FIZYKA – WZORY 

 
 

Rozdziały: 
1.1. 

Mechanika punktu materialnego

 

1.2. 

Mechanika bryły sztywnej

 

1.3. 

Elementy mechaniki relatywistycznej

 

1.4. 

Pole grawitacyjne

 

1.5. 

Pole elektrostatyczne

 

1.6. 

Prąd stały

 

1.7. 

Pole magnetyczne

 

1.8. 

Pole elektromagnetyczne

 

1.9. 

Drgania mechaniczne i elektromagnetyczne

 

1.10. 

Fale mechaniczne i elektromagnetyczne

 

1.11. 

Optyka

 

1.12. 

Dualizm falowo-korpuskularny

 

1.13. 

Termodynamika

 

1.14. 

Budowa atomu

 

1.15. 

Jądro atomowe i cząstki elementarne

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.1. Mechanika punktu materialnego 

 

POJĘCIA PODSTAWOWE 

Wektor położenia r = [x,y,z] 
Wartość wektora położenia 

2

2

2

z

y

x

r







 

Prędkość v = [v

x

,v

y

,v

z

], gdzie 

dt

dx

v

x



,

dt

dy

v

y



,

dt

dz

v

z



 

Jednostką prędkości jest metr na sekundę: m/s 

Przyspieszenie  a = [a

x

,a

y

,a

z

], gdzie 

dt

x

d

dt

dv

a

x

x

2





,

dt

y

d

dt

dv

a

y

y

2





,

dt

z

d

dt

dv

a

z

z

2





 

Jednostką przyspieszenia jest metr na sekundę do kwadratu: m/s

2 

Droga s w przedziale czasu t

0

 do t

1

: 





1

0

)

(

)

,

(

1

0

t

t

dt

t

v

t

t

s

 

Dla ruchu prostoliniowego jednostajnie zmiennego: 

at

v

v





0

,

2

0

0

2

1

at

t

v

s

s







 

RUCH PO OKRĘGU 

Ruch po okręgu: 

)

(

cos

0

t

r

x

x







, 

)

(

cos

0

t

r

y

y







, gdzie α(t) – dowolna funkcja czasu 

Jest to ruch po okręgu ośrodku w x

0

 i y

0

. 

Wielkość 

dt

d



 

nazywamy prędkością kątową, zaś wielkość 

dt

d

dt

d







2





przyspieszeniem kątowym. 

Dla ruchu jednostajnego 

.

const

r

v







,

0





,

r

v

t

v

a

n

2

lim









,

.

2

2

const

r

r

v

a

n









, gdzie 

a

n

 – przyspieszenie dośrodkowe. 

 

ZASADY DYNAMIKI 

I zasada dynamiki

: Istnieje taki układ odniesienia (zwany układem inercjalnym), w którym 

wszystkie punkty materialne nie podlegające oddziaływaniom poruszają się ruchem 
jednostajnym prostoliniowym lub spoczywają. Prawa mechaniki mają szczególnie prostą 
postać w inercjalnych układach odniesienia. 

II zasada dynamiki

: Punkt materialny, na który działa niezrównoważona siła 



F , uzyskuje w 

inercjalnym układzie odniesienia przyspieszenie 



a

 o kierunku i zwrocie zgodnym z 

kierunkiem i zwrotem siły i o wartości wprost proporcjonalnej do wartości siły: 







a

m

F

 

Za jednostkę siły przyjęto taką siłę, która ciału o masie 1kg nadaje przyspieszenie 1m/s

2

. 

Jednostkę tę nazywamy niutonem (N): 

2

*

1

1

s

m

kg

N



 

Istnieje też inne sformułowanie 

II zasady dynamiki

: 

Pierwsza pochodna pędu 



p względem czasu jest równa sile 



F działającej na ciało: 







F

dt

p

d

 

Zmiana pędu w czasie t

0

 do t

1

 jest równa popędowi siły. 

