y śątźą=C ' śąt źąe-+" pśąt źądt- pśąt źąC śąt źąe-+" pśąt źą dt�ą pśąt źąC śąt źąe-+" pśą t źądt=qśąt źą
więc
C ' śąt źąe-+" pśąt źądt=q śątźą C ' śątźą=qśąt źąe+" p śąt źądt
Stąd C śąt źą= q śątźąe+" p śąt źądt�ąC
+"
Zatem (*) yśą tźą=śą C�ą qśąt źą e+" pśąt źądtźą e-+" p śą t źądt , C "!
+"
Pokazać, że wzór (*) obejmuje wszystkie rozwiązania równania liniowego niejednorodnego (NL).
Tu powinno być wyprowadzenie którego zrobić nie umiem.
y' =3y �ąt
Zadanie: Rozwiązać równanie
t
3 3y dy
p śątźą=- qśąt źą=t y '= =3 dt ln#"y#"=3ln#"t#"�ąln#"C#" y=C t3 yśąt źą=C śątźą t3
t t y t
3yśątźą 3Cśątźą t3
y ' śątźą=C ' śątźą t3�ą3Cśątźą t2 y ' śątźą- =C ' śątźąt3�ą3Cśąt źąt2-
t t
3yśątźą
1
y ' śątźą- =C ' śątźąt3=t C ' śątźą= C śąt źą=-1 �ąC
t t
t2
1
yśąt źą=śą �ąC źą t3=Ct3-t2 t "śą-",0źą (" t"śą0,"źą
t
Nie wiadomo na jakim z tych dwóch przedziałów określone jest równanie ponieważ nie ma
warunku początkowego.
Metoda czynnika całkującego
y= y śąt źą
Niech będzie rozwiązaniem równania (NL).
y' śątźą�ą p śątźą yśątźą=qśąt źą
Wtedy
Funkcje postaci
e+" pśąt źądt nazywamy czynnikiem całkującym równania (NL)
y' śątźą�ą p śątźą y śątźą=qśąt źą /e+" p śąt źądt y ' śątźą e+" p śątźądt�ą p śątźą yśątźą e+" p śąt źądt śątźą e+" p śątźądt
�ą=q
pśąt źądt
śą źą
yśąt źąe+" '
Zatem
śą źą
y śąt źąe+" p śąt źądt '=q śątźą e+" p śątźądt / y śątźą e+" p śąt źądt= q śąt źąe+" p śąt źądt dt�ąC
+" +"
y śąt źą= C �ą qśą t źąe+" p śąt źądt dt e-+" p śąt źądt
śą źą
+"
Twierdzenie:
p śątźą , qśąt źą śąa , bźą
Niech funkcje będą ciągłe na przedziale . Wtedy zagadnienie początkowe
y' �ą pśątźą y=q śątźą, yśąt0źą= y0 , gdzie t0"śąa , bźą , y0"!
ma dokładnie jedno rozwiązanie
śąa ,bźą
określone na przedziale .
y ' =3y �ąt y śą1źą=1
Zadanie: Rozwiązać zagadnienie początkowe
t
3 1
e+" pśąt źądt y'�ą pśątźą y=q śąt źą p śąt źą= p śątźą dt= -3 dt=-3lnt e+" pśąt źądt=e-3ln t=
+" +"
t t
t3
Sprawdzenie czynnika całkującego:
y y ' t3-3t2y y ' 3y
'
= = -
śą źą
t3 t6 t3 t4
I dalej:
y' 1
= dt y=t3śą-1 �ąC źą yśątźą=Ct3-t2 yśą1źą=C-1=1 C =2 yśąt źą=2t3=t2, tą0
+"
t
t3 t2
1
y' �ą y tg t= , yśą0źą=0
Zadanie: Znalez
ć rozwiązanie zagadnienia początkowego oraz
cos t
określić jego przedział.
