Ruch prostoliniowy (podano wartości)

Prędkość średnia

s

v

t

∆

=

∆

Przyspieszenie średnie

v

a

t

∆

=

∆

;

F

a

m

=

Prędkość

0

k

v

v

at

= +

Droga

2

0

0

2

at

s

s

v t

= +

+

Ruch po okręg (podano wartości)

Prędkość kątowa

;

v

R

t

α

ω

ω

∆

=

=

∆

k

p

t

ω

ω

ε

=

+

Przyspieszenie kątowe

;

t

ω

ε

∆

=

∆

Droga kątowa

2

0

0

2

t

t

ε

α α ω

=

+

+

Przyspieszenie styczne

st

a

R

ε

=

Przyspieszenie dośrodkowe

2

2

dos

v

a

R

R

ω

=

=

Częstotliwość

1

f

T

=

Dynamika

Pęd

p

mv

=

Druga zasada dynamiki

;

p

F

ma

F

t

∆

=

=

∆

Wartość siły tarcia

T

N

F

F

µ

=

Ciężar ciała

Q

mg

=

Wartość siły dośrodkowej

2

2

dos

mv

F

m

R

R

ω

=

=

Dynamika ruchu obrotowego

Wartość momentu siły

( )

sin

,

M

FR

F R

=

∡

Moment bezwładności

2

1

n

i i

i

I

m r

=

=

∑

Moment pędu

;

L

r

p L

I

ω

= ×

=

Wartość momentu pędu

( )

sin

,

L

Rp

p R

=

∢

Druga zasada dynamiki
dla ruchu obrotowego

;

L

M

I

M

t

ε

∆

=

=

∆

Środek masy układu n
punktów materialnych

1

1

n

i

i

i

s r

n

i

i

m r

r

m

=

=

=

∑

∑

Praca, energia

Energia kinetyczna ruchu
postępowego i obrotowego

2

2

;

2

2

k

k

mv

I

E

E

ω

=

=

Energia potencjalna (małe
zmiany wysokości)

p

E

mgh

=

Praca siły

cos

W

Fs

α

=

Praca a energia kinetyczna

k

E

W

∆ =

Moc

;

;

W

P

P

Fv P

M

t

ω

∆

=

=

=

∆

Grawitacja

Wartość siły grawitacji

2

11

1

2

2

2

;

6.67 10

g

m m

Nm

F

G

G

R

kg

−

=

=

⋅

Natężenie pola
grawitacyjnego

g

F

m

γ

=

Energia potencjalna

1

2

pot

m m

E

G

R

= −

Wartość przyspieszenia
grawitacyjnego przy
powierzchni Ziemi

0

2

10

m

g

s

=

Hydrostatyka

Siła parcia a ciśnienie

F

pS

=

Ciśnienie hydrostatyczne

p

gh

ρ

=

Wartość siły wyporu

W

F

gV

ρ

=

Równanie ciągłości

.

vS

const

=

Prawo Bernoulliego

2

.

2

v

p

gh

const

ρ

ρ

+

+

=

Napięcie powierzchniowe

;

W

F

S

l

σ

σ

=

=

∆

Sprężystość

Siła sprężystości

F

kx

= −

Prawo Hooke’a

F

l

E

S

l

∆

=

Energia potencjalna
sprężystości

2

2

p

kx

E

=

Warunki równowagi

0;

0

wyp

wyp

F

M

=

=

Ruch drgający

Przemieszczenie: drgania
nietłumione

0

( )

cos(

)

x t

A

t

ω

φ

=

+

Częstość kołowa
oscylatora harmonicznego

0

0

2

;

k

T

m

π

ω

ω

=

=

Wartość prędkości

0

0

( )

sin(

)

v t

A

t

ω

ω

φ

= −

+

Okresy wahadeł

2

l

T

g

π

=

;

2

I

T

mgh

π

=

Przemieszczenie: drgania
tłumione

}

{

2

2

0

( )

cos

;

2

t

x t

Ae

t

b

m

β

ω φ

ω

ω

β β

−

=

+

=

−

=

Energia całkowita

2

2

2

;

2

2

t

c

c

kA

kA e

E

E

β

−

=

=

Termodynamika

Rozszerzalność liniowa

l

l T

α

∆ = ∆

Ciepło właściwe, ciepło
przemiany

;