III zasada dynamiki

: Oddziaływania w przyrodzie mają charakter zwrotny. Jeśli ciało B 

wpływa na stan ciała A, to i ciało A musi wpływać na stan ciała B. 
lub: 
Jeżeli ciało B działa na ciało A pewną siłą, to jednocześnie ciało A działa na ciało B siłą 
równą co do wartości, lecz przeciwnie skierowaną i leżącą na tej samej prostej. 

BA

AB

F

F





 

 

PRAWO ZACHOWANIA PĘDU UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH 

Suma pędów ciał wchodzących w skład układu izolowanego, zwana całkowitym pędem 
układu, jest wielkością stałą: 

.

const

p

p

p

b

a







 

ENERGIA KINETYCZNA I PRACA 

Praca wykonana przez siłę F działającą na punkt materialny o masie m jest równa zmianie 
energii kinetycznej tego punktu. 

2

2

1

mv

E

k



 

Praca przy stałej sile jest równa iloczynowi skalarnemu siły i wektora przesunięcia wzdłuż 
kierunku działania siły:



cos

)]

(

)

(

[

0

1

Fs

t

r

t

r

F

W







. 

Jeżeli na punkt materialny działa zmienna siła, wówczas praca wynosi: 





Fdr

W

. 

Jednostką pracy i energii jest dżul (J). Jest to praca wykonana przez przyłożenie siły 1N i 
przesunięcie ciała na drodze 1m w kierunku równoległym do siły. 
Praca przypadająca na jednostkę czasu nazywana jest mocą. Jednostką mocy jest wat (W). 
 

1.2. Mechanika bryły sztywnej 

Bryłą sztywną nazywamy ciało, w którym odległości między dowolnie wybranymi punktami 
nie zmieniają się podczas ruchu ciała. Wektor położenia r środka masy: 





i

i

r

m

M

r

1

 

Prędkość kątowa bryły: 

dt

d



 

 

Przyspieszenie kątowe bryły: 

2

2

dt

d

dt

d











 

 

ruch postępowy 

ruch obrotowy 

wzajemne zależności 

jednostajny 

droga 

vt

s



 

t







 

r

s





 

prędkość 

t

s

v



 

t



 

 

r

v





 

jednostajnie zmienny 

przyspieszenie 

t

v

v

a

0





 

t

0











 

r

a





 

prędkość 

at

v

v





0

 

t











0

 

r

v





 

droga 

2

2

0

at

t

v

s





 

2

2

0

t

t











 

 

Energia kinetyczna obracającej się bryły: 







n

i

i

i

k

l

m

E

1

2

2

2



 lub 

2

2



z

k

I

E



 

Moment bezwładności: 







n

i

i

i

z

l

m

I

1

2

 

Jednostką momentu bezwładności jest [I

z

]=kg*m

2

 

Moment pędu bryły: 

z

I

J





 

Jednostką momentu pędu jest [J]=kg*m

2

/s 

Moment siły: 

F

r

M

*



 

 

1.3. Elementy mechaniki relatywistycznej 

Nie obowiązuje II zasada dynamiki w postaci ma=F. 
Obowiązuje w dalszym ciągu prawo: F=dp/dt. 
Zamiast wzoru p=mv teoria względności każe używać wzoru 

v

m

p

r



, gdzie m

r

 zależy od 

masy ciała w spoczynku i od prędkości ciała: 

2

2

1

c

v

m

m

r





 

Równoważność masy i energii: 

2

mc

E



 

 

1.4. Pole grawitacyjne 

POJĘCIA PODSTAWOWE 

Prawo powszechnej grawitacji: 

12

12

2

2

1

12

r

r

r

m

m

G

F









 

Natężenie pola grawitacyjnego: 

2

r

M

G

m

F

Mm







 

Praca w polu grawitacyjnym: 

)

1

1

(

2

1

r

r

GMm

W





 

Energia potencjalna: 

r

GMm

E





 

Potencjał grawitacyjny: 

m

M

G

m

E

V







 

Prawa Keplera: 

I

 – Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się zawsze w jednym z ognisk 

elipsy. 

