Algebra z elementami równań różniczkowych
Dr Marian Gewert
Wykład 06
Algebra Liniowa
Diagonalizacja macierzy
A - macierz rzeczywista stopnia n
P-1 AP= D D - zdiagonalizowana
Przykład:
5 4 2 5-�ą 4 2
�ą1=1 k=2
A= W śą�ąźą=det =-śą�ą-1źą2 śą�ą-10źą
4 5 2 4 5-�ą 2
A
�ą2=10 k=1
[ ] [ ]
2 2 2 2 2 2-�ą
�ą1=1 u
u1 0 4 4 2 2 2 1 2 2 1 u1
4 4 2
śą A-�ą1 I źą u=0 = Śą Śą [2 2 1] =0
4 4 2 u2 0 4 4 2 2 2 1 0 0 0 u2
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
2 2 1
u3 0 2 2 1 2 2 1 0 0 0 u3
0 1
2u1�ą2u2�ąu3=0 u3=-2u1-2u2 u1=0 u2=1 �! u3=-2 u1= u2=
1 0
u1=1 u2=0 �! u3=-2
[ ] [ ]
-2 -2
�ą2=10 v
v1 0
-5 4 2 2
śą A-�ą I źą v=0 = v=
4 -5 2 v2 0 2
[ ] [ ] [ ]
[ ]
2 2 -8 1
v3 0
2 0 1 2 2 1
1
P= P-1=
2 1 0 -4 5 -2
9
[ ] [ ]
1 -2 -2 5 -4 -2
2 2 1 5 4 2 2 0 1 2 2 1 20 0 1
1
P-1 AP=1 -4 5 -2 4 5 2 2 1 0 = =
-4 5 -2 20 1 0
9 9
[ ][ ][ ] [ ][ ]
5 -4 -2 2 2 2 1 -2 -2 5 -4 -2 10 -2 -2
90 0 0 10 0 0
1
= = =D
0 9 0 0 1 0
9
[ ] [ ]
0 0 9 0 0 1
10
1 1
Przykład:Oblicz �ą1=1 �ą2=2
[ ]
0 2
A - macierz diagonalizowalna
P - macierz która diagonalizuje macierz A
�ą1 0
śą�ą1 , �ą2źą=
P-1 AP=D / P D - zdiagonalizowana
[ ]
0 �ą2
AP=PD / P-1
A= PDP-1 A2=śą PDP-1źąśą PDP-1źą=PD P-1 P DP-1=PD2 P-1
�ą
I
2
�ą1 0
An=PDn P-1 Dn=
[ ]
0 �ą2
2
1 0
D=
Czyli dla naszego przykładu
[ ]
0 1024
Przestrzenie euklidesowe
Iloczyn skalarny
Definicja:
V
Niech będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym nazywamy funkcję:
śą " , " źą:V �V Śą!
spełniającą następujące warunki:
śąu , vźą=śą v , u źą
1.
śą�ą u , vźą=�ąśąu , v źą
2. gdzie �ą"!
śąu�ąv ,wźą=śąu , wźą�ąśąv , wźą
3.
śąu , uźąe"0
4.
śąu , uźą=0�! u=0
5.
Przy !2 u=śąu1 , u2źą , v=śąv1 , v2źą , w=śąw1 , w2źą"!2 śą u , vźą=u1 v1�ąu2 v2 u"v
śąu , v źą=u1 v1�ąu2 v2=v1 u1�ąv2 u2=śąv ,u źą
1.
śą�ą u , v źą=śą�ą u1źą v1�ąśą�ąu2źą v2=�ąśąu1 v1�ąu2 v2źą=�ąśąu ,v źą
2.
śąu�ąv , wźą=śąu1�ąv1źąw1�ąśąu1�ąv2źąw2=u1 w1�ąu2 w2�ąv1 w1�ąv2 w2=śąu , wźą�ąśąv , wźą
3.
4. śąu , uźą=u2�ąu2e"0
1 2
2
5. śąu , uźą=0 �! u=0 śąu , uźą=u2�ąu2=0 �! u1=0 '" u2=0 �! u1=0 '" u2=0
1 2 2
Przy R2[ x ] p=ax2�ąbx�ąc śą p , qźą= pśą0źą qśą0 źą�ą p śą1źą q śą1źą�ą p śą2źą qśą2źą
śą p , qźą=śąq , p źą
1.
śą�ą p , qźą=�ąśą p , qźą
2.
śą p�ąr , qźą=śą pśą0źą�ąrśą0źąźą qśą0źą�ąśą p śą1źą�ąr śą1źąźąqśą1źą�ąśą pśą 2źą�ąr śą2źąźą q śą2źą=śą p , qźą�ąśąr , qźą
3.
4.
śą p , p źąe"0 śą p , pźą= p2 śą0źą�ą p2śą1źą�ą p2śą2źą
śą p , p źą=0 �! p=0
5.