FIZYKA – WZORY

Rozdziały:
1.1.

Mechanika punktu materialnego

1.2.

Mechanika bryły sztywnej

1.3.

Elementy mechaniki relatywistycznej

1.4.

Pole grawitacyjne

1.5.

Pole elektrostatyczne

1.6.

Prąd stały

1.7.

Pole magnetyczne

1.8.

Pole elektromagnetyczne

1.9.

Drgania mechaniczne i elektromagnetyczne

1.10.

Fale mechaniczne i elektromagnetyczne

1.11.

Optyka

1.12.

Dualizm falowo-korpuskularny

1.13.

Termodynamika

1.14.

Budowa atomu

1.15.

Jądro atomowe i cząstki elementarne

1.1. Mechanika punktu materialnego

POJĘCIA PODSTAWOWE

Wektor położenia r = [x,y,z]
Wartość wektora położenia

2

2

2

z

y

x

r







Prędkość v = [v

x

,v

y

,v

z

], gdzie

dt

dx

v

x



,

dt

dy

v

y



,

dt

dz

v

z



Jednostką prędkości jest metr na sekundę: m/s

Przyspieszenie a = [a

x

,a

y

,a

z

], gdzie

dt

x

d

dt

dv

a

x

x

2





,

dt

y

d

dt

dv

a

y

y

2





,

dt

z

d

dt

dv

a

z

z

2





Jednostką przyspieszenia jest metr na sekundę do kwadratu: m/s

2

Droga s w przedziale czasu t

0

do t

1

:





1

0

)

(

)

,

(

1

0

t

t

dt

t

v

t

t

s

Dla ruchu prostoliniowego jednostajnie zmiennego:

at

v

v





0

,

2

0

0

2

1

at

t

v

s

s







RUCH PO OKRĘGU

Ruch po okręgu:

)

(

cos

0

t

r

x

x







,

)

(

cos

0

t

r

y

y







, gdzie α(t) – dowolna funkcja czasu

Jest to ruch po okręgu ośrodku w x

0

i y

0

.

Wielkość

dt

d



 

nazywamy prędkością kątową, zaś wielkość

dt

d

dt

d







2





przyspieszeniem kątowym.

Dla ruchu jednostajnego

.

const

r

v







,

0





,

r

v

t

v

a

n

2

lim









,

.

2

2

const

r

r

v

a

n









, gdzie

a

n

– przyspieszenie dośrodkowe.

ZASADY DYNAMIKI

I zasada dynamiki

: Istnieje taki układ odniesienia (zwany układem inercjalnym), w którym

wszystkie punkty materialne nie podlegające oddziaływaniom poruszają się ruchem
jednostajnym prostoliniowym lub spoczywają. Prawa mechaniki mają szczególnie prostą
postać w inercjalnych układach odniesienia.

II zasada dynamiki

: Punkt materialny, na który działa niezrównoważona siła



F , uzyskuje w

inercjalnym układzie odniesienia przyspieszenie



a

o kierunku i zwrocie zgodnym z

kierunkiem i zwrotem siły i o wartości wprost proporcjonalnej do wartości siły:







a

m

F

Za jednostkę siły przyjęto taką siłę, która ciału o masie 1kg nadaje przyspieszenie 1m/s

2

.

Jednostkę tę nazywamy niutonem (N):

2

*

1

1

s

m

kg

N



Istnieje też inne sformułowanie

II zasady dynamiki

:

Pierwsza pochodna pędu



p względem czasu jest równa sile



F działającej na ciało:







F

dt

p

d

Zmiana pędu w czasie t

0

do t

1

jest równa popędowi siły.

III zasada dynamiki

: Oddziaływania w przyrodzie mają charakter zwrotny. Jeśli ciało B

wpływa na stan ciała A, to i ciało A musi wpływać na stan ciała B.
lub:
Jeżeli ciało B działa na ciało A pewną siłą, to jednocześnie ciało A działa na ciało B siłą
równą co do wartości, lecz przeciwnie skierowaną i leżącą na tej samej prostej.

BA

AB

F

F





PRAWO ZACHOWANIA PĘDU UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH

Suma pędów ciał wchodzących w skład układu izolowanego, zwana całkowitym pędem
układu, jest wielkością stałą:

.

const

p

p

p

b

a







ENERGIA KINETYCZNA I PRACA

Praca wykonana przez siłę F działającą na punkt materialny o masie m jest równa zmianie
energii kinetycznej tego punktu.