II

 – Prędkość polowa każdej planety jest stała, co oznacza, że wektor położenia planety 

zakreśla w jednakowych przedziałach czasu równe pola. 

III

 – Stosunek kwadratu okresu T obiegu planety dookoła Słońca do sześcianu średniej 

odległości R od niego jest dla wszystkich planet Układu Słonecznego jednakowy: 

.

3

2

const

R

T



 

1.5. Pole elektrostatyczne 

POJĘCIA PODSTAWOWE 

Całkowity ładunek elektryczny układu odosobnionego nie może ulegać zmianie. 

Siła między ładunkami: 

2

r

Qq

k

F



 



4

1



k

 

Natężenie pola: 

q

F

E



 

Wektor indukcji: 

E

D

r





0



 

Strumień indukcji: 





S

n

E

dS

D



 

PRAWO GAUSSA 

Jeżeli w obszarze ograniczonym zamkniętą powierzchnią S nie ma ładunków lub suma ich 
równa się zeru, to 

.

0



E



 

PRACA W POLU ELEKTROSTATYCZNYM 

Praca: 

)

1

1

(

2

1

r

r

kQq

W





 

Energia potencjalna: 

r

kQq

E



 

Potencjał: 

q

E

V



 

ZACHOWANIE SIĘ CIAŁ MATERIALNYCH W POLU ELEKTROSTATYCZNYM, 
KONDENSATORY 

Pojemność: 

V

Q

C



 (jednostką jest farad [F]) 

 

Pojemność kondensatora płaskiego: 

d

S

C





 

 

1.6. Prąd stały 

NAPIĘCIE. NATĘŻENIE. GĘSTOŚĆ PRĄDU. OPÓR ELEKTRYCZNY. 
 
PRAWO OHMA 
 
ŁĄCZENIE SZEREGOWE I RÓWNOLEGŁE ODBIORNIKÓW ENERGII 
ELEKTRYCZNEJ 
 
PRAWA KIRCHHOFFA 
 
PRACA I MOC PRĄDU STAŁEGO 

 

1.7. Pole magnetyczne 

Indukcja magnetyczna: 

qv

F

B



(jednostka tesla [T]) 

PRZEWODNIK Z PRĄDEM W POLU MAGNETYCZNYM 

Siła elektrodynamiczna: 



sin

lB

I

F





 

PRAWO BIOTA-SAVARTA 

3

0

4

r

r

l

I

B













 

 

1.8. Pole elektromagnetyczne 

PRAWO INDUKCJI FARADAYA. DRUGIE PRAWO MAXWELLA. 

SEM indukowane:

dt

d

B









 

Reguła Lenza

: Prąd indukowany ma taki kierunek, że przeciwstawia się zmianie strumienia, 

która go wywołała. 

II prawo Maxwella

: Zmienne pole magnetyczne wytwarza zmienne pole elektryczne. 

PIERWSZE PRAWO MAXWELLA 

Krążenie wektora indukcji magnetycznej B po pewnej krzywej L jest proporcjonalne do zmian 
strumienia pola elektrycznego Φ przechodzącego przez powierzchnię S rozpiętą na krzywej S. 

dt

d

K

E

b







0

0



 

RÓWNANIA MAXWELLA 

Nazwa 

Równanie 

Sformułowanie słowne 

Prawo Gaussa dla elektryczności 





Q

S

d

E





0



 

lub 

Q

E

0

1







 

Strumień pola E przez dowolną 
powierzchnię zamkniętą równy jest 
całkowitemu ładunkowi zawartemu 
wewnątrz tej powierzchni. 

Prawo Gaussa dla magnetyzmu 





0

S

d

B





 

lub 

0



B



 

Strumień pola B przez dowolną 
powierzchnię zamkniętą równy jest 
zeru. 