1
ąą ąą
pśątźą=tg t qśąt źą= t0=0" - ,
śą źą
cos t 2 2
Metodą czynników całkujących
sin t
ąą
pśąt źądt= t dt= dt=-ln#"cos t#"=-ln cost bo t" -ąą ,
+" +"tg +"
śą źą
cost 2 2
Czynnik całkujący:
1
e+" pśąt źądt=e-ln cos t=
cos t
Sprawdzenie czynnika całkującego:
y y ' cost�ą y sin t y ' y sin t
'=
= �ą
śą źą
cost cost
cos2t cos2 t
I dalej:
1 1 y' ysin t 1 y 1
'
y' �ą ytg t= / �ą = = /
+"
śą źą
cos t cost cos t cost
cos2t cos2 t cos2 t
y 1 ąą
= dt yśąt źą=cost śątg t�ąC źą yśątźą=C cost�ąsin t t" -ąą ,
+"
śą źą
cost 2 2
cos2 t
ąą ąą
yśą0źą=0 y śą0źą=C=0 yśąt źą=sin t t " - ,
śą źą
2 2
Równania różniczkowe rzędu drugiego, sprowadzalne do równań rzędu
pierwszego
y' '= f śąt , y , y 'źą y= yśąt źą �ąśąt , yźą=0
Jednoznaczność rozwiązań:
W przypadku równań pierwszego rzędu jednoznaczne jest rozwiązanie:
yśąt0źą= y0, y ' śąt0źą= y1
Niejednoznacznym rozwiązaniem jest:
y ' = f śąt , yźą , y śąt0źą= y0
Ale jest ono jednoznaczne dla równań rzędu drugiego:
y ' '= f śąt , y , y ' źą y śąt0źą= y0 y' śąt0źą= y1
Wszystkie te funkcje muszą być ciągłe, żeby zagadnienie miało
jednoznaczne rozwiązanie.
y' '= f śąt , y 'źą - nie ma zmiennej :
1. y
Podstawiamy u= y '
u ' = f śąt , uźą
Zatem u ' = y' ' , więc czyli mamy już równanie pierwszego rzędu.
Zadanie: Rozwiązać równanie
y' '=śą y' źą2
du du= 1
u= y ' u '= y ' ' u'=u2 uśą t źąa"0 =dt /
+" +" +"dt - 1 =t�ąC1 u=-t�ąC1
u
u2 u2
1 dt
u= y' y '=- / yśąt źą=- yśąt źą=-ln#"t�ąC1#"�ąC
+" +"
2
t�ąC1 t�ąC1
Zadanie: Rozwiązać zagadnienie początkowe
t3 y ' '�ąt2 y ' =1 yśą1źą=1 y ' śą1źą=1
u 1 1
u= y ' u '= y ' ' t3 u'�ąt2 u=1 u '�ą = p śątźą= pśąt źądt=ln t e+" p śąt źądt=eln t=t
+"
t t
t3
u 1 1 1 1�ąC
u '�ą = /t u' t�ąu= śąutźą '= / ut=-
+"
1
t t
t3 t2 t2
C1 C1
1 1
u śątźą=- �ą y' śąt źą=- �ą y' śą1źą=-1�ąC1 C1=2
t2 t t2 t
2 1 1�ąC y śą1źą=1�ąC2 C2=0
y' śątźą= - / yśąt źą=2ln t�ą
+"
2
t t
t2
yśąt źą=2lnt �ą1 , tą0
t
y' '= f śą y , y ' źą
2. nie ma zmiennej t
dq dq
y' =q śątźą y' '= y' y ' ' = q
Podstawiamy wtedy
dy dy
dq dq 1
q = f śą y , qźą = f śą y , qźą
Zatem
dy dy q
dq
y y '-śą y' źą2= y ' y '=qśą y źą y ' ' =q
Zadanie: Rozwiązać równanie
dy
dq dq dq
yq -q2=q qśą y -q-1źą=0 q=0 (" y -q-1=0
dy dy dy
q=0 y '=0 y śątźąa"0
dq dq dy
y =q�ą1 = / ln#"q�ą1#"=ln#"y#"�ąln#"C1#", C1`"0
+"
dy q�ą1 y
dy
q�ą1=C1 y q=C1 y-1 y' =C1 y-1 =dt /
+"
C1 y-1
dy 1
= dt ln#"C1y-1#"=t�ąC2 ln#"C1 y-1#"=C1 t�ąln#"C2#"
+" +"
C1 y-1 C1
1
1 1
C1 y-1=C eC t yśąt źą= śąC2 eC t�ą1źą
2
C1