Laboratorium Podstaw Automatyki
Laboratorium nr 2
Przykład analizy silnika elektrycznego prądu stałego
z magnesem trwałym
1. Cele ćwiczenia
" zapoznanie się z zasadą działania silnika elektrycznego prądu stałego,
" zapoznanie się ze sposobami tworzenia modeli silnika elektrycznego w postaci: równań ró\
niczkowych,
równań stanu i wyjścia, schematu blokowego i transmitancji operatorowej,
" wyznaczenie odpowiedzi skokowej silnika w Matlabie/Simulinku,
" wyznaczenie odpowiedzi silnika na sygnały prostokątne w Matlabie/Simulinku.
2. Wprowadzenie teoretyczne
2.1. Wstęp
Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi w
układach regulacji. Podstawowymi zaletami tych silników są: du\
y moment obrotowy, dobra sprawność oraz
małe wymiary. Wadami są natomiast: iskrzenie (zakłócenia przemysłowe) i zu\
ywanie siÄ™ szczotek
komutatora. W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat wprowadzono na rynek szereg silników o specjalnej
konstrukcji, charakteryzujących się bardzo dobrymi właściwościami dynamicznymi.
Schematycznie budowę silnika prądu stałego z magnesem trwałym przedstawiono na rysunku 2.1.
Moment obrotowy w silnikach elektrycznych powstaje na skutek oddziaływania między zewnętrznym polem
magnetycznym, a polem magnetycznym
powstającym wokół przewodnika, przez który
płynie prąd. W silnikach prądu stałego małej
magnes trwały
szczotka
mocy zewnętrzne pole magnetyczne
uzwojenia
wytwarzane jest zazwyczaj przez magnesy
wirnika
trwałe, umieszczone w nieruchomej
Prędkość
obudowie silnika zwanej stojanem.
kÄ…towa
magnes trwały
wirnika És
ZnajdujÄ…cy siÄ™ w polu magnetycznym stojana
wirnik zawiera uzwojenia składające się z
wał wirnika
szczotka
wielu ramek przewodów połączonych z
Å‚o\
yska
komutator
komutatorem. Zazwyczaj uzwojenia te
Rys. 2.1. Budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym
nawinięte są na rdzeniu z materiału
ferromagnetycznego. W wyniku współdziałania strumienia stojana i prądu przepływającego w uzwojeniach
wirnika powstaje wspomniany wcześniej moment obrotowy. Aby moment obrotowy działający na wirnik był
maksymalny, wektory strumienia magnetycznego stojana i wirnika powinny być względem siebie
prostopadłe. Zapewnia to komutator, który przełącza kolejne ramki uzwojenia wirnika, powodując
odpowiednie zmiany kierunku przepływającego prądu. Napięcie zasilające komutator doprowadzane jest
przez szczotki, wykonane ze specjalnie spreparowanego węgla. W silnikach tego typu obwodem sterowania
jest zawsze obwód wirnika. Zmiany napięcia zasilającego obwód sterowania wywołują zmiany momentu
obrotowego a tym samym, przy określonym momencie obcią\
enia wirnika, zmianę prędkości kątowej
wirnika.
1
Laboratorium Podstaw Automatyki
2.2. Model matematyczny silnika zapisany w postaci równań ró\
niczkowych
TworzÄ…c model silnika nale\
y zatem zwrócić uwagę na znalezienie zale\
ności pomiędzy
napiÄ™ciem zasilajÄ…cym silnik (Uz) a prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… silnika (És). Schemat zastÄ™pczy silnika
prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika, pokazano na rysunku 2.2. Rozwa\
ajÄ…c osobno
elektryczne i mechaniczne parametry obwodu wirnika mo\
na napisać dwa równania modelujące
jego działanie.
Lw
iw Rw
Mobc
Uz
E
Ms
J B
És
Rys. 2.2. Schemat zastępczy obwodu wirnika silnika prądu stałego
Parametry elektryczne
Wielkości elektryczne występujące na schemacie charakteryzują odpowiednio:
Uz  napięcie zasilające wirnik,
iw  prąd płynący w uzwojeniach wirnika,
Rw  rezystancja zastępcza uzwojeń wirnika,
Lw  indukcyjność zastępcza uzwojeń wirnika,
E  siła elektromotoryczna indukcji,
És  prÄ™dkość kÄ…towa wirnika.
