W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW

,

STOPIEŃ STAT

.

NIEWYZNACZALNOŚCI

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber,

Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski

Konsultacje naukowe: prof. dr hab. Jerzy Rakowski

Poznań 2002/2003

1. SZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW.

1.1 Łuk jednoprzegubowy kołowy.

Dla łuku jak na rysunku(Rys.1.1) dla obieram układ podstawowy (Rys.1.2) i

wykonuję dla niego wykresy momentów .

Rys.1.1

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW

,

STOPIEŃ STAT

.

NIEWYZNACZALNOŚCI

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

Rys.1.2

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW

,

STOPIEŃ STAT

.

NIEWYZNACZALNOŚCI

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

Układ równań kanonicznych przyjmuje zatem postać:







=

∆

+

⋅

+

⋅

=

∆

+

⋅

+

⋅

0

0

2

2

22

1

21

1

2

12

1

11

P

P

X

X

X

X

δ

δ

δ

δ

Poszczególne współczynniki wyznaczamy zaś, z zależności:

∫

=

ds

EI

M

M

k

i

ik

δ

(1.1)

przy czym każdemu punktowi na łuku w układzie współrzędnych x,y odpowiada punkt o
współrzędnych biegunowych

ϕ

,

r

stąd:

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

sin

sin

cos

cos

⋅

=

⇒

=

⋅

−

=

⇒

−

=

r

x

r

x

r

r

y

r

y

r

(

)

ϕ

ϕ

ϕ

2

2

2

0

2

1

sin

2

2

cos

1

sin

1

r

q

qx

M

y

r

M

r

x

M

P

−

=

−

=

−

=

−

−

=

⋅

=

⋅

=

współczynniki wynoszą:

0

21

12

=

=

δ

δ

0

0

3

2

3

2

2

2

1

11

2

sin

2

1

2

sin

4

1

2

1

sin

1

sin

1

0

0

0

0

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

δ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

=

−

=

⋅

=

⋅

⋅

=

=

−

−

∫

∫

∫

EI

r

d

r

EI

d

r

r

EI

ds

EI

M

s

(

)

(

)

=

+

−

=

−

=

=

∫

∫

∫

−

−

0

0

0

0

2

3

2

3

2

2

22

cos

cos

2

1

1

cos

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

δ

d

r

EI

d

r

EI

ds

EI

M

s

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW

,

STOPIEŃ STAT

.

NIEWYZNACZALNOŚCI

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper













+

−

=

=

















+

−

⋅

=

∫

∫

∫

−

−

−

0

0

0

3

2

3

2

sin

2

1

sin

4

3

1

cos

cos

2

1

1

0

0

0

0

0

0

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

r

EI

d

d

d

r

EI

0

0

3

2

3

2

2

2

1

11

2

sin

2

1

2

sin

4

1

2

1

sin

1

sin

1

0

0

0

0

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

δ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

=

−

=

=

⋅

=

⋅

⋅

=

=

−

−

∫

∫

∫

EI

r

d

r

EI

d

r

r

EI

ds

EI

M

s

(

)

(

)

(

)

(

)

( )









−

−

⋅

==





































−

−

−

−

⋅

=























+

−













−

⋅

=

















−

=

⋅

−

=

=

−

=

⋅

−

=

=

⋅

⋅⋅

⋅

−

=

⋅

=

−

+

−

−

−

−

−

−

−

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

0

3

0

0

4

0

3

0

3

0

0

4

1

2

4

2

2

4

2

2

4

2

2

4

2

2

2

2

2

2

sin

3

2

2

sin

2

1

2

sin

3

1

sin

3

1

2

sin

2

1

2

sin

)

1

2

(

1

1

2

sin

4

1

2

1

2

sin

cos

sin

2

sin

cos

sin

2

sin

cos

sin

2

1

sin

cos

2

1

sin

2

cos

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

δ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

q

EI

r

q

EI

r

q

EI

r

d

d

q

EI

r

d

q

EI

r

d

r

q

EI

rd

r

r

r

q

EI

d

r

r

q

r

EI

ds

EI

M

M

s

P

P

Przy czym:

'

12

53

10

8

sin

0

0

o

=

⇒

=

ϕ

ϕ

arc

Dalszy ciąg postępowania wygląda jak w każdym innym łuku (patrz wykład poprzedni).

