1.Metoda wyznaczania parametrów modelu liniowego I-rzędu.

( ) ( )

( )

( )

1

;

0

0

+

=

=

+

Ts

K

s

G

t

u

K

t

x

dt

t

dx

T

Rozwiązanie w dziedzinie czasu ma postać:

( )

0

t

;

1

0

≥















−

=

−

T

t

e

K

t

h

0

5

10

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ko*0.632

Ko

x(t)

t

T

Rys.1.

Na Rys.1. przedstawiono odpowiedź układu o transmitancji

( )

1

7

.

2

7

+

=

s

s

G

oraz

Konstrukcję geometryczną pozwalającą odczytać parametry modelu I rzędu.

2.Metoda wyznaczania parametrów modelu liniowego II-rzędu (aperiodycznego).

( ) (

) ( ) ( )

( )

( )

(

)

1

;

2

1

2

2

1

0

0

2

1

2

2

2

1

+

+

+

=

=

+

+

+

s

T

T

s

T

T

K

s

G

t

u

K

t

x

dt

t

dx

T

T

dt

t

x

d

T

T

Rozwiązanie w dziedzinie czasu ma postać:

( )

0

-

1

2

1

2

1

2

2

1

1

0

≥















−

+

−

=

−

−

t

e

T

T

T

e

T

T

T

K

t

h

T

t

T

t

2.1

Jego pierwsza i druga pochodna ma postać:

( )

0

2

1

2

1

0

≥















−

−

=

−

−

t

e

e

T

T

K

dt

t

dh

T

t

T

t

2.2

( )

0

1

1

2

1

2

1

2

1

0

2

2

≥















+

−

−

=

−

−

t

e

T

e

T

T

T

K

dt

t

h

d

T

t

T

t

2.3

Na Rys.1. przedstawiono odpowiedź układu o transmitancji

( )

(

)

1

3

2

3

2

7

2

+

+

+

∗

=

s

s

s

G

Oraz łatwe do zmierzenia parametry geometryczne odpowiedzi.
Zadaniem do rozwiązania jest wyliczenie dwóch stałych czasowych

;

3

;

2

2

1

=

=

T

T

w

oparciu o przedstawioną odpowiedź czasową na impuls jednostkowy 1(t).

0

5

10

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ts=5.02

Ta=6.76

tp=2.42

Ko=7

x(tp)=1.8016

x(t)

t

Rys.2.

Charakterystyczny punkt przegięcia odpowiedzi występuje po czasie tp:

( )

1

2

1

2

2

1

2

2

ln

0

T

T

T

T

T

T

t

dt

t

x

d

p

p

−

=

⇒

=

w naszym przykładzie:

2.4328

=

p

t

Nachylenie prostej stycznej do odpowiedzi h(t) w punkcie

p

t

:

( )

1

2

2

1

2

1

0

T

T

T

p

T

T

T

K

dt

t

dx

−

−













=

Wartość odpowiedzi dla w punkcie przegięcia:

( )

-

1

2

1

2

1

2

2

1

1

0

















−

+

−

=

−

−

T

t

T

t

p

p

p

e

T

T

T

e

T

T

T

K

t

h

Z trójkątów podobnych na rysunku mamy:

( )

)

(

oraz

)

(

0

0

p

p

s

p

a

t

h

t

h

K

T

t

h

K

T

&

&

−

=

=

Podstawiając wcześniej otrzymane zależności otrzymujemy:

oraz

2

1

1

2

1

1

2

2

T

T

T

T

T

T

T

s

T

T

T

a

+

=













=

−

Normalizując względem

a

T

oraz

1

2

1

1

2

1

1

2

2

a

a

a

s

T

T

T

T

T

T

a

a

a

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

a

a

a

+

=

























=

−

Oznaczając

;

;

;

2

1

A

T

T

Y

T

T

X

T

T

a

s

a

a

=

=

=

otrzymujemy układ równań:

A

X

Y

X

Y

X

X

Y

Y

+

−

=













=

−

oraz

1

Pierwsze z nich przedstawia krzywą Sartoriusa drugie prostą. Przecięcie dwóch tych
Krzywych pozwala wyznaczyć

2

1

oraz

T

T

W naszym przykładzie

7426

.

0

=

A

;

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X=0.281

Y=0.461

A=0.7426

Rys.3.

Czyli

461

.

0

2

=

=

Y

T

T

a

oraz

281

.

0

1

=

=

X

T

T

a

wobec

76

.

6

=

a

T

.

Otrzymujemy

11

.

3

2

=

T

oraz

899

.

1

1

=

T

. Pewne błędy w identyfikacji związane są z

dyskretyzacją przebiegów.

3.Metoda wyznaczania parametrów modelu liniowego n-rzędu
(aperiodycznego o n równych stałych czasowych).


Rozważamy obiekt opisany transmitancją:

( ) ( )

n

Ts

K

s

G

1

0

+

=

Na Rys.4. przedstawiono odpowiedź układu dla

1.2

;

5

=

=

T

n

wraz z niezbędnymi

zależnościami geometrycznymi.

0

5

10

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tp=4.8

Ta=6.14

Tm=3.9

Ko

h(tp)=2.5753

t

Tm/Ta=0.6351

Rys.4.

Po odczytaniu wzmocnienia

0

K rozważamy dalej obiekt o wzmocnieniu 1 opisany

transmitancją:

( ) ( )

n

Ts

s

G

1

1

'

+

=

Odpowiedź czasowa dla obiekt o transmitancji jak powyżej:

( )

∑

−

=

−

−

=

1

0

!

exp

1

'

n

i

i

i

T

t

T

i

t

t

h

Pierwsza i druga pochodna mają postać:

( )

( )

n

n

T

t

T

n

t

dt

t

dh

!

1

exp

'

1

−

=

−

−

( )

(

)

( )













−

−

−

=

−

−

T

n

t

T

n

t

dt

t

h

d

n

n

T

t

1

1

!

1

exp

'

2

2

2

W punkcie przegięcia zachodzi:

( )

1

0

'

2

2

−

=

⇒

=

n

T

t

dt

t

h

d

p

p

( )

( )

( )

∑

−

=

−

−

−

−

=

1

0

1

!

1

exp

1

'

n

i

i

n

i

i

n

t

h

( )

(

)

∑

−

=

−

−

−

=

1

0

1

!

1

exp

n

i

i

n

a

m

i

n

T

T

Zauważmy, że stosunek

a

m

T

T

zależy tylko od rzędu układu. Dlatego w oparciu o ostatni wzór

można sporządzić tabelę do wyznaczania rzędu w oparciu o znajomość

a

m

T

T

. Znając rząd

układu oraz

p

t można wyznaczyć poszukiwaną stałą czasową

1

−

=

n

t

T

p

Poniżej przedstawiono tabelę przydatną do wyznaczania rzędu układu:

n

1 2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tm/Ta 1 .736 .677 .647 .629 .616 .606 .599 .593 .587
Tp/T

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Tabela 1.