Na podstawie schematu zastępczego oraz II-go prawa Kirchhoffa mo\
na napisać równanie
elektryczne silnika
U = U +U + E
z Rw Lw
Napięcie na rezystancji uzwojeń wirnika jest proporcjonalne do prądu przez niego płynącego
U = Rwiw
Rw
Napięcie odniesione do indukcyjności wirnika jest proporcjonalne do zmian prądu przez nią
płynącego (straty w obwodzie magnetycznym zostały tutaj pominięte)
diw
U = Lw
Lw
dt
Gdy wirnik wykonuje ruch obrotowy, w jego uzwojeniach indukowana jest siła elektromotoryczna
indukcji (SEM), której wartość jest proporcjonalna do prędkości kątowej wirnika
E = keÉs ,
gdzie ke  stała elektryczna, zale\
na m.in. od strumienia
magnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach
wirnika.
Podstawiając kolejne składowe napięcia Uz do równania (2.1), otrzymamy
diw
U = Rwiw + Lw + keÉs
z
dt
2
Laboratorium Podstaw Automatyki
Lw
iw Rw
Mobc
Uz
E
Ms
J B
És
Rys. 2.2. Schemat zastępczy obwodu wirnika silnika prądu stałego
Parametry mechaniczne
Wielkości mechaniczne występujące na schemacie charakteryzują odpowiednio:
Ms  moment obrotowy wirnika,
És  prÄ™dkość kÄ…towÄ… wirnika,
B  współczynnik tarcia lepkiego zredukowany do wału wirnika,
J  moment bezwładności zredukowany do wału wirnika,
iw  prąd płynący w uzwojeniach wirnika,
Mobc  stały moment obcią\
enia silnika.
Moment obrotowy wirnika, wykorzystywany do pokonania momentów przeciwstawiających się
jego ruchowi mo\
na zapisać jako
M = M + M + M
s a v obc (6.3)
Zakładając, \
e strumień magnetyczny stojana ma wartość stałą, moment obrotowy wirnika,
proporcjonalny do prądu płynącego przez wirnik, mo\
emy zapisać jako
M = kmiw
s gdzie km  stała mechaniczna, zale\
na m.in. od strumienia
magnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach
wirnika.
Moment zwiÄ…zany z przyspieszeniem kÄ…towym wirnika mo\
na zapisać jako
dÉs
M = J
a
dt
Moment zwiÄ…zany z oporami ruchu wirnika mo\
na zapisać jako
M = BÉs
v
Podstawiając kolejne składowe momentu Ms do równania (6.3), otrzymamy
dÉs
kmiw = J + BÉ + M
(6.4)
s obc
dt
Przekształcając równania (6.2) i (6.4) otrzymujemy układ równań ró\
niczkowych będący modelem
silnika:
& & & & & & & & & & & ........................... (6.5)
3
Laboratorium Podstaw Automatyki
2.3 Model matematyczny silnika zapisany w postaci równań stanu i wyjścia
Przyjmując jako zmienne stanu prąd płynący w uzwojeniach wirnika (iw) oraz prędkość kątową
wirnika (És) mo\
emy zapisać model silnika w postaci równań stanu i wyjścia. Dokonujemy
zamiany zmiennych
x1 = iw
x2 = És
u1 = U
z
u2 = M
obc
y = És
otrzymując układ równań
Równania (6.6) zapisujemy w postaci macierzowej
&
x = Ax + Bu
Å„Å‚
òÅ‚y = Cx + Du
ół
lub po rozpisaniu
czyli:
4
Laboratorium Podstaw Automatyki
Model matematyczny silnika zapisany
w postaci schematu blokowego
Stosując przekształcenie Laplace a do równań (6.5) otrzymamy
Przekształcając uzyskane równania, przy zało\
eniu zerowych warunków początkowych, otrzymamy
Na podstawie powy\
szych równań mo\
na narysować schemat blokowy silnika, przedstawiony na
rysunku 6.3.
Część elektryczna Część mechaniczna
Mobc(s)
-
Ms(s
Uz(s) Iw(s)
&!s(s)
&!
&!
&!
y
)
-
E(s)
Rys. 6.3. Schemat blokowy silnika prądu stałego
5
Laboratorium Podstaw Automatyki
Model matematyczny silnika zapisany
w postaci transmitancji operatorowej
PrzyjmujÄ…c jako wielkość wyjÅ›ciowÄ… prÄ™dkość kÄ…towÄ… wirnika (És) a jako wielkość wejÅ›ciowÄ…
napięcie zasilające wirnik (Uz) oraz rozpatrując silnik bez obcią\
enia (Mobc = 0) mo\
emy
wyznaczyć transmitancję tego układu, dokonując kolejnych modyfikacji powy\
szego schematu
blokowego (rysunek 6.4).
