Algebra z elementami równań różniczkowych
Dr Marian Gewert
Wykład 07
Algebra Liniowa
Przestrzenie euklidesowe
Iloczyn skalarny
V - rzeczywista przestrzeń liniowa
śą " , " źą:V �V Śą!
2
V Śą!
śąu , vźą=śą v , uźą
śą�ą u , vźą=�ąśąu , v źą
śąu�ąv ,wźą=śąu , wźą�ąśąv , wźą
śąu , uźąe"0
śąu , uźą=0�! u=0
Definicja:
V
Rzeczywistą przestrzeń liniową z iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią euklidesową.
E
Uwaga: Przestrzeń euklidesową będziemy oznaczali literą .
Przykłady przestrzeni euklidesowych:
!n śą x , yźą=x1 y1�ą...�ąxn yn - iloczyn skalarny kanoniczny
1.
x=śą x1 , ... , xnźą , y=śą y1 ,... , ynźą=!n
En
!n [x] śą p , qźą= p śą x-0źą qśą x0źą�ą...�ą p śą xnźąq śą xnźą x0"ąx1"ą..."ą xn
2.
1
śą p ,qźą= pśą xźą qśą xźą dx
+"
-1
b
3. C śą[a , b]źą f , g "C śą[a , b]źą śą f , g źą= f śą xźą g śą xźą dx
+"
a
śą f , g źą=śą g , f źą
a)
śą�ą f , gźą=�ąśą f , g źą
b)
śą f �ąg ,hźą=śą f ,hźą�ąśą g , hźą
c)
b
2
d) śą f , f źąe"0 f śąxźądxe"0
+"
a
b
2
e) śą f , f źą=0 �! f śą xźąa"0 f śą xźą dx=0 �! f śą xźąa"0
+"
a
Własności iloczynu skalarnego:
Niech u ,v , w"E �ą , �ą"!
i
Wtedy:
śąu ,v�ąwźą=śąu , vźą�ąśą u , wźą
1.
śąu ,�ą vźą=�ąśąu , vźą
2.
3. śą�ą u�ą�ą v ,w źą=�ąśąu ,w źą�ą�ąśąv , wźą
4. śąu,0źą=0
Norma wektora
u
Niech będzie elementem przestrzeni euklidesowej.
df
%"u%"= śąu ,uźą
ćą
Przykład:
E2 x=śą x1 , y1źą y=śą x2 , y2źą śą x , yźą= x1 x2�ą y1 y2 z=śą x3 , y3źą %"z%"= śą z , zźą= x2�ą y2
ćą
ćą
3 3
R1[ x] p=x�ą1 śą p , q źą= p śą0źąqśą0źą�ą pśą1źąqśą1źą�!śą p , pźą= p2śą0źą�ą pśą1źą=1�ą4=5
Przykład:
1 1
1 2
śą p ,qźą= pśą xźą qśą xźą dx�!śą p , pźą= śą x�ą1źą2 dx= śą x�ą1źą2 #"1=
+" +"
0
śą źą
3 3
0 0
Własności normy:
%"u%"e"0
1.
%"�ą u%"=#"�ą#"%"u%"
2.
%"u%"=0�! u=0
3.
%"u�ąv%"d"%"u%"�ą%"v%" - nierówność trójkąta
4.
#"śąu , vźą#"d"%"u%""%"v%" - nierówność Schwartza
5.
Definicja:
śąu , vźą
cos�ą=
Miarą kąta między wektorami u , v"E nazywamy �ą"[0 ,ąą] takie, że
%"u%"%"v%"
śą u , vźą śą u , vźą
d"1 #"śąu , v źą#"d"#"%"u%"%"v%"#" #"śą u , vźą#"d"%"u%"%"v%" d"1
Czy ? czyli .
