Algebra z elementami równań różniczkowych
Dr Marian Gewert
Wykład 09
Algebra Liniowa
Przestrzenie euklidesowe
Formy kwadratowe
AŚą F śą xźą
1
- te same formy kwadratowe
śą A�ą ATźąŚą F śą xźą
2
T
1 1 1
śą A�ą ATźą = śąAT�ą Aźą= śą A�ąAT źą
[ ]
2 2 2
2
F śą xźą= A11 x2�ą...�ąaij xi xj�ą...�ąa x xi�ą...�ąann x2=a11 x1�ą...�ąśąaij�ąa źą xi x �ą...�ąann x2
1 ji j n ji j n
1
F śą x źą=a11 x2�ą...�ą śąaij�ąa źą xi x �ą...�ą1 śąaij�ąa źą x xi�ą...�ąann x2
1 ji j ji j n
2 2
F śą x1 , x2źą=x2�ą3x1 x2�ąx2=x2�ą x1 x2�ą2x1 x2�ą x2
1 2 1 2
n
F śą xźą= aij xi x
"
j
i , j=1
x1
A=[aij] x= xT=śą x1 , ... , xnźą
�"
[ ]
xn
F śą xźą= xT Ax - macierzowy zapis formy kwadratowej
x "!n
e1=śą1,0 , ... ,0źą ,... , enśą0,0 , ...,1źą
E={e1 , ... , en}
B={v1 , ... , vn}
- baza w
!n
P - macierz przejścia z bazy do
E B
v1= p11 e1�ą...�ą pn1 en p11 �" p1n
p= P=[v1 ,... , vn]
�" �" ń" �"
[ ]
vn= p1n e1�ą...�ą pnnen pn1 �" pnn
[ x ]B=P-1[ x ]E [ x ]E= p[ x ]B [ x ]E=x [ x]B= y=śą y1 ,... , ynźą x= Py
F śą x źą=xT Ax=śą Py źąT APy= yT PT AP y
�ą
C
F B
C=PT AP - macierz formy kwadratowej w bazie .
C
Macierz jest symetryczna ?
CT=C
śą PT AP źąT= PT AT śąPTźąT=PT AP=C
F śą x źą= yT PT APy y=śą y1 ,... , ynźą
Przykład: F śą x1 , x2źą=5x2�ą6x1 x �ą5x2 v1=śą1,1źą v2=śą1,-1źą B={v1 , v2}
1 2 2
5 -3 1 1
A= E Śą B P=[v1 , v2]=
[ ] [ ]
-3 5 1 -1
1 1 5 -3 1 1 1 1 2 8 4 0
C=PT AP= = =
[ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]
1 -1 -3 5 1 -1 1 -1 2 -8 0 16
4 0 y1 =śą y1 , y2źą 4y1 =4y2�ą16y2
F śą X , x2źą=śą y1 , y2źą
1 1 2
[ ]
0 16 [ ] [ ]
y2 16y2
2
F śą x1 , x2źą=5x1�ą6x1 x2�ą5x2=16
2 x1 , x2
4y2�ą16y2=16 /:16
1 2
x2�ąx2=r2-koło
1 2
2
y1
x2 x2
1 2
�ą y2=1
�ą =1-elipsa
22 2
a2 b2
F śą xźą B
Forma ma w bazie postać kanoniczną, jeżeli w tej bazie macierz tej formy jest
macierzą diagonalną.
F śą x źą=b11 y2�ą...�ąbnn y2 x=Py
1 n
B
Bazę będziemy nazywali bazą kanoniczną formy kwadratowej.
Własności macierzy symetrycznych:
A n
( jest rzeczywistą macierzą symetryczną stopnia )
1. Wartości własne macierzy symetrycznej są rzeczywiste.
2. Wektory własne odpowiadające różnym wartością własnym macierzy symetrycznych są
ortogonalne.
3. Każda macierz symetryczna jest diagonalizowalna
A P-1 AP=D
F śą x źą= yT PT APy x=Py
śą PT P=PPT=I źą
F śą x źą= xT Ax= yT PT APy
P=[v1... v2] PT P=diag śą%"v1%"2,... ,%"vn%"2źą
P A P-1 AP=diag śą�ą1... �ąnźą
Niech będzie macierzą diagonalizującą macierz czyli gdzie
�ą1 , ... , �ąn P=[v1... vn] v1 ,... , vn
wartości własne macierz A , a macierz , wektory własne
�ą1 , ... , �ąn . Zatem za macierz przejścia z bazy do nowej
odpowiadające wartościom własnym E
B P
bazy przyjmujemy macierz .