Prawo Ampere’a rozszerzone 
przez Maxwella 







I

dt

d

l

d

B

E

0

0

0













 

lub 

dt

d

I

K

E

B









0

0

0





 

Krążenie wektora indukcji 
magnetycznej B po pewnej krzywej jest 
proporcjonalne do zmiany strumienia 
pola elektrycznego przechodzącego 
przez powierzchnię S oraz do prądu 
przewodzenia I przepływającego w 
przewodniku wewnątrz obwodu 
całkowania. 

Prawo indukcji Faradaya 







dt

d

l

d

E

B







 

lub 

dt

d

K

B

E







 

Krążenie wektora natężenia pola 
elektrycznego po krzywej zamkniętej 
jest równe ze znakiem przeciwnym 
pochodne względem czasu strumienia 
indukcji B przechodzącej przez 
powierzchnię rozpiętą na krzywej. 

 

1.9. Drgania mechaniczne i elektromagnetyczne 

RUCH HARMONICZNY 

Częstotliwość w hercach [Hz]: 

T

v

1



 

Częstotliwość kołowa w radianach na sekundę [rad/s]: 

T





2



 

Równanie ruchu harmonicznego: 





















t

T

A

x

2

sin

; A>0, T>0. 

Prędkość ruchu harmonicznego: 

















t

A

dt

dx

v

s

cos

 

Przyspieszenie ruchu harmonicznego: 



















t

A

dt

dv

a

S

S

sin

2

 

x

a

S

2







 

Prawo Hooke’a

: F= - kx 

Sprężyna drgająca: 

m

k



2



 

ENERGIA W PROSTYM RUCHU HARMONICZNYM 

Energia potencjalna w punkcie x: 

2

kx

E

p





 

Energia kinetyczna w każdej chwili: 

2

2

1

mv

E

K



 

Całkowita energia: 

2

2

1

kA

E

E

E

p

K







 

ELEKTRYCZNY OBWÓD DRGAJĄCY 

Indukcyjność: 

dt

dI

L

dt

d

B

ji

samoindukc













, gdzie L – indukcyjność w henrach [H] 

Porównanie drgań mechanicznych i elektrycznych 

Q 

x 

I 

v 

C 

1/k 

L 

m 

LC

1





 

m

k





 

2

2

1

kx

E

p



 

C

Q

E

p

2

2

1



 

2

2

1

mv

E

k



 

2

2

1

LI

E

k



 

 

1.10. Fale mechaniczne i elektromagnetyczne 

RODZAJE FAL 

- Fala poprzeczna 
- Fala podłużna 
- Jednowymiarowa 
- Dwuwymiarowa 
- Trójwymiarowa 
- Impuls 
- Ciąg fal 
- Fala harmoniczna prosta 
- Płaska 
- Kulista 

FALE HARMONICZNE 

Długość fali: 

f

v

Tv







 

FALE STOJĄCE 

Długość sznura (warunek powstania fali, węzły na końcach): 

2

n

n

L





 

FALE DŹWIĘKOWE 

Zakres słyszalny: 20-20000Hz 
Pod zakresem słyszalnym – INFRADŹWIĘKI. Nad zakresem słyszalnym – 
ULTRADŹWIĘKI. 
Parametry dźwięku: głośność, wysokość, barwa. 

ZJAWISKO DOPPLERA 

Częstotliwość dźwięku poruszającego się: 

v

v

v

f

v

v

T

f

0

0

0

0

1

















 

Oddalający się od źródła: v

0

>0, zbliżający się do źródła v

0

<0. 

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 

Prędkość fali elektromagnetycznej: 



1



v

 

Energetyczne własności fal opisuje wektor Poyntinga: 

B

E

S











0

1



 

Widmo fal: 
-  Gamma 
-  X – twarde i miękkie 
-  Nadfiolet 
-  Widzialne 
-  Podczerwień 
-  Fale radiowe i mikrofale 
-  UKF i TV 
-  Radiofonia 
-  Fale długie 
 

1.11. Optyka 

PODSTAWOWE PRAWA OPTYKI GEOMETRYCZNEJ 

1. W ośrodkach jednorodnych światło rozchodzi się wzdłuż linii prostych, które nazywamy 
promieniami. 
2. Kąt odbicia promieni świetlnych od granicy dwóch ośrodków jest równy kątowi padania. 
3. Stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania światła na granicy dwóch 
ośrodków jest wielkością stałą. 