#" #" #" #"
%"u%"%"v%" %"u%"%"v%"
""śą p , qźą p=x2-1 q= x�ą1"R2[ x]
Przykład: Obliczyć jeżeli
śą p , qźą= pśą0źą q śą0źą�ą pśą1źąq śą1źą�ą p śą2źąq śą2źą
oraz
%"p%"= śą p , pźą= p2śą0źą�ą p2śą1źą�ą p2śą2źą= 1�ą0�ą9= 10
ćą ćą ćą ćą
%"q%"= śąq ,qźą= q2śą0źą�ąq2śą1źą�ąq2śą2źą= 1�ą4�ą9= 14
ćą ćą ćą ćą
śą p ,qźą= pśą0źąqśą0źą�ą pśą1źąq śą1źą�ą pśą2źąq śą2źą=śą-1źąśą-1źą�ą0"2�ą3"3=8
8
cos""śą p , qźą=
10 14
ćą ćą
Wektory ortogonalne
śąu , v źą=0
Wektory u , v"E są ortogonalne, jeśli
%"u%"=1
Wektor u "E nazywamy wektorem unormowanym, jeżeli
u
v=
Uwaga: Niech u`"0 . Wtedy jest wektorem unormowanym.
%"u%"
Definicja:
Zbiór wektorów przestrzeni euklidesowej jest zbiorem ortogonalnym jeżeli każde dwa jego wektory
są ortogonalne.
Zbiór wektorów przestrzeni euklidesowej jest ortonormalnym, jeżeli jest zbiorem wektorów
unormowanych i ortogonalnych.
f a"1, f a"sin śą xźą , f a"sinśą2xźą, ...
Przykład: Sprawdzić, że zbiór wektorów z przestrzeni
0 1 2
2 ąą
C śą[0,2 ąą ]źą
z iloczynem skalarnym śą f , g źą= f śą xźą g śą xźądx jest układem ortogonalnym.
+"
0
f =sinśą kxźą f =sinśąlxźą śą f , f źą=0
k l k l
2 ąą 2 ąą
1
śą f , f źą= sin śąkxźąsin śąlxźądx= śąsinśąśąk �ąl źąx źą�ąsin śąśąk-lźą xźąźądx=
+" +"
k l
2
0 0
2 ąą 2 ąą
1
= sinśąśąk�ąl źą xźą dx�ą sinśąśąk-l źą xźą dx =0
+" +"
2
0 0
�ą �ą
[ ]
=0 =0
Twierdzenie
Każdy układ wektorów ortogonalnych (bez wektora zerowego) z przestrzeni euklidesowej jest
układem liniowo niezależnych wektorów.
Dowód:
u1 ,u2 , ... , un"E
�ą1 u1�ą...�ą�ąn un=0�!�ą1=...=�ąn=0
�ą1 u1�ą...�ą�ąn un=0 /śąui skalarźą
�ą1śą u1 , ui
i n
�ąźą�ą...�ą�ą śąui , ui �ąźą=śą0 , ui
�ąźą�ą...�ą�ą śąun , ui �ąźą
=0 =0 =0 =0
�ą1śąu1 , u1źą=0
�ą1%"u1%"2=0 /:%"u%"2
�ąi=0
Definicja:
Bazę przestrzeni euklidesowej złożonej z wektorów ortogonalnych (ortonormalnych) nazywamy
bazą ortogonalną (ortonormalną).
En e1=śą1,0 ,... ,0źą ,... , en=śą0,0 ,... ,1źą
Przykład:
%"ei%"=1 i=1, ... , n śąei ,e źą=0 i , j=1,... , n
j
e1 ,... , en
Uwaga: Bazę ortonormalną będziemy oznaczali przez
{e1 ,... , en} u=�ą1 e1�ą...�ą�ąn en /ei
E
Niech u "E i niech będzie bazą przestrzeni . Wtedy
śąuieiźą=�ą1 śąe1 , ei
i
�ąźą�ą...�ą�ą śąei , ei �ąn śąen ,ei
�ąźą... �ąźą
=0 =1 =0
śąui eiźą
śąuieiźą=�ąi śą ui eiźą=�ąi%"ei%"2 �ąi=
śą źą
%"ei%"2
u=śąu1 e1źą e1�ą...�ąśąu1enźą en
u=śą1,0,0 ,-1źą
Przykład: Wyznaczyć współrzędne wektora
w bazie v1=śą2,1 ,1 ,0źą, v2=śą0,1 ,-1,3źą, v3=śą2,-5,1 ,2źą , v4=śą-11,2 ,20,6źą"E4
%"v1%"= 6 %"v2%"= 11 %"v3%"= 34 %"v4%"= 561 śąu , v1źą=2 śąu , v2źą=-3 śąu , v3źą=0 śą u , v4źą=-17
ćą ćą ćą ćą
2 0
u= v1�ą-3 v2�ą v3�ą-17 v4
6 11 34 561
Ortogonalizacja Grama-Smidta
u1 , u2 , ... , un
Niech będzie zbiorem wektorów liniowo niezależnych przestrzeni euklidesowej E
v1=u1
1.