PT=diag śą%"v1%"2 , ... ,%"vn%"2źą P-1
F śą xźą= yT PT APy= yT diagśą%"v1%"2 ,... ,%"v %"2źą P-1 APy yT diag śą�ą1%"v1%"2 ,... ,�ąn%"vn%"2źą y=
n �ą=
Stąd
diag śą�ą1 ,... ,�ąnźą
=�ą1%"v1%"2 y2 , ... ,�ąn%"vn%"2 y2
1 n
F śą x1 , x2 , x3źą=6x2�ą5x2�ą7x2-4x1 x2�ą4x1 x3
Przykład:
1 2 3
6 -2 2 6-�ą -2 2
A= -2 5 0
det śą A-�ą I źą=det -2 5-�ą 0
=śą6-�ąźąśą�ą-3źąśą�ą-9źą
[ ] [ ]
2 0 7 2 0 7-�ą
�ą1=6 �ą2=3 �ą3=9
1
�ą1=6 v1 śą A-�ą1 I źą v1=0 v1=
-2
[ ]
-2
1
�ą2=3 v2 śą A-�ą2 I źą v2=0 v2=
2
[ ]
-2
2
�ą3=9 v3 śą A-�ą3 I źą v3=0 v3= -1
[ ]
2
1 2 2 18 0 0
P= -2 2 -1 0 9 0
C =PT AP=
[ ] [ ]
-2 -1 2 0 0 27
2
F śą x1 , x2 , x3źą=18y2�ą9y2�ą27y3
1 2
Metoda Lagrange'a sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej
aij`"0
I. Istnieje 1d"id"n takie, że
a11`"0
A.
n n
2
F śą xźą= aij xi x =a11 x1�ą2a12 x1 x2�ą...�ą2a1n x1 xn�ą aij xi x =
" "
j j
i , j=1 i , j=2
n
a12 a1n
=a11śą x2�ą2 x1 x2�ą...�ą2 x1 xnźą�ą aij xi x =
"
1 j
a11 a11
i , j=2
a12 a1n 2 n
=a11śą x1�ą x2�ą...�ą xnźą �ą bij xi x
"
a11 a11 i , j =2 j
a12 a1n
y1=x1�ą x2�ą...�ą xn
a12 a1n
a11 a11
1 �"
a11 a11
y2= x2
=1`"0
0 1 �" 0
�"
yn= xn �" �" ń" �"
[ ]
n
0 0 �" 1
2
F śą x źą=a11 y1�ą bij yi y
"
j
i , j =1
2 2
Przykład: F śą x1 , x2 , x3źą=x1�ą2x1 x2�ą2x2�ą4x2 x3�ą5x3
2
a11=1
F śą xźą=śą x1�ą x2źą2-x2�ą2x2�ą4x2 x3�ą5x2=śą x1�ąx2źą2�ą x2�ą4x2 x3�ą5x2=
2 2 3 2 3
=śą x1�ąx2źą2�ąśą x2�ąx3źą2�ąx2
3
y1=x1�ąx2 y2=x2�ą x3 y3= x3
2
F śą xźą= y1�ą y2�ą y2
2 3
ai i0`"0
B.
0
y1=xi0 yi =x1 yi=xi dla i=2,... , n i`"i0 i dalej sytuacja jak w I.A.
0
aii=0 i=1,2 ,... , n
II.
a12`"0
A.
F śą xźą=2a12 x1 x2�ą...
x1= y1�ą y2 x2= y1- y2 xi= yi i=3,... , n
i sytuacja taka jak w I.A.
2
F śą xźą=2a11śą y1�ą y2źąśą y1- y2źą=2a11 y1-2a11 y2�ą...
2
2
Przykład: F śą x źą=x1 x2 x1= y1�ą y2 x2= y1- y2 F śą xźą=śą y1�ą y2źąśą y1- y2źą= y1- y2
2
F śą x1 , x2, x3źą=x1 x2�ąx2 x3�ą x1 x3
Przykład:
x1= y1�ą y2 x = y1- y2 x3= y3
2
F śą xźą= y2- y2�ąśą y1- y2źą y3�ąśą y1�ą y2źą y3= y2- y2�ą y1 y3- y2 y3�ą y1 y3�ą y2 y3=
1 2 1 2
= y2- y2�ą2y1 y3= y2�ą2y1 y3- y2=śą y1�ą y3źą2- y2- y2
1 2 1 2 3 2
z1= y1�ą y3 z2= y2 z3= y3
2
F śą X źą=z1-z2-z2
2 3
a12=0 ai j0`"0
B.
0
y1=xi y2= x1 y =x2 y = xi i=3, ... , n i`"i0 , j0 i dalej jak w II.A.
j0 j
0
Przykład: F śą x1 , x2 , x3źą=x1 x3 x1= y1�ą y2 x3= y1- y2 x2= y3 F śą xźą= y2- y2
1 2