Q

c

m T

=

∆

przem

Q

c

m

=

Równanie gazu doskonałego

pV

nRT

=

Równanie Mayera

p

V

C

C

R

−

=

Praca gazu (stałe ciśnienie)

W

p V

= ∆

I zasada termodynamiki

U

Q W

∆ = +

Energia wewnętrzna gazu
doskonałego

0

V

U

nC T

U

=

+

Zasada ekwipartycji energii

2

i

kT

Sprawność silnika Carnot

1

0

1

użyteczne

cakowitego

Q

T

T

Q

T

η

−

=

=

Geometria

Obwód okręgu = 2πr; pole koła = πr

2

; pole sfery

= 4πr

2

; objętość kuli =

4
3

πr

3

; powierzchnia walca =

2πr

2

+ 2πrh; objętość walca = πr

2

h; pole trójkąta =

1
2

ah.

Iloczyny wektorów

Niech ˆi, ˆj i ˆ

k będą wektorami jednostkowymi kierun-

ków x, y i z. Dowolny wektor ~a o składowych a

x

, a

y

i a

z

można przedstawić w postaci

~a = a

x

ˆi+ a

y

ˆj + a

z

ˆ

k.

Niech ~a, ~b i ~

c będą dowolnymi wektorami o długo-

ściach (modułach) a, b i c, a θ będzie mniejszym z ką-
tów między wektorami ~a i ~b. Zachodzą związki:

~a · ~b = ~b · ~a = a

x

b

x

+ a

y

b

y

+ a

z

b

z

= ab cos θ,

~a × ~b = −~b × ~a =









ˆi

ˆj

ˆ

k

a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z









= ˆi







a

y

a

z

b

y

b

z







− ˆj







a

x

a

z

b

x

b

z







+ ˆ

k







a

x

a

y

b

x

b

y







= (a

y

b

z

− b

y

a

z

)ˆi + (a

z

b

x

− b

z

a

x

)ˆj+

+ (a

x

b

y

− b

x

a

y

)ˆ

k,





~a × ~b





= ab sin θ,

~a · (~b × ~

c) = ~b · (~

c × ~a) = ~

c · (~a × ~b),

~a × (~b × ~

c) = (~a · ~

c)~b − (~a · ~b)~

c.

Wzory Cramera

Układ równań z dwiema niewiadomymi x i y

a

1

x + b

1

y = c

1

oraz

a

2

x + b

2

y = c

2

ma rozwiązanie

x =







c

1

b

1

c

2

b

2













a

1

b

1

a

2

b

2







=

c

1

b

2

− c

2

b

1

a

1

b

2

− a

2

b

1

oraz

y =







a

1

c

1

a

2

c

2













a

1

b

1

a

2

b

2







=

a

1

c

2

− a

2

c

1

a

1

b

2

− a

2

b

1

.

Równanie kwadratowe i jego rozwiązanie

Jeśli ax

2

+ bx + c = 0, to x =

−b ±

√

b

2

− 4ac

2a

.

Funkcje trygonometryczne kąta θ

sin θ =

y

r

cos θ =

x

r

tg θ =

y

x

ctg θ =

x

y

sec θ =

r

x

cosec θ =

r

y

-

oś x

0

6

oś y

















r

y

x

θ

Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym
a

2

+ b

2

= c

2

.















c

a

b

Trójkąty

Kąty: A, B, C.
Boki im przeciwległe: a, b, c.
A + B + C = π.

sin A

a

=

sin B

b

=

sin C

c

.

c

2

= a

2

+ b

2

− 2ab cos C.

Kąt zewnętrzny D = A + C.

























J

J

J

J

J

J

J

J

J

A

B

C

D

c

b

a

Tożsamości trygonometryczne

sin(π/2 − θ) = cos θ

cos(π/2 − θ) = sin θ

sin θ/ cos θ = tg θ

sin

2

θ + cos

2

θ = 1

sec

2

θ − tg

2

θ = 1

cosec

2

θ − ctg

2

θ = 1

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

cos 2θ = cos

2

θ − sin

2

θ = 2 cos

2

θ − 1 = 1 − 2 sin

2

θ

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

tg(α ± β) =

tg α ± tg β

1 ∓ tg α tg β

sin α ± sin β = 2 sin

α ± β

2

cos

α ∓ β

2

cos α + cos β = 2 cos

α + β

2

cos

α − β

2

cos α − cos β = −2 sin

α + β

2

sin

α − β

2