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW

,

STOPIEŃ STAT

.

NIEWYZNACZALNOŚCI

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

1.2 Łuk bezprzegubowy-linie wpływu nadliczbowych.

Powiedzmy, że mamy łuk bezprzegubowy (Rys.1.3)i chcemy wyznaczyć linie

wpływu nadliczbowych. Układ ten jest układem trzykrotnie niewyznaczalnym.
Wygodne jest tu wykorzystać metodę bieguna sprężystego. Schemat podstawowy
przyjmujemy przecinając łuk jak na rysunku poniżej (Rys.1.4) Otrzymamy wtedy układ
równań kanonicznych przyjmuje postać:











=

∆

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

∆

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

∆

+

⋅

+

⋅

+

⋅

0

0

0

3

3

33

2

32

1

321

2

3

23

2

22

1

21

1

3

13

2

12

1

11

P

P

P

X

X

X

X

X

X

X

X

X

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

Położenie bieguna sprężystego określamy wielkością

e

z warunku

∫

=

0

2

1

ds

EI

M

M

stąd:

3

3

2

2

2

1

2

1

cos

cos

/

cos

cos

/

1

0

1

0

3

1

0

2

1

0

2

f

f

d

d

f

d

d

y

dx

J

J

dx

J

J

y

ds

J

J

ds

J

J

y

e

x

c

c

x

c

c

s

c

s

c

=

=

⋅

=

=

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

ξ

ξ

ζ

ξ

ζ

ξ

ξ

ξ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ζ

ζ

Funkcją opisującą krzywiznę jest :

)

1

(

4

2

x

x

l

f

−

=

ϕ

, a

ϕ

cos

)

(

0

I

x

I

=

.

Rys.1.3

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW

,

STOPIEŃ STAT

.

NIEWYZNACZALNOŚCI

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

Współczynniki

ik

δ

obliczamy zgodnie z wzorem (1.1):

∫

=

ds

EI

M

M

k

i

ik

δ

Rys.1.4

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW

,

STOPIEŃ STAT

.

NIEWYZNACZALNOŚCI

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

Spójrzmy na wykresy momentów(Rys.1.4) (Uwaga! na biegunie nie wykonujemy
wykresów-jego

∞

=

I

) okazuje się, że wprowadzenie bieguna sprężystego powoduje

obniżenie wykresu momentów

1

M

-otrzymaliśmy zatem funkcję dwuznakową-suma pól

równa jest zeru! Zatem

0

,

23

13

=

δ

δ

a ponieważ

3

f

e

=

stąd i

0

,

13

12

=

δ

δ

Nasz

układ równań kanonicznych sprowadza się zatem do postaci:











=

∆

+

⋅

=

∆

+

⋅

=

∆

+

⋅

0

0

0

3

3

33

2

2

22

1

1

11

P

P

P

X

X

X

δ

δ

δ

Współczynniki

ik

δ

określamy z wyżej wypisanego wzoru (1.1) korzystając z twierdzenia

Wereszczegina-Mohra.

EI

f

l

f

f

f

l

l

f

f

l

EI

18

3

2

3

1

3

3

2

3

2

2

1

3

3

1

3

2

3

2

3

2

2

2

1

1

2

11

⋅

=

























⋅

−

⋅

⋅

⋅

−













⋅

−

⋅

⋅

⋅

=

δ

EI

l

l

EI

2

1

1

2

1

22

=













⋅

⋅

=

δ

EI

l

l

l

l

EI

24

2

3

2

2

2

2

1

1

3

33

=













⋅

⋅

⋅

⋅

=

δ

Szukane linie wpływu określamy zależnością:

ii

iP

i

lwX

β

∆

−

=

(1.2)

Musimy zatem wyznaczyć zatem:

)

(

),

(

),

(

3

2

1

x

x

x

P

P

P

∆

∆

∆

. Nasz łuk jest łukiem

symetrycznym zatem dalsze postępowanie przeprowadzimy na jego połówce (Rys.1.5)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW

,

STOPIEŃ STAT

.

