W05 Algebra Gewert

Algebra z elementami równań różniczkowych
Dr Marian Gewert
Wykład 05
Algebra Liniowa
V
�ą - działanie binarne �ą: V �V ŚąV
�" - działanie unarne �":!�V ŚąV
śąV ,�ą,�"źą
- przestrzeń liniowa rzeczywista
u , v ,w"V �ą , �ą"!
1. u�ąv=v�ąu - przemienność
śąu�ąvźą�ąw=u�ąśąv�ąwźą - łączność
2.
działania binarne
3. u�ą0=0�ąu=u - element neutralny
u�ąśą-u źą=śą-uźą�ąu=0 - element przeciwny
4.
�ąśą�ą uźą=śą�ą �ąźąu
5.
śą�ą�ą�ąźą u=�ąu�ą�ąu - rozdzielność
6.
działania unarne
7. 1�"u=u - element neutralny
�ąśąu�ąvźą=�ą u�ą�ą v
8.
Przestrzenie liniowe
!n={śą x1 ,..., xnźą: xi"! ,i=1,2 ,... , n}
1.
x�ą y=śą x1�ą y1 ,... , xn�ą ynźą
�ą x=śą�ą x1 ,... ,�ą xnźą
x=śą x1 ,..., xnźą y=śą y1 ,... , y źą
n
!n [x]
2. - zbiór wszystkich wielomianów stopnia d"n
śą p�ąqźąśą xźą= pśąxźą�ąq śą xźą
śą�ą pźąśą xźą=�ą pśą xźą
![ x] - zbiór wszystkich wielomianów, działania jak powyżej.
3.
C śą I źą - zbiór wszystkich funkcji ciągłych na przedziale
4. I
śą f �ąg źąśą xźą= f śą xźą�ą g śą xźą
śą�ą f źąśą x źą=�ą f śą xźą
M
5. - zbiór wszystkich macierzy wymiaru m�n
m�n
A=[aij], B=[bij]
A�ą B=[aij�ąbij]
�ą�"A=[�ą aij]
Zbiór wektorów B jest bazą przestrzeni V , jeżeli:
1. zbiór B jest liniowo niezależny
2. lin B=V
v1 ,... , vn"V
�ą1 v1�ą...�ą�ąn vn=0 �!�ą1=...=�ąn=0
dim V - ilość wektorów bazy
!n
e1=śą1,0 ,...,0źą e2=śą0,1,...,0źą ...en=śą0,0 , ...,1źą
x=śą x1 , x2 ,... , xnźą
x= x1 e1�ąx2 e2�ą...�ą xn en
!n [x]
p1=1, p2=x ,... , pn�ą1= xn
dim ! [x]=n�ą1
�ą11�ą�ą2 x�ą...�ą�ąn�ą1 xna"0
�ą2�ą...�ąn �ąn�ą1 xn-1a"0
po kolei różniczkując
�"
n ! �ąn�ą1a"0 �! �ą1=�ą2=...=�ąn�ą1=0
![ x]
p1=1, p2=x ,...
- baza nieskończona
M
m�n
1 0 �" 0 0 0 �" 0 0 0 �" 0
0 0 �" 0 0 1 �" 0 0 0 �" 0
E1= , E = ,... , E =
2 n
�" �" ń" �" �" �" ń" �" �" �" ń" �"
[ ] [ ] [ ]
0 0 �" 0 0 0 �" 0 0 0 �" 1
Zmiana bazy
V - przestrzeń liniowa rzeczywista, v "V - dowolny element
B={b1 , ... , bn}
- baza przestrzeni V
v=�ą1b1�ą... �ąn bn
�ą1 , ... , �ąn
współczynniki są wyznaczone jednoznacznie
�ą1
[v]B=
v
Wektor �" nazywamy wektorem współrzędnych w bazie B
[ ]
�ąn B
Przykład: !2[ x ] p1=2 p2=x-1 p3=x2�ą1
�ą1 p1�ą�ą2 p2�ą�ą3 p3=�ą1�"2�ą�ą2śą x-1źą�ą�ą3śą x2�ą1źą=�ą3 x2�ą�ą2 x�ą2 �ą1-�ą2�ą�ą3a"0
�ą1=�ą2=�ą3=0
q "!2[ x ]
q=x2-x�ą1
q=�ą1 p1�ą�ą2 p2�ą�ą3 p3
�ą1�"2�ą�ą2śą x-1źą�ą�ą3śą x2�ą1źąa" x2-x�ą1
�ą3 x2�ą�ą2 x�ą2 �ą1-�ą2�ą�ą3a" x2-x�ą1
1
�ą3=1 �ą2=-1 2�ą1�ą1�ą1=1 Śą�ą1=-
2
[q]B= -1 ,-1,1
[ ]
2
B={b1 , ... , bn} B '={b1 ' , ... , bn' }
V
Niech będzie rzeczywistą przestrzenią linową i niech ,
będą jej bazami.
b1'= p11 b1�ą...�ą pn1bn
Wtedy �" = �" �" �"
bn'= pn1b1�ą...�ą pnn bn
p11 �" p1n
P=
Macierz �" ń" �" nazywamy macierzą przejścia z bazy B do B'
[ ]
pn1 �" pnn
P
Macierz jest nieosobliwa, czyli wyznacznik tej macierzy jest różny od zera det P`"0
B={b1 , ... , bn} B '={b1 ' , ... , bn' }
V
Niech będzie rzeczywistą przestrzenią linową i niech ,
[v ]B '=P-1[v ]B
będą jej bazami. Niech v"V . Wtedy