v2=u2�ą�ą v1 śąv1 , v źą=0
2. gdzie
2
śąu2 , v1źą
śąv2 ,v1źą=śąu2�ą�ą v1 , v1źą=śąu2 ,v1źą�ą�ąśąv1 , v1źą=0 śąu2 ,v1źą�ą�ą%"v1%"2=0 �ą=-
%"v1%"2
śąu2 , v1źą
v2=u2- v1
%"v1%"2
v3=u3�ą�ą1v1�ą�ą2 v2 gdzie śąv3 , v1źą=0, śą v3 , v2źą=0
3.
śąv3 , v1źą=śąu3�ą�ą1 v1�ą�ą2 v2 , v1źą=śąu3 , v1źą�ą�ą1śą v1 , v1źą�ą�ą2śą v2 , v1 3 , v1źą�ą�ą1%"v1%"2
�ąźą=śąu
0
śąu3 , v1źą
�ą1=-
%"v1%"2
śąv3 , v2źą=śąu3�ą�ą1 v1�ą�ą2 v2 , v2źą=śąu3 , v2źą�ą�ą2 śąv2 , v2źą�ą�ą1śąv1 ,v2 u3 , v2źą�ą�ą1%"v2%"2
�ąźą=śą
0
śąu3 , v2źą
�ą2=-
%"v2%"2
śąu3 , v1źą śąu3 , v2źą
v3=u3- v1- v2
%"v1%"2 %"v2%"2
�"
śą un ,v1źą śąun , v2źą śąun , vn-1źą
vn=un- v1- v2�ą...- vn-1
n.
%"v1%"2 %"v2%"2 %"vn-1%"2
Przykład: Dokonać ortogonalizacji układu u1=śą1,0 ,2 ,0źą , u2=śą1,1,1 ,1źą , u3=śą0,2 ,0 ,1źą"E4
v1=u1=śą1,0,2,0 źą
v2=u2�ą�ą v1=śą1,1,1 ,1źą�ą�ąśą1,0 ,2,0źą
śąv2 , v1źą=śąu2�ą�ą v1 , v1źą=śąu2 , v1źą�ą�ą%"v1%"2=3�ą�ą"5=0 �! �ą=-3
5
3 2 1
v2=śą1,1,1,1źą- śą1,0,2 ,0źą= ,1 ,- ,1
śą źą
5 5 5
v3=u3�ą�ą1v1�ą�ą2 v2
śąv3 , v1źą=śąu3�ą�ą1 v1�ą�ą2 v2 , v1źą=śąu3 , v1źą�ą�ą1%"v1%"2=0�ą�ą1"5=0 �!�ą1=0
�ą2"11
15
śąv3 , v2źą=śąu3�ą�ą1 v1�ą�ą2 v2 , v2źą=śąu3 ,v źą�ą�ą2%"v2%"2=3�ą =0�! �ą2=-
2
5 11
15 2 1 30 15 15 15 7 15 4
v3=śą0,2 ,0 ,1źą- ,1 ,- ,1 =śą0,2 ,0,1źą- ,- ,- , = -30 , ,- ,-
śą źą śą źą śą źą
11 5 5 55 11 55 11 55 11 11 11