Uz(s)
&!s(s)
&!
&!
&!
-
Rys. 6.4. Przekształcony schemat blokowy silnika prądu stałego
Na podstawie schematu blokowego z rysunku 6.4 transmitancjÄ™ G(s) mo\
na zapisać jako
km
&!s (s) (sLw + Rw )(sJ + B)
G(s) = =
kmke
U (s)
z
1+
(sLw + Rw )(sJ + B)
(sLw + Rw )(sJ + B) otrzymujemy
Mno\
Ä…c licznik i mianownik przez
km
G(s) =
(sLw + Rw )(sJ + B)+ kmke
Przekształcając dalej otrzymamy
km
G(s) =
JLws2 + (Rw J + BLw )s + RwB + kmke
6
Laboratorium Podstaw Automatyki
Model matematyczny silnika zapisany
w postaci transmitancji operatorowej
Zazwyczaj współczynnik tarcia B jest niewielki, w efekcie czego przyjmujemy, \
e RwJ >> BLw
oraz kekm >> RwB. TransmitancjÄ™ silnika G(s) zapisujemy wtedy w postaci uproszczonej
km
G(s) =
JLws2 + Rw Js + kmke
DzielÄ…c licznik i mianownik przez kmke otrzymujemy
1
ke
G(s) =
JRw Lw Rw J
s2 + s +1
kmke Rw kmke
JRw Lw 1
K =
m
PodstawiajÄ…c T = , T = oraz
kmke e Rw ke otrzymujemy
&!s(s) K
G(s) = =
U (s) TmTes2 + Tms +1
z
PrzyjmujÄ…c zatem prÄ™dkość kÄ…towÄ… (És) jako wielkość wyjÅ›ciowÄ…, uzyskano transmitancjÄ™ silnika w
postaci członu II-go rzędu. Mechaniczna stała czasowa Tm jest zazwyczaj co najmniej o rząd
wielkości większa od elektrycznej stałej czasowej Te. W takim przypadku stałą Te mo\
na pominąć a
silnik staje się członem inercyjnym I-go rzędu.
&!s(s) K
G(s) = =
U (s) Tms +1
z
Je\
eli wielkością wyjściową jest przemieszczenie kątowe wału wirnika (ąs), który mo\
emy
Ä…
Ä…
Ä…
(s)
wyznaczyć po scałkowaniu prędkości kątowej wirnika (ą = &!(s) s ), transmitancja G(s)
przyjmie postać
Ä… (s) K
s
G(s) = =
(6.11)
U (s) s(Tms +1)
z
W tym przypadku silnik jest członem całkującym rzeczywistym (tzn. szeregowym połączeniem
członu całkującego i inercyjnego I-go rzędu).
7
Laboratorium Podstaw Automatyki
Wyznaczenie odpowiedzi skokowej silnika
w Matlabie/Simulinku
Odpowiedz
skokowÄ… silnika wyznaczono w oparciu o dwie metody. W pierwszej metodzie
posłu\
ono siÄ™ transmitancjÄ… operatorowÄ… silnika (6.8)
km
G(s) =
JLws2 + (Rw J + BLw )s + RwB + kmke
Poni\
ej przedstawiono z
ródło programu napisanego w Matlabie, w którym zamodelowano
transmitancjÄ™ G(s) i wyznaczono odpowiedz
skokowÄ… silnika przy pomocy funkcji step.
clear all, close all
% Zdefiniowanie parametrów modelu
Rw = 2; Lw = 0.1; ke = 0.1;
J = 0.1; B = 0.5; km = 0.1;
% Wyznaczenie transmitancji operatorowej silnika
licz = km;
mian = [J*Lw Rw*J + B*Lw Rw*B + km*ke];
system = tf(licz,mian);
% Określenie parametrów odpowiedzi skokowej
t = 0:0.02:1.4;
odp=step(system,t);
% Wykreślenie charakterystyki skokowej
plot(t,odp,'ro'); grid
xlabel('czas (s)'),ylabel('predkosc katowa És (rad/s)')
title('Odpowiedz skokowa silnika pradu stalego')
W drugiej metodzie na podstawie schematu blokowego silnika, pokazanego na rysunku 6.3,
zbudowano odpowiadający mu schemat w Simulinku, przedstawiony na rysunku 6.5, zakładając, \
e
Mobc=0. Sygnałem wejściowym jest sygnał skoku jednostkowego.