Prawo załamania: 

12

.

sin

sin

n

const









 

2

1

12

v

v

n



 

1

1

v

c

n



 

OBRAZY W SOCZEWKACH 

Właściwości soczewek skupiających: 
-  Promienie równoległe do głównej osi optycznej po przejściu przez soczewkę przecinają się 

w jednym punkcie, w ognisku soczewki, położonym na głównej osi optycznej 

-  Ogniskowa: 























2

1

12

1

1

1

1

r

r

n

f

, gdzie r - promienie krzywizny obu soczewek 

-  Soczewka skupiająca wytwarza rzeczywiste obrazy przedmiotów w odległości x>f na 

głównej osi optycznej i pozorne obrazy przedmiotów położonych w odległości x<f. 

-  Odległość przedmiotu – x, odległość obrazu – y 

y

x

f

1

1

1





 

Przyjmuje się, że odległości obrazów pozornych od soczewki są ujemne. 
 
Właściwości soczewek rozpraszających: 

-  Promienie równoległe do głównej osi optycznej soczewki odchylają się po przejściu przez 

soczewkę tak, że ich przedłużenia przecinają w ognisku pozornym – punkcie położonym na 
głównej osi optycznej przed soczewką 

-  Ogniskowej soczewki rozpraszającej przypisujemy umownie wartość ujemną. Ogniskowa 

ta jest określana także wzorem soczewkowym: 























2

1

12

1

1

1

1

r

r

n

f

 

-  Soczewka rozpraszająca wytwarza obrazy pozorne przedmiotów położonych na głównej osi 

optycznej 

-  Odległość przedmiotu x i obrazu y od soczewki spełniają równanie soczewki: 

y

x

f

1

1

1





 

Powiększenie: 

x

y

h

h

p

p





0

 

Jednostka zdolności skupiającej – dioptria [D] = [m

-1

]. 

 
Rodzaje obrazów w soczewkach skupiających i zwierciadłach kulistych wklęsłych: 

x 

y 

p 

Rodzaj obrazu 





x

 

y=f 

p=0 

Wiązka promieni równoległych do osi 
optycznej soczewki (zwierciadła) skupia 
się w ognisku 

x>2f 

f<y<2f 

p<1 

Obraz rzeczywisty, zmniejszony, 
odwrócony 

x=2f 

y=2f 

p=1 

Obraz rzeczywisty, wielkości przedmiotu 
(równy), odwrócony 

f<x<2f 

y>2f 

p>1 

Obraz rzeczywisty, powiększony, 
odwrócony 

x=f 





y

 





p

 

Promienie wychodzące z ogniska po 
odbiciu od zwierciadła (po przejściu przez 
soczewkę) są równoległe 

0<x<f 

y<0 

p>1 

Obraz pozorny, powiększony, prosty 

OPTYKA FALOWA. DYFRAKCJA I INTERFERENCJA ŚWIATŁA 

Zasada Huyghensa

: każdy punkt ośrodka, do którego dochodzi czoło fali, staje się źródłem 

wtórnych fal elementarnych. 

POMIAR DŁUGOŚCI FALI ŚWIATŁA 

Siatka dyfrakcyjna: 





n

d

n



sin

 

gdzie n=0,1,2,... (n < d/λ), d – stała siatki (odległość między szczelinami w siatce) 
 

1.12. Dualizm falowo-korpuskularny 

ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE ZEWNĘTRZNE 

2

2

max

mv

eU

h



 

gdzie U

h

 – potencjał hamujący, v

max

 – maksymalna prędkość elektronu. 

