Algebra z elementami równań różniczkowych
Dr Marian Gewert
Wykład 03
Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe rzędu drugiego, sprowadzalne do równań rzędu
pierwszego
Zadanie: Rozwiązać równanie z warunkami początkowymi 4y ' ' y=1, y śą0źą=1, y ' śą0źą=-1
ćą
dq dq dy dy
y '=q śą yźą�! y ' '= q 4q y=1 2q dq= / 2q dq=
ćą
+" +" +"
dy dy
2 y 2 y
ćą ćą
q2= y�ąC1 q= y�ąC1("q=- ćą ćą
y�ąC1 y '= y�ąC1 (" y' =- ćą
y�ąC1
ćą ćą
ćą ćą ćą ćą
�ą
nie może być bo y 'śą0źą=-1
1
y'=- ćą
y�ąC1 y' śą0źą=- ćą
yśą0źą�ąC1 -1=- 1�ąC1 C =0 y '=- ćą
y y '=- y4
ćą ćą
ćą ćą
1
4
1 1 3 3
- -
3
4 3 3
4 4
y dy=-dt / y dy=- dt y4=--t�ąC2 y4=- t�ąC yśąt źą= - t�ąC2
+" +" +"
2
śą źą
3 4 4
ćą
4
3 3 3
yśą0źą= C4=1 C =1 yśą tźą= - t �ą1
ćą
2 2
śą źą
4
ćą
Równania różniczkowe rzędu II liniowe
Definicja:
śąLźą y ' '�ą p śątźą y '�ąq śątźą y=h śątźą
Równanie postaci nazywamy równaniem różniczkowym
liniowym.
Twierdzenie: (o istnieniu i jednoznaczności)
p śątźą , qśąt źą hśątźą śąa ,bźą
Niech funkcje oraz są ciągłe na przedziale
wtedy zagadnienie początkowe
y' '�ą pśąt źą y '�ąq śątźą y=h śątźą , y śąt0źą= y0 , y' śąt0źą= y1 ,
t0"śąa , bźą , y0 , y1"!
gdzie ma dokładnie jedno rozwiązanie.
śąa , bźą
Rozwiązanie to jest określone na całym przedziale .
W dalszej części wykładu dla uproszczenia twierdzeń i definicji przyjmujemy że wszystkie funkcje
śąa ,bźą
są ciągłe na przedziale .
Równania różniczkowe rzędu II liniowe jednorodne
Definicja:
śąLJ źą y ' ' �ą p śątźą y'�ąqśąt źą y=0
Równanie postaci nazywamy równaniami liniowymi
jednorodnymi.
Fakt:
y1śątźą , y2śąt źą �ą1 y1śąt źą�ą�ą2 y2śątźą
Niech będą rozwiązaniami równania (LJ). Wtedy funkcja , gdzie
�ą1 , �ą2"!
jest również rozwiązaniem równania (LJ).
Definicja:
y1śątźą , y2śąt źą
Parę rozwiązań równania (LJ) spełniającą warunek:
y1śąt źą y2śąt źą
W śą y1 , y2źąśąt źą=det `"0
t"śąa , bźą
dla , nazywamy układem fundamentalnym
[ ]
y1' śąt źą y2 ' śątźą
równania (LJ). wrońskian
Przykład: Sprawdzić czy funkcje y1śątźą=e2t , y2śątźą=te2t tworzą bazę równania
y ' '-4y'�ą4y=0 !
na .
?
1.
y1śątźą=e2t y1 ' '-4y1' śąt źą�ą4y1śątźą=0 y1' śąt źą=2 e2t y1' ' śąt źą=4 e2t 4e2t-8e2t�ą4 e2t=0
?
y2śątźą=te2t y2' '-4y2' śątźą�ą4y2 śątźą=0 y2 '=e2t�ą2te2t=śą1�ą2tźą e2t
y2' '=2 e2t�ą2śą1�ą2tźąe2t=śą4�ą4tźąe2t śą4�ą4t źąe2t-4śą1�ą2tźą e2t�ą4te2t=0
e2t te2t =e4t�ą2te4t-2te4t=e4t`"0
2. W śą y1 , y2źąśąt źą=det
[ ]
2 e2t e2t�ą2te2t
Czyli układ jest fundamentalny.
Twierdzenie:
y1śątźą , y2śąt źą
Niech będzie układem fundamentalnym równania (LJ). Wtedy dla każdego

ą
ą
yśątźą C1 , C2
rozwiązania tego równania istnieją (jednoznacznie wyznaczone) stałe takie, że

ą
ą2 .
yśątźą=C1 y1śątźą�ąC y2śąt źą
Dowód:
t0"śąa , bźą yśąt0źą= y0 , y ' śąt0źą= y1
Niech i oznaczmy . Rozważmy układ równań:
y1śąt0źą y2śąt0źą
C1 y1śąt0źą�ąC2 y śąt0źą= y0 C1 = y0
2
[ ]
[ ] [ ]
y1' śąt0źą y2 ' śąt0źą
C1 y1 ' śąt0źą�ąC y2 ' śąt0źą= y1 C2 y1
2
Czyli są jednoznacznie wyznaczone
y1śąt0źą y2 śąt0źą
ą
ą
C1 ,C2
det =W śą y1 , y2źąśąt0źą`"0
[ ]
y1' śąt0źą y2 ' śąt0źą