1 1
km
Lw.s+Rw J.s+B
Skok
Predkosc
stala
Transmitancja Transmitancja
jednostkowy
katowa
mechaniczna
czesci elektry cznej czesci mechanicznej
wirnika
(ws)
ke
stala
elektry czna
Rys. 6.5. Schemat blokowy silnika zbudowany w Simulinku
8
Laboratorium Podstaw Automatyki
Wyznaczenie odpowiedzi skokowej silnika
w Matlabie/Simulinku
Aby móc przeprowadzić numeryczną symulację działania silnika nale\
y zdefiniować jego
parametry (współczynniki i stałe). Załó\
my, \
e:
J = 0.1 kgm2/s2,
Rw = 2 &!,
Lw = 0.1 H, B = 0.5 Nms/rad,
ke = 0.1 Vs/rad, km = 0.1 Nm/A,
Przed uruchomieniem symulacji nale\
y powy\
sze parametry wprowadzić do przestrzeni roboczej
Matlaba, wpisujÄ…c:
>> Rw=2; Lw=0.1; ke=0.1; J=0.1; B=0.5; km=0.1;
W efekcie wykonania programu w Matlabie i uruchomienia symulacji w Simulinku otrzymano
przebiegi pokazane na rysunku 6.6.
EMBED Word.Picture.8
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
czas (s)
Rys. 6.6. Odpowiedz
skokowa silnika prądu stałego, uzyskana przy pomocy:
a) transmitancji operatorowej silnika  kółka
b) modelu silnika wyznaczonego w Simulinku  linia
Jak widać przebiegi uzyskane zaprezentowanymi metodami są identyczne, co potwierdza
przydatność zarówno Matlaba, jak i Simulinka do symulacji działania układów. Charakter
otrzymanych przebiegów wskazuje, \
e silnik przy tak przyjętym modelu, rzeczywiście jest członem
II-go rzędu.
9
s
prędkość kątowa
É
(rad/s)
Laboratorium Podstaw Automatyki
Wyznaczenie odpowiedzi silnika na sygnały prostokątne
w Matlabie/Simulinku
Na podstawie schematu blokowego silnika, pokazanego na rysunku 6.3, zbudowano odpowiadajÄ…cy
mu schemat w Simulinku, przedstawiony na rysunku 6.7. Aby móc przeprowadzić numeryczną
symulację działania silnika nale\
y zdefiniować jego parametry (współczynniki i stałe). Załó\
my jak
poprzednio, \
e:
J = 0.1 kgm2/s2,
Rw = 2 &!,
Lw = 0.1 H, B = 0.5 Nms/rad,
ke = 0.1 Vs/rad, km = 0.1 Nm/A,
oraz, \
e zarówno sygnał wejściowy jak i moment obcią\
enia są sygnałami prostokątnymi o
odpowiednich parametrach
Uz = 10 V, Mobc = 0.2 Nm
Rys. 6.7. Schemat blokowy silnika zbudowany w Simulinku
Przed uruchomieniem symulacji nale\
y powy\
sze parametry wprowadzić do przestrzeni roboczej
Matlaba, wpisujÄ…c:
>> Rw=2; Lw=0.1; ke=0.1; J=0.1; B=0.5; km=0.1;
Po uruchomieniu symulacji na wykresach, pokazanych na rysunku 6.8 otrzymujemy przebiegi:
napięcia zasilającego wirnik (Uz), prądu płynącego przez wirnik (iw), momentu obcią\
enia silnika
(Mobc) oraz prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej wirnika (És) w funkcji czasu.
10
Laboratorium Podstaw Automatyki
Wyznaczenie odpowiedzi silnika na sygnały prostokątne
w Matlabie/Simulinku
Po uruchomieniu symulacji na wykresach, pokazanych na rysunku 6.8 otrzymujemy przebiegi:
napięcia zasilającego wirnik (Uz), prądu płynącego przez wirnik (iw), momentu obcią\
enia silnika
(Mobc) oraz prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej wirnika (És) w funkcji czasu.
