1.Metoda wyznaczania parametrów modelu liniowego I-rzędu.
( ) ( )
( )
( )
1
;
0
0
+
=
=
+
Ts
K
s
G
t
u
K
t
x
dt
t
dx
T
Rozwiązanie w dziedzinie czasu ma postać:
( )
0
t
;
1
0
≥
−
=
−
T
t
e
K
t
h
0
5
10
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ko*0.632
Ko
x(t)
t
T
Rys.1.
Na Rys.1. przedstawiono odpowiedź układu o transmitancji
( )
1
7
.
2
7
+
=
s
s
G
oraz
Konstrukcję geometryczną pozwalającą odczytać parametry modelu I rzędu.
2.Metoda wyznaczania parametrów modelu liniowego II-rzędu (aperiodycznego).
( ) (
) ( ) ( )
( )
( )
(
)
1
;
2
1
2
2
1
0
0
2
1
2
2
2
1
+
+
+
=
=
+
+
+
s
T
T
s
T
T
K
s
G
t
u
K
t
x
dt
t
dx
T
T
dt
t
x
d
T
T
Rozwiązanie w dziedzinie czasu ma postać:
( )
0
-
1
2
1
2
1
2
2
1
1
0
≥
−
+
−
=
−
−
t
e
T
T
T
e
T
T
T
K
t
h
T
t
T
t
2.1
Jego pierwsza i druga pochodna ma postać:
( )
0
2
1
2
1
0
≥
−
−
=
−
−
t
e
e
T
T
K
dt
t
dh
T
t
T
t
2.2
( )
0
1
1
2
1
2
1
2
1
0
2
2
≥
+
−
−
=
−
−
t
e
T
e
T
T
T
K
dt
t
h
d
T
t
T
t
2.3
Na Rys.1. przedstawiono odpowiedź układu o transmitancji
( )
(
)
1
3
2
3
2
7
2
+
+
+
∗
=
s
s
s
G
Oraz łatwe do zmierzenia parametry geometryczne odpowiedzi.
Zadaniem do rozwiązania jest wyliczenie dwóch stałych czasowych
;
3
;
2
2
1
=
=
T
T
w
oparciu o przedstawioną odpowiedź czasową na impuls jednostkowy 1(t).
0
5
10
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ts=5.02
Ta=6.76
tp=2.42
Ko=7
x(tp)=1.8016
x(t)
t
Rys.2.
Charakterystyczny punkt przegięcia odpowiedzi występuje po czasie tp:
( )
1
2
1
2
2
1
2
2
ln
0
T
T
T
T
T
T
t
dt
t
x
d
p
p
−
=
⇒
=
w naszym przykładzie:
2.4328
=
p
t
Nachylenie prostej stycznej do odpowiedzi h(t) w punkcie
p
t
:
( )
1
2
2
1
2
1
0
T
T
T
p
T
T
T
K
dt
t
dx
−
−
=
Wartość odpowiedzi dla w punkcie przegięcia:
( )
-
1
2
1
2
1
2
2
1
1
0
−
+
−
=
−
−
T
t
T
t
p
p
p
e
T
T
T
e
T
T
T
K
t
h
Z trójkątów podobnych na rysunku mamy:
( )
)
(
oraz
)
(
0
0
p
p
s
p
a
t
h
t
h
K
T
t
h
K
T
&
&
−
=
=
Podstawiając wcześniej otrzymane zaleŜności otrzymujemy:
oraz
2
1
1
2
1
1
2
2
T
T
T
T
T
T
T
s
T
T
T
a
+
=
=
−
Normalizując względem
a
T
oraz
1
2
1
1
2
1
1
2
2
a
a
a
s
T
T
T
T
T
T
a
a
a
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
a
a
a
+
=
=
−
Oznaczając
;
;
;
2
1
A
T
T
Y
T
T
X
T
T
a
s
a
a
=
=
=
otrzymujemy układ równań:
A
X
Y
X
Y
X
X
Y
Y
+
−
=
=
−
oraz
1
Pierwsze z nich przedstawia krzywą Sartoriusa drugie prostą. Przecięcie dwóch tych
Krzywych pozwala wyznaczyć
2
1
oraz
T
T
W naszym przykładzie
7426
.
0
=
A
;
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
X=0.281
Y=0.461
A=0.7426
Rys.3.
Czyli
461
.
0
2
=
=
Y
T
T
a
oraz
281
.
0
1
=
=
X
T
T
a
wobec
76
.
6
=
a
T
.
Otrzymujemy
11
.
3
2
=
T
oraz
899
.
1
1
=
T
. Pewne błędy w identyfikacji związane są z
dyskretyzacją przebiegów.
3.Metoda wyznaczania parametrów modelu liniowego n-rzędu
(aperiodycznego o n równych stałych czasowych).
RozwaŜamy obiekt opisany transmitancją:
( ) ( )
n
Ts
K
s
G
1
0
+
=
Na Rys.4. przedstawiono odpowiedź układu dla
1.2
;
5
=
=
T
n
wraz z niezbędnymi
zaleŜnościami geometrycznymi.
0
5
10
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tp=4.8
Ta=6.14
Tm=3.9
Ko
h(tp)=2.5753
t
Tm/Ta=0.6351
Rys.4.
Po odczytaniu wzmocnienia
0
K rozwaŜamy dalej obiekt o wzmocnieniu 1 opisany
transmitancją:
( ) ( )
n
Ts
s
G
1
1
'
+
=
Odpowiedź czasowa dla obiekt o transmitancji jak powyŜej:
( )
∑
−
=
−
−
=
1
0
!
exp
1
'
n
i
i
i
T
t
T
i
t
t
h
Pierwsza i druga pochodna mają postać:
( )
( )
n
n
T
t
T
n
t
dt
t
dh
!
1
exp
'
1
−
=
−
−
( )
(
)
( )
−
−
−
=
−
−
T
n
t
T
n
t
dt
t
h
d
n
n
T
t
1
1
!
1
exp
'
2
2
2
W punkcie przegięcia zachodzi:
( )
1
0
'
2
2
−
=
⇒
=
n
T
t
dt
t
h
d
p
p
( )
( )
( )
∑
−
=
−
−
−
−
=
1
0
1
!
1
exp
1
'
n
i
i
n
i
i
n
t
h
( )
(
)
∑
−
=
−
−
−
=
1
0
1
!
1
exp
n
i
i
n
a
m
i
n
T
T
ZauwaŜmy, Ŝe stosunek
a
m
T
T
zaleŜy tylko od rzędu układu. Dlatego w oparciu o ostatni wzór
moŜna sporządzić tabelę do wyznaczania rzędu w oparciu o znajomość
a
m
T
T
. Znając rząd
układu oraz
p
t moŜna wyznaczyć poszukiwaną stałą czasową
1
−
=
n
t
T
p
PoniŜej przedstawiono tabelę przydatną do wyznaczania rzędu układu:
n
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tm/Ta 1 .736 .677 .647 .629 .616 .606 .599 .593 .587
Tp/T
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tabela 1.