ESTYMATOR

to wielkość (statystyka, charakterystyka) wyznaczona na podstawie próby losowej, służąca do oceny wartości nieznanych parametrów populacji generalnej.

Estymatorem parametru Q rozkładu zmiennej losowej X nazywamy taką statystykę
, której rozkład prawdopodobieństwa zależy od szacowanego parametru Q.

Estymator powinien mieć następujące własności:

• Nieobciążoność

wartość oczekiwana rozkładu estymatora jest równa wartości szacowanego parametru (
)

obciążenie estymatora:

(jeśli ta różnica jest zależna funkcyjnie od estymatora)

• Asymptotyczna nieobciążoność

obciążenie estymatora dąży do zera przy rosnącej liczebności próby

• Zgodność

jest stochastycznie zbieżny do szacowanego parametru (zwiększanie liczebności próby poprawia rezultaty badania)

• Efektywność

estymator o najmniejszej wariancji

błąd estymatora:

• Asymptotyczna efektywność

przy wzrastającej liczebności próby wariancja estymatora dąży do wariancji estymatora najefektywniejszego

estymator-wartość oczekiwana

X, G, H, K, Me, Mo - zgodne i nieobciążone
;

estymator-prawdopodobieństwo

p=m/n

Estymator-wariancja

(poprawka Bessela)

Estymator-współczynnik regresji

MNK

ROZKŁAD NORMALNY G-P

wierzchołek = [mi; 1/sigm*pierwiastek(2pi)]

punkty przegięcia: mi-sigma, mi+sigma

przesunięcia: mi

kształt: sigma (duże-płaskie, małe-strome)

reguła trzech sigm: około 68,3% pola pod wykresem krzywej znajduje się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej, około 95,5% w odległości dwóch odchyleń standardowych i około 99,7% w odległości trzech

dystrybuanta:

Całki powyższej nie da się obliczyć dokładnie metodą analityczną. Tablice statystyczne dane dla dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego

ROZKŁAD NORMALNY STANDARYZOWANY

ZMIENNA LOSOWA SKOKOWA

zbiór wszystkich wartości, które przyjmuje z niezerowym prawdopodobieństwem jest skończony lub przeliczalny

Rozkład Poissona(np, np), rozkład dwumianowy (np., npq), rozkład dwupunktowy, rozkład geometryczny

w.oczekiwana:

odchylenie standardowe:

ZMIENNA LOSOWA CIĄGŁA

rozkład normalny, rozkład jednostajny, rozkład beta i rozkład gamma

w.oczekiwana:

odchylenie standardowe:

ZMIENNA LOSOWA DWUWYMIAROWA

f(x,y)=…

Rozkład brzegowy x i y

P_ij=P_i/j*P_i

	y1, y2, y3…	Suma (rozkład brzegowy x)
x1 x2 …	p11, p12..	P10 P20
Suma (rozkład brzegowy y)	P01, P02	1

Rozkład brzegowy

Dystrybuanta brzegowa

P{x1<x<x2; y1<y<y2} =

Dystrybuanta

Moment rzędu lk

=0

Kowariancja

Nadzieja matematyczna zmiennej y pod warunkiem, że zmienna x przyjmie daną wartość:

PRZEDZIAŁY UFNOŚCI

Konstrukcja (przykład: xśr)

F(xśr) = patrz: rozkład normalny

Sigma(xśr) = patrz: estymator

P{a<xśr<b}=∫f(xśr)dxśr

(żeby obliczyć całkę trza zmienną xśr standaryzować)

U=(xśr-mi)/(sigma/pierw(n))

P{-u<U<u)=alfa (przenosimy)

Wartość oczekiwana

• Sigma znane

• Sigma nieznane; n<30

• Sigma nieznane; n<30

Odchylenie standardowe

• n<30

• n>30

Wskaźnik struktury

MINIMALNA LICZEBNOŚĆ PRÓBY

Wartość średnia

Wskaźnik struktury

WERYFIKACJA HIPOTEZ

Wartość średnia

Odchylenie standardowe

1) hipoteza

H1: sigm2>sigm2(0)

2) testy

n<30

n>30

3) zbiory krytyczne

<chi(alfa,n-1);+niesk)

<u(alfa);+niesk)

Współczynnik regresji

b - ta sb < b < b + ta sb

Dwie średnie

• znane sigmy

• nieznane sigmy, n<30

rozkład t-Studenta o (n₁+n₂-2)

• nieznane sigmy, n>30

Współczynnik korelacji