10
a)
5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
5
b)
2.5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.2
c)
0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
0.5
d)
0
-0.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
czas (s)
Rys. 6.8. Przebiegi uzyskane podczas symulacji: a) napięcie zasilające wirnik (Uz),
b) prąd płynący przez wirnik (iw), c) moment obcią\
enia silnika (Mobc),
d) prÄ™dkość kÄ…towa wirnika (És)
11
z
U (V)
w
obc
M
(Nm)
i (A)
s
É
(rad/s)
Laboratorium Podstaw Automatyki
Wyznaczenie odpowiedzi silnika na sygnały prostokątne
w Matlabie/Simulinku
Symulację działania silnika przeprowadzono tak\
e wykorzystujÄ…c jego model zapisany w postaci
równań stanu i wyjścia. Zakładając, \
e moment obciÄ…\
enia Mobc = 0, oraz warunki poczÄ…tkowe
iw0 x10
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
=
ïÅ‚É śł ïÅ‚x śł
ðÅ‚ s0 ûÅ‚ ðÅ‚ 20 ûÅ‚
oraz przyjmujÄ…c oznaczenia
x1 = iw
x2 = És
u1 = U
z
y = És
na podstawie równań (6.7) otrzymujemy
Å„Å‚ Rw ke
îÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚îÅ‚x1 Å‚Å‚ Lw - śłîÅ‚x1 Å‚Å‚ îÅ‚ 1 Å‚Å‚
ïÅ‚-
&
Lw śłïÅ‚ + ïÅ‚ Lw śł
ôÅ‚ïÅ‚ śł = [u]
ïÅ‚
śł
& km B ïÅ‚ śł
ôÅ‚
ðÅ‚x2 ûÅ‚ ïÅ‚ śłðÅ‚x2 ûÅ‚
0
-
ðÅ‚ ûÅ‚
òÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ J J ûÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ Å‚Å‚
1
[0
ôÅ‚y = 1]îÅ‚x śł
ïÅ‚x
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
ół
Schemat blokowy układu pokazano na rysunku 6.9. Blok  Model silnika w postaci równań stanu
i wyjścia , w którym zapisano parametry modelu układu, przedstawiono na rysunku 6.10.
Napiecie
zasilajace (Uz)
x' = Ax+Bu
y = Cx+Du
Predkosc katowa
Uz
wirnika (ws)
Model silnika w postaci
rownan stanu i wy jscia
Rys. 6.9. Schemat blokowy silnika zbudowany w Simulinku
Rys. 6.10. Parametry modelu silnika
12
Laboratorium Podstaw Automatyki
Wyznaczenie odpowiedzi silnika na sygnały prostokątne
w Matlabie/Simulinku
Aby móc przeprowadzić numeryczną symulację działania silnika nale\
y zdefiniować jego
parametry (współczynniki i stałe). Załó\
my jak poprzednio, \
e:
J = 0.1 kgm2/s2
Rw = 2 &!,
Lw = 0.1 H, B = 0.5 Nms/rad
ke = 0.1 Vs/rad km = 0.1 Nm/A
Uz = 10 V,
oraz, \
e warunki poczÄ…tkowe
x10 = 5;
x20 = 0.5;
Przed uruchomieniem symulacji nale\
y, jak poprzednio powy\
sze parametry wprowadzić do
przestrzeni roboczej Matlaba, wpisujÄ…c
>> Rw=2; Lw=0.1; ke=0.1; J=0.1; B=0.5; km=0.1; x10=5; x20=0.5;
Po uruchomieniu symulacji na wykresach, pokazanych na rysunku 6.11, otrzymujemy przebiegi:
napiÄ™cia zasilajÄ…cego wirnik (Uz) oraz prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej wirnika (És) w funkcji czasu.
12
10
8
a)
6
4
2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1.2
1
0.8
b) 0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
czas (s)
EMBED Word.Picture.8
Rys. 6.11. Przebiegi uzyskane podczas symulacji:
a) napiÄ™cie zasilajÄ…ce wirnik (Uz), b) prÄ™dkość kÄ…towa wirnika (És)
Przebiegi te mo\
na równie\
uzyskać wykorzystując funkcję plot, wpisując w Matlabie:
>> plot (Uz(:,1),Uz(:,2));
>> ylabel( Uz (V) );
>> plot (ws(:,1),ws(:,2));
>> xlabel( czas (s) ); ylabel ( ws (rad/s) );
13
z
U (V)
s
É
(rad/s)