Algebra z elementami równań różniczkowych
Dr Marian Gewert
Wykład 08
Algebra Liniowa
Przestrzenie euklidesowe
Rzut ortogonalny
E0
E
Niech będzie podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej . Wektor u "E jest ortogonalny
E0 v "E0
śąu , vźą=0
do podprzestrzeni , jeśli dla każdego
u=śą2,-3,0źą
Przykład: Sprawdzić czy wektor jest ortogonalny do podprzestrzeni
ą
E0={śą x , y , zźą"E3 ,2 x=3y=5z}
y=5 z
2x=3y 3
v"E0 śąu , v źą=0 v=śąx , y , zźą 2x=3y=5z
ą
3y=5z 3 5
x= y= z
2 2
5 5 5
v"E0 5 t , t ,t t"! v=t , ,1 - przestrzeń jest prostą
śą źą śą źą
2 3 2 3
5 5
śąu ,vźą= śą2,-3,0źą , t , , 1 =5t-5t=0 u
ą jest prostopadłe do przestrzeni.
śą źą
śą źą
2 3
2 ąą
Przykład: E0=lin {sinśą xźą ,cosśą xźą}�"C śą[0, 2 ąą ]źą xn yn f =sin śą3xźą śą f , g źą= f śą xźą g śą x źądx
+"
0
h"E0 hśą x źą=�ą sinśą xźą�ą�ą cosśą x źą
2 ąą 2 ąą 2 ąą
śą f , hźą= sin śą3xźąśą�ą sin śą xźą�ą�ącosśą xźąźądx=�ą sin śą3xźą sinśą xźą dx�ą�ą sin śą3xźącosśąxźą dx=0
+" +" +"
0 0 0
Definicja:
E0
E
Niech będzie podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej . Zbiór wszystkich wektorów z
Ą"
E
przestrzeni które są ortogonalne do podprzestrzeni oznaczamy symbolem E0 i nazywamy
E0
dopełnieniem ortogonalnym przestrzeni .
Własności:
Ą"
E0 E
1. jest podprzestrzenią liniową .
Ą"
u , v"E0
śąu , wźą=0 " w "E
0
śąv , wźą=0 " w"E0
śą�ą u�ą�ą v , w źą=�ąśąu , w źą�ą�ąśąv , wźą=0 " w"E0
2.
{0}Ą" =E
E =0
3.
Ą"
Ą"
4. śą E0 źąĄ" =E0
Ą"
5. dimE =dimE0�ądimE0
Twierdzenie
E0 v1 ,... , vk
E
Niech będzie podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej . Niech będzie bazą tej
E0
podprzestrzeni. Wtedy wektor u "E jest ortogonalny do wtedy i tylko wtedy, gdy jest
śąu , viźą=0
ortogonalny dla każdego elementu bazy, czyli dla i=1, ... , k .
u "E śąu , vźą=0 " v"E0 v=�ą1 v1�ą...�ą�ąk vk
Niech
śąu , v źą=śą u , �ą1 v1�ą...�ą�ąk v źą=�ą1śąu , v1źą�ą...�ą�ąk śąu , vkźą=0
k
u=śą2,2,3,3źą
Przykład: Uzasadnij, że wektor jest ortogonalny do podprzestrzeni
E0={śą x , y , z ,t źą"E4 x�ą y=0, z�ąt=0}
-1 0
1 0
śą u , v1źą=śąśą 2,2,3 ,3źą ,śą-1,1 ,0 ,0źąźą=-2�ą2=0
x�ą y=0 x=- y
v1= v1=
0 -1
z�ąt=0 z=-t
śąu , v2źą=śąśą 2,2,3 ,3źą ,śą0,0 ,-1,1źąźą=-3�ą3=0
[ ] [ ]
0 1
E0=lin {1, cosśą2xźą, sinśą 2xźą}�"C śą[0,2 ąą ]źą f =2sinśą xźą-3cosśą xźą
Przykład:
2 ąą
v1a"1 v2=cosśą2xźą v3=sinśą2xźą śą f , g źą= f śą xźą g śą x źądx
+"
0
2 ąą 2ąą 2 ąą
śą f , v1źą= śą 2sinśą xźą-3cosśą xźąźą"1dx=2 sin śą xźą dx-3 cosśą xźądx=0
+" +" +"
0 0 0
2 ąą 2 ąą 2 ąą
śą f , v2źą= śą2sinśą xźą-3cosśą xźąźą"cosśą 2xźą dx=2 sin śą xźą cosśą2xźą dx-3 cosśą xźą cosśą2xźą dx=0
+" +" +"
0 0 0
2 ąą 2 ąą 2 ąą
śą f , v1źą= śą 2sinśą xźą-3cosśą xźąźą"sin śą2xźą dx=2 sin śą xźąsinśą 2xźą dx-3 cosśą xźą sinśą 2xźą dx=0
+" +" +"
0 0 0
Definicja:
E0 u0"E
E
Niech będzie podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej . Wektor nazywamy
0
u-u0Ą" E0 .