ą
ą2
yśątźą=C1 y1śątźą�ąC y2śąt źą yśąt źą
Rozważmy funkcje
ą
ą jest rozwiązaniem (LJ)

ą1
ą2
yśąt0źą=C y1śąt0źą�ąC y2śąt0źą= y0

ą
yśątźą= y śątźą
Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności
ą

ą1
ą
yśąt0źą=C y1' śąt0źą�ąC2 y2' śą t0źą= y1

ą
Uwaga:
C1 y1śąt źą�ąC2 y2śątźą C1 , C2"!
Rozwiązanie równania (LJ) postaci , gdzie nazywamy
rozwiązaniem ogólnym równania (LJ).
Równania o stałych współczynnikach
Definicja:
śą LS źą y ' ' �ą py '�ąqy=0
Równanie postaci , gdzie p , q "! nazywamy równaniem o stałych
współczynnikach.
dy= p dt ln#"y#"=- pt�ąln#"C#" y śąt źą=Ce- pt
y ' �ą py=0 p "!
y
�ą
Przykład: Wyznaczyć parametr tak aby funkcja yśątźą=e�ą t była rozwiązaniem równania (LJ)
y' śątźą=�ąe�ąt y ' ' =�ą2 e�ą t y' ' śąt źą�ą py' śątźą�ąqy śąt źą=�ą2 e�ąt�ą p �ąe�ąt�ąqe�ąt=śą�ą2�ą p�ą�ąqźąe�ąt=0 �!
�! �ą2�ą p �ą�ąq=0
Definicja:
Wielomian W śą�ąźą=�ą2�ą p �ą�ąq nazywamy wielomianem charakterystycznym równania (LS).
�ąśą�ąźą=0
Równanie nazywamy równaniem charakterystycznym (LS).
�ą1 , �ą2 będą pierwiastkami równania charakterystycznego równania (LS).
Niech
1 2
1. �ą1 , �ą2"! , �ą1`"�ą2 y1śątźą=e�ą t , y2śąt źą=e�ą t - rozwiązania
1 2
e�ą t e�ą t
1 1 1
W śą y1 , y2źąśąt źą= =�ą2eśą�ą �ą�ą2źąt-�ą1 eśą�ą �ą�ą2źąt=śą�ą2-�ą1źąeśą�ą �ą�ą2źąt`"0
1 2
#" #"
�ą1 e�ą t �ą2e�ą t
1 2
y1śątźą=e�ą t , y2śąt źą=e�ą t - układ fundamentalny.
2. �ą1 , �ą2"! , �ą1=�ą2=�ą y1śątźą=�ą e�ąt - rozwiązanie
y2śątźą=u śąt źąe�ą t u ' śąt źą=0 u śątźą=t y2śątźą=te�ąt
e�ą t te�ą t =e2 �ą�ąt e2 -�ąt e2 =�ąt e2 `"0
�ąt �ąt �ąt �ą t
W śą y1 , y2źąśąt źą=
#" #"
e�ą t e�ą t�ą�ąte�ą t
y1śątźą=�ąe�ąt , y2śątźą=�ą t e�ą t - układ fundamentalny.
ą
�ą1=�ą�ąi �ą , �ą2=�ą1=�ą-i �ą
3. , gdzie �ąą0
y1śątźą=e�ą t cos �ąt , y2 śątźą=e�ą t sin �ą t - układ fundamentalny.
Przykład: Rozwiąż równanie y ' '-2y=0
1. �ą2-2=0
2 �ą2= 2
2. �ą1=-ćą ćą
3. y1śątźą=e-ćą2t y2 śąt źą=ećą2 t
4. yśątźą=C1 e-ćą2 t�ąC ećą2 t
2
y ' ' -4y '�ą3y=0 y śą0źą=7 y ' śą0źą=16
4-2=1 �ą2= 4�ą2=3 y1śątźą=et y2śątźą=e3t
�ą2-4�ą�ą3=0 �ą=16-12=4 �ą1=
2 2
yśątźą=C1 et�ąC e3t y ' śątźą=C1 et�ą3C2e3t yśą0źą=C1�ąC 2=7 2C2=9 C =9 C1=5
2 2
2 2
y' śą0źą=C1�ą3C2=16
5 9
yśątźą= et�ą e3t
2 2
y' '-4y'�ą5y=0
4�ą2i=2�ąi �ą2= 4-2i
�ą2-4 �ą�ą5 �ą=16-20=-4 �ą1= =2-i
2 2
y1śąt źą=e2t cost y2 śątźą=e2t sin t yśąt źą=C1e2t cost�ąC2 e2t sin t