NIEWYZNACZALNOŚCI

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

W celu wyznaczenia

)

(

1

x

P

∆

wyznaczamy wykresy momentów od nadliczbowej i

zadanej siły

1

=

P

(rys.1.5).Współczynnik określony jest wzorem :

∫

⋅

=

∆

l

P

ds

EI

M

M

x

0

0

1

1

)

(

(1.3)

Określmy

)

(

1

x

P

∆

jako funkcję

a

skoro

)

(

1

x

a

M

−

−

=

to :powyższy związek

przechodzi do postaci :

(

)

2

2

0

0

0

1

2

1

1

3

1

3

2

)

(

4

)

(

)

(

−

⋅

⋅

=

⋅









−

−

−

=

∆

∫

α

α

a

P

EI

f

dx

EI

M

f

x

l

x

l

f

a

x

a

przy czym

l

a

=

α

. Postępując analogicznie otrzymujemy :

2

0

0

2

0

2

2

2

1

)

(

α

⋅

⋅

−

=

⋅

=

∆

∫

a

P

EI

l

dx

EI

M

M

a

Rys.1.5

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW

,

STOPIEŃ STAT

.

NIEWYZNACZALNOŚCI

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

(

)

ε

α

2

3

12

1

)

(

2

0

0

3

0

3

3

−

⋅

⋅

=

⋅

=

∆

∫

a

P

EI

l

dx

EI

M

M

a

Linie wpływu zatem dla naszej umownej części po zamianie parametru

a

, na

współrzędną

x

określone są następująco :

(

)

2

2

1

1

4

15

−

⋅

⋅

−

=

ξ

ξ

f

l

lwX

2

2

2

ξ

⋅

=

l

lwX

(

)

3

2

2

3

−

=

ξ

ξ

lwX

Na poniższym rysunku przedstawiono wyżej określone linie wpływu
nadliczbowych(rys.1.6).

Rys.1.6

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW

,

STOPIEŃ STAT

.

NIEWYZNACZALNOŚCI

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

2. DODATKI .

2.1 .Stopień statycznej niewyznaczalności

Stopień statycznej niewyznaczalności można wyznaczyć wieloma sposobami. W

tym rozdziale przytoczymy trzy z nich. Na początku zdefiniujmy krotność przegubów.
Na poniższych rysunkach widzimy kilka rodzaji przegubów z różną liczbą prętów się w
nich schodzących.

Pierwszy z nich jest przegubem jednokrotnym (rys.1.7 a). Oznacza to, że

możliwy jest dowolny obrót w obrębie tego przegubu. Jeśli w węźle zbiegają się więcej
niż dwa pręty (rys.1.6 b,c i d) mówimy o przegubach wielokrotnych. Ich nazwa
pochodzi od liczby zbiegających się prętów. Przegub w którym zbiegają się dwa pręty
połączone jak na rysunku 1.6 d nazywamy przegubem jednokrotnym. Krotność przegubu
oznaczamy ogólnie jako :

1

−

=

k

K

R

(1.4)

gdzie :

−

k

liczba prętów zbiegających się w pełnym przegubie.

Przedstawmy w skrócie wspomniane metody określania stopnia statycznej
niewyznaczalności :

♦

Sposób 1
Sposób ten polega na zamianie prętów na pojedyncze tarcze w wyniku dokonania
cięć. Stopień statycznej niewyznaczalności określamy wg wzoru :

t

p

SSN

⋅

−

=

3

(1.5)

gdzie :

−

p

liczba przeciętych prętów

−

t

liczba utworzonych niezależnych tarcz.

Rys.1.7

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW

,

STOPIEŃ STAT

.

NIEWYZNACZALNOŚCI

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

Przykład 1
Weźmy układ prętów jak na rysunku poniżej i spróbujmy określić jego

SSN

.

By odrzucić więz I musimy zrobić dwa cięcia(rys.1.8b), więz II trzy a trzeci

tylko jedno cięcie. Z rysunku powyżej widać, że z przecięcia dodatkowo dwóch
prętów górnych nasz układ prętowy przekształcił się w układ trzech niezależnych
tarcz poza tym przecięcie

α

α

−

i

β

β

−

to dodatkowe zwolnienie sześciu więzów

(3+3). Zatem zgodnie ze wzorem (1.5)stopień statycznej niewyznaczalności :

(

)

3

3

3

3

3

6

3

=

⋅

−

+

+

=

⋅

−

=

t

p

SSN

Przykład 2

Na rysunku 1.9 przedstawiona jest rama (układ prętów). Sposób postępowania

jest analogiczny jak w przykładzie pierwszym. Określamy liczbę cięć i liczbę tarcz

Rys.1.8

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW

,

STOPIEŃ STAT

.