rzutem ortogonalnym wektora u"E , jeżeli
u=śą-1,2źą
Przykład: Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora na podprzestrzeni
E0={śą x , yźą"E2: x-3y=0}
u0"E u0=śą�ą , �ąźą �ą-3 �ą=0 u-u0Ą" E0
0
v1=śą3,1źą śąu-u0 , v1źą=0
u-u0=śą-1,2źą-śą�ą , �ąźą=śą-1-�ą ,2-�ąźą
śąu-u0,v1źą=-3śą1�ą�ąźą�ąśą2-�ąźą=-1-3�ą-�ą=0
-3�ą-�ą=1
3 �ą�ą�ą=-1
�ą-3 �ą=0
1=�ą=-3 �ą=-0,3 �ą=-1�ą0,9=-0,1
u0=śą-0,3 ;-0,1źą
Twierdzenie
E0 {e1 ,... ,ek}
E
Niech będzie podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej z bazą ortonormalną .
u0 E0
u
Niech u "E . Rzut ortogonalny wektora w przestrzeni wyraża się wzorem
u0=śąu , e1źą e1�ą...�ąśą u , ekźąek .
u0"E u0=�ą1e1�ą...�ą�ąk ek śąu-u0 , vźą=0 " v"E0 śąu-u0 , eiźą=0 i=1, ... ,k
0
śąu-u0 ,eiźą=śąu , eiźą-śą u0 , eiźą=0
śąu ,eiźą=śąu0 , eiźą=śą�ą1 e1�ą...�ą�ąk , ek , eiźą=�ą1 śąe1 , ei
i k i
�ąźą�ą...�ą�ą śąei , ei �ąźą=�ą
�ąźą�ą...�ą�ą śą ek , ei
0 1 0
�ąi=śąu ,eiźą u0=śąu ,e1źąe1�ą...�ąśąu ,ekźąek
E0
Przykład: Znalez
ć rzut ortogonalny wektora u=śą7,4źą"E2 na podprzestrzeń , która jest osią
u0=śą0,4źą
0Y ,
e1=śą0,1źą u0=śąu , e1źą e1 śąu , e1źą=4 u0=4 e1=śą0,4źą
E0
u=śą-4,5,6źą
Przykład: Znalez
ć rzut ortogonalny wektora , jest prostą o równaniu
x y
= =z
2 -1
x y
E0= śą x , y , zźą"E3 : = =z
{ }
2 -1
x y
= x=-2y x=2z 2t 2
2 -1
vn= -t
t "! v1= -1
y
[ ] [ ]
y=-z y=-z t 1
-1
v1 śą2,-1,1źą 2 1 1
8 5 6 7
e1= = = ,- , śą u , e1źą=- - �ą =-
śą źą
%"v1%"
6 6 6 6 6 6 6 6
ćą ćą ćą ćą ćą ćą ćą ćą
7 2 1 1 17 7 7
u0=śąu , e1źą e1=- ,- , = ,- ,
śą źą
śą źą
6 6 6
ćą6 ćą6 ćą6 ćą6
Macierze ortogonalne
A n
Macierz rzeczywistą stopnia nazywamy macierzą ortogonalną.
AAT=I
Własności:
1. AAT=I det śą AATźą=1 detA"detAT=1 śą detAźą2=1
#"det A#"=1 detA=1 (" detA=-1
2. AAT=1 AT =A-1
3.
AT= A-1 /�"A AT A= I
4.
śą A-1źąśą A-1źąT=śą A-1źąśą AT źą=śą AT"Aźą-1=I-1= I śą A-1źąśą A-1źąT= I
5. A , B - macierze ortogonalne
AB - macierz ortogonalna
śą ABźąśą ABźąT= I śą ABźąśą ABźąT=śą ABźąśą BT AT źą= ABBT AT= AIAT=AAT=I
sin �ą cos�ą sin �ą -cos �ą
A= AT=
Przykład:
[ ] [ ]
-cos�ą sin �ą cos�ą sin �ą
sin �ą cos�ą sin �ą -cos �ą 1 0
AAT= = =1
[ ][ ] [ ]
-cos�ą sin �ą cos�ą sin �ą 0 1
Formy kwadratowe
Definicja:
n
Formą kwadratową w przestrzeni nazywamy funkcję postaci: F śąx źą= aij xi x , gdzie
!n "
j
i , j=1
n
dla oraz
x=śą x1 , ... , xnźą , aij"!
i , j=1,... , n #"aij#"ą0
"
i , j=1
Przykład:
n
!1 F śą x1 , x2źą= aij xi x =a11 x2�ąa12 x1 x2�ąa21 x2 x1�ąa22 x2=a1 x2�ąśąa12�ąa21źą x1 x2�ąa22 x2
"
j 1 2 1 2
i , j=1
A=[aij]
Macierz nazywamy macierzą formy kwadratowej.
1 -2
A=
Przykład: F śą x1 , x2źą=x2-2x1 x2
1
[ ]
0 0
W dalsze części wykładów będziemy zakładać, że macierz formy kwadratowej jest symetryczna.
F śą xźą=xT Ax
1 3
A=
Przykład: Napisać formę kwadratową macierzy
[ ]
3 2
F śą x1 , x2źą=x2�ą6x1 x2�ą2x2
1 2