[v ]B=[�ą1 ,... , �ąn]B [v ]B'=[�ą1' ,... , �ąn' ]B '
Oznaczmy
v=�ą1' b1 '�ą...�ą�ąn' bn' =�ą1' śą p11 b1�ą...�ą p1n bnźą�ą...�ą�ąn ' śą pn1 b1�ą...�ą pnnbnźą=
=śą �ą1' p11�ą...�ą1 ' p1nźąb1�ą...�ąśą�ą1' pn1�ą... �ą1' pnnźąbn=�ą1 b1�ą...�ą�ąn bn
�ą1=�ą1' p11�ą...�ą�ąn ' p1n �ą1 p11 �" p1n �ą1 '
[v]B=P [v ]B '
=
�" �" �" ń" �" �"
[ ] [ ][ ]
�ąn=�ą1' pn1�ą...�ą�ąn' pnn �ąn pn1 �" pnn �ąn ' [v]B'=P-1[v ]B
Przykład
!1[ x] B : p1a"1 p2a" x B ' : q1=1-x q2=1�ąx
v=2�ą3x [v]B=[2,3]
q1= p11 p1�ą p21 p2
q2= p12 p1�ą p22 p2
1- x= p11�"1�ą p21 x
1 1
P=
[ ]
1�ą x= p12�"1�ą p22 x
-1 1
[v ]B '=P-1[2,3]B
1 1 1
T - -1
-1
1
1 1 2 2 2 2
2 2
P-1= = [v]B'=P-1[v]B= =
[ ]
[ ]
2 -1 1 1 1 1 1 3 5
[ ] [ ]
[ ]
2 2 2 2 2
v=2�ą3x=�ą1' q1�ą�ą2 ' q2=�ą1' śą1- xźą�ą�ą2' śą1�ąxźą=śą�ą2'-�ą1' źą x�ąśą�ą1 '�ą�ą2 ' źą
5
�ą2' -�ą1' =2 �ą2 '=
1 5
2
[v]B'= - ,
[ ]
2 2
1
�ą1 '�ą�ą2 '=3 �ą1 '=-
2
Diagonalizacja macierzy
Definicja:
A n
Macierz rzeczywista stopnia jest diagonalizowalna jeżeli jest podobna do macierzy
diagonalizowalnej, czyli jeżeli istnieje macierz nieosobliwa P stopnia n taka,że P-1 AP jest
macierzą diagonalaną.
Przypomnienie:
A - rzeczywista macierz kwadratowa stopnia n
�ąAśą�ąźą=detśą A-�ą I źą
- wielomian charakterystyczny macierzy
A
Pierwiastki wielomianu charakterystycznego nazywamy wartościami własnymi macierzy .
v"!n v`"0
Av=�ą v
śą A-�ą I źą v=0 k śą�ąźą - krotność pierwiastka .
�ą
W - przestrzeń wektorów własnych odpowiadających wartością własnym .
�ą
�ą
dimW d"k śą�ąźą
�ą
Twierdzenie:
Macierz A jest diagonalizowalna wtedy i tylko wtedy, gdy wektory własne tej macierzy tworzą
bazę przestrzeni .
!n śą!nźą
D=diag śą�ą1 , ... , �ąnźą
A
Niech będzie diagonalizowalna, czyli gdzie .
P-1 AP=D
v1 ,... , vn
P
Niech będą kolumnami macierzy .
v1 ,... , vn liniowo niezależne, bo wyznacznik
det P`"0 .
v1 ,... ,vn są wektorami własnymi macierzy .
Pokażemy, że wektory A
�ą1 �" 0
P-1 AP=D AP=PD A[v1 , ... , vn]=[v1 ,... ,vn]
�" ń" �"
[ ]
0 �" �ąn
A1 v1=�ą1 v1 , ... , An vn=�ąn v
n
Przykład:
1 -1 0
A=
-1 2 -1
[ ]
0 -1 1
1-�ą -1 0
�ąAśą�ąźą= =śą1-�ąźą2 śą2-�ąźą-śą1-�ąźą-śą1-�ąźą=śą1-�ąźą[śą1-�ąźąśą2-�ąźą-2]=
-1 2-�ą -1
[ ]
0 -1 1-�ą
=śą1-�ąźąśą�ą2-3�ąźą=�ąśą1-�ąźąśą�ą-3źą
�ą1=0 �ą2=1 �ą3=3
v1 0
1 -1 0
�ą1=0 v=? Av=0 -1 2 -1 v2 0 v3 - parametr
=
[ ] [ ]
[ ]
0 -1 1
v3 0
v3
1
v1-v2=0 v2=v3 v= v3 v3"! "{0}�! v= 1
A
jest wektorem własnym macierzy .
-v1�ą2v2=v3 v2=v3
[ ]
[ ]
1
v3

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
W07 Algebra Gewert
W08 Algebra Gewert
W02 Algebra Gewert
W01 Algebra Gewert
W06 Algebra Gewert
W04 Algebra Gewert
W03 Algebra Gewert
W09 Algebra Gewert
lista uzupelniajaca Gewerta algebra
Wstęp do pakietu algebry komputerowej Maple
Algebra Ikl
W05 Fizyka Haran
Microsoft PowerPoint 04 algebra relacji i rachunek relacyjny
2008 11 Maximum Math Free Computer Algebra with Maxima
lista zadań, algebra
algebra kolokwium (liczby zespolone)

więcej podobnych podstron