NIEWYZNACZALNOŚCI

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

powstałych w ich wyniku. Liczba cięć dla poszczególnych więzów związana jest z
krotnością przegubów stąd cztery cięcia w węźle II

(

)

( )

4

2

1

3

2

1

=

⋅

−

=

⋅

−

K

.

W tym przypadku dokonaliśmy czternastu cięć uzyskując przy tym dwie tarcze.

Zatem stopień statycznej niewyznaczalności :

8

2

3

14

3

=

⋅

−

=

⋅

−

=

t

p

SSN

układ jest ośmiokrotnie statycznie

niewyznaczalny.

♦

Sposób 2

Sposób ten polega na wprowadzeniu dodatkowych więzów, które usztywnią

układ. Praktycznie sposób ten polega na wprowadzeniu w miejsce podór
utwierdzenia i zastąpieniu przegubów podporami sprężystymi. Stopień statycznej
niewyznaczalności układu :

d

N

SSN

−

=

(1.6)

gdzie :

−

N

stopień statycznej niewyznaczalności nowego przesztywnionego układu

−

d

liczba wprowadzonych dodatkowych więzów.

Przykład 1

Rys.1.9

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW

,

STOPIEŃ STAT

.

NIEWYZNACZALNOŚCI

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

Na poniższym rysunku(rys.1.10) pokazano układ prętowy przed i po

usztywnieniu. Liczba więzów potrzebnych do usztywnienia pokazana została na
rysunku (rys.1.10b)

Stopień statycznej niewyznaczalności układu wynosi zatem :

6

6

12

=

−

=

−

=

d

N

SSN

Przykład 2

Przyjrzyjmy się teraz ramie z rysunku 1.8. Należy tu zwrócić uwagę na to, iż

pręty górne zostały przecięte w celu usunięcia układu zamkniętego, który tworzą owe
pręty. Stopień statycznej niewyznaczalności nowego przesztywnionego układu
wynosi :

12

=

N

(rys.1.10), liczba wprowadzonych więzów cztery. Zatem :

8

4

12

=

−

=

−

=

d

N

SSN

otrzymaliśmy wynik jak w przypadku określania

SSN metodą pierwszą.

Rys.1.10

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW

,

STOPIEŃ STAT

.

NIEWYZNACZALNOŚCI

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

♦

Sposób 3
Można udowodnić, że stopień statycznej niewyznaczalności :

(

)

3

2

3

2

1

3

2

3

2

w

w

p

p

p

r

SSN

+

−

+

+

+

=

(1.7)

gdzie :

−

r

liczba reakcji (albo liczba więzów podporowych)

−

1

p

liczba prętów zakończonych obustronnie przegubami

−

2

p

liczba prętów zakończonych z jednej strony przegubem z drugiej sprężyście

zamocowanych

−

3

p

liczba prętów obustronnie sprężyście zamocowanych

−

2

w

liczba węzłów przegubowych

−

3

w

liczba węzłów w których występują sprężyście zamocowane pręty.

Rys.1.11

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW

,

STOPIEŃ STAT

.

NIEWYZNACZALNOŚCI

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

Przykład 1
Dla układu z rysunku 1.10 możemy określić zgodnie z rysunkiem poniżej (rys.1.12) :

10

=

r

brak

p

=

1

5

2

=

p

(oznaczono // na rysunku)

7

3

=

p

(oznaczono /// na rysunku)







=

=

9

4

3

2

w

w

do

3

2

, w

w

dodajemy także przeguby i utwierdzenia

6

35

41

=

−

=

SSN

Przykład 2
Mamy układ jak na rysunku (rys.1.13). Postępując analogicznie do przykładu 1
otrzymujemy :

5

3

2

=

+

=

r

brak

p

=

1

2

2

=

p

3

3

=

p

4

1

3

2

=

=

w

w

4

=

SSN

Rys.1.12

Rys.1.13