2

max

2

1

mv

W

hf





 

gdzie W – praca wyjścia, h – stała Plancka, f – częstotliwość. 

ZJAWISKO COMPTONA 

2

max

0

2

1

mv

hf

hf





 

Zmiana częstotliwości fotonu padającego i nadanie prędkości elektronowi. 

FALE MATERII DE BROGLIE’A 

p

h





 

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA 

h

x

p

x







 

Położenie i pęd cząstki możemy określić ze skończoną dokładnością. 
 

1.13. Termodynamika 

PARAMETRY STANU 

Ciśnienie w paskalach [Pa]: 

S

F

p







 

Prawo Pascala:

 Ciśnienie w danym punkcie cieczy lub gazu w stanie równowagi nie zależy od 

ustawienia powierzchni, na którą działa, i w każdym punkcie gazu czy cieczy jest jednakowe. 

RÓWNOWAGA TERMODYNAMICZNA – ZEROWA ZASADA TERMODYNAMIKI 

Jeżeli ciała A i B są w równowadze termicznej z trzecim ciałem C (termometrem), to A i B są 
w równowadze termicznej ze sobą. 

CIEPŁO 

I zasada termodynamiki

: W dowolnej przemianie termodynamicznej układu zamkniętego 

zmiana 

U



energii wewnętrznej jest równa ciepłu Q dostarczonemu do układu i pracy W 

wykonanej nad układem. 

W

Q

U







 

Ciepło właściwe – c : 

)

(

0

1

t

t

cm

Q





 

Podstawową jednostką ciepła jest dżul [J], a jednostką ciepła właściwego dżul na kilogram 
razy kelwin [J/(kg*K)]. 

PRZEMIANY FAZOWE 

-  topnienie 
-  krzepnięcie 
-  parowanie 
-  skraplanie 
-  sublimacja 
-  resublimacja 

RÓWNANIE STANU GAZU DOSKONAŁEGO 

Przemiana izotermiczna: 
Opisywana przez 

prawo Boyle’a i Mariotte’a:

 Dla ustalonej liczby moli gazu i temperatury 

iloczyn ciśnienia i objętości jest w ustalonej temperaturze wielkością stałą. 

.

2

2

1

1

const

V

p

V

p





 

Przemiana izobaryczna: 
Opisywana przez 

prawo Gay-Lussaca

: Dla ustalonej liczby moli gazu pod stałym ciśnieniem 

wzrost temperatury powoduje wzrost objętości gazu proporcjonalny do różnicy temperatur. 

)

1

(

0

t

V

V









 



- współczynnik termicznej rozszerzalności gazu 

Przemiana izochoryczna: 
Opisywana przez 

prawo Charlesa

: Dla ustalonej liczby moli gazu w stałej objętości wzrost 

temperatury powoduje wzrost ciśnienia gazu proporcjonalny do różnicy temperatur. 

)

1

(

0

t

p

p









 



 

-współczynnik prężności termicznej gazu 

Dla gazu doskonałego 

273

1









, a przy użyciu skali Kelvina (T=t+273) otrzymujemy: 

.

0

0

const

T

V

T

V





 

.

0

0

const

T

p

T

p





 

Równanie Clapeyrona: 

nRT

pV



, gdzie R- stała gazowa 

PRZEMIANA ADIABATYCZNA GAZU DOSKONAŁEGO 

k

k

V

p

V

p

2

2

1

1



 

gdzie k = c

p

 /c

v

 , c

p

- ciepło właściwe przy przemianie izobarycznej, c

v

- ciepło właściwe przy 

przemianie izochorycznej. 

DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI 

We wszystkich układach odosobnionych całkowita entropia układu nie może maleć. 

ELEMENTY KINETYCZNEJ TEORII GAZÓW 

Ciśnienie: 

ksr

E

V

n

p

3

2



 

Energia kinetyczna średnia: 

RT

E

ksr

3

2



 

 

1.14. Budowa atomu 

 

1.15. Jądro atomowe i cząstki elementarne