2

2

1

mv

E

k



Praca przy stałej sile jest równa iloczynowi skalarnemu siły i wektora przesunięcia wzdłuż
kierunku działania siły:



cos

)]

(

)

(

[

0

1

Fs

t

r

t

r

F

W







.

Jeżeli na punkt materialny działa zmienna siła, wówczas praca wynosi:





Fdr

W

.

Jednostką pracy i energii jest dżul (J). Jest to praca wykonana przez przyłożenie siły 1N i
przesunięcie ciała na drodze 1m w kierunku równoległym do siły.
Praca przypadająca na jednostkę czasu nazywana jest mocą. Jednostką mocy jest wat (W).

1.2. Mechanika bryły sztywnej

Bryłą sztywną nazywamy ciało, w którym odległości między dowolnie wybranymi punktami
nie zmieniają się podczas ruchu ciała. Wektor położenia r środka masy:





i

i

r

m

M

r

1

Prędkość kątowa bryły:

dt

d



 

Przyspieszenie kątowe bryły:

2

2

dt

d

dt

d











ruch postępowy

ruch obrotowy

wzajemne zależności

jednostajny

droga

vt

s



t







r

s





prędkość

t

s

v



t



 

r

v





jednostajnie zmienny

przyspieszenie

t

v

v

a

0





t

0











r

a





prędkość

at

v

v





0

t











0

r

v





droga

2

2

0

at

t

v

s





2

2

0

t

t











Energia kinetyczna obracającej się bryły:







n

i

i

i

k

l

m

E

1

2

2

2



lub

2

2



z

k

I

E



Moment bezwładności:







n

i

i

i

z

l

m

I

1

2

Jednostką momentu bezwładności jest [I

z

]=kg*m

2

Moment pędu bryły:

z

I

J





Jednostką momentu pędu jest [J]=kg*m

2

/s

Moment siły:

F

r

M

*



1.3. Elementy mechaniki relatywistycznej

Nie obowiązuje II zasada dynamiki w postaci ma=F.
Obowiązuje w dalszym ciągu prawo: F=dp/dt.
Zamiast wzoru p=mv teoria względności każe używać wzoru

v

m

p

r



, gdzie m

r

zależy od

masy ciała w spoczynku i od prędkości ciała:

2

2

1

c

v

m

m

r





Równoważność masy i energii:

2

mc

E



1.4. Pole grawitacyjne

POJĘCIA PODSTAWOWE

Prawo powszechnej grawitacji:

12

12

2

2

1

12

r

r

r

m

m

G

F









Natężenie pola grawitacyjnego:

2

r

M

G

m

F

Mm







Praca w polu grawitacyjnym:

)

1

1

(

2

1

r

r

GMm

W





Energia potencjalna:

r

GMm

E





Potencjał grawitacyjny:

m

M

G

m

E

V







Prawa Keplera:

I

– Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się zawsze w jednym z ognisk

elipsy.

II

– Prędkość polowa każdej planety jest stała, co oznacza, że wektor położenia planety

zakreśla w jednakowych przedziałach czasu równe pola.

III

– Stosunek kwadratu okresu T obiegu planety dookoła Słońca do sześcianu średniej

odległości R od niego jest dla wszystkich planet Układu Słonecznego jednakowy:

.

3

2

const

R

T



1.5. Pole elektrostatyczne

POJĘCIA PODSTAWOWE

Całkowity ładunek elektryczny układu odosobnionego nie może ulegać zmianie.

Siła między ładunkami:

2

r

Qq

k

F





4

1



k

Natężenie pola:

q

F

E



Wektor indukcji:

E

D

r





0



Strumień indukcji:





S

n

E

dS

D



PRAWO GAUSSA

Jeżeli w obszarze ograniczonym zamkniętą powierzchnią S nie ma ładunków lub suma ich
równa się zeru, to

.

0



E



PRACA W POLU ELEKTROSTATYCZNYM

Praca:

)

1

1

(

2

1

r

r

kQq

W





Energia potencjalna:

r

kQq

E



Potencjał:

q

E

V



ZACHOWANIE SIĘ CIAŁ MATERIALNYCH W POLU ELEKTROSTATYCZNYM,
KONDENSATORY

Pojemność:

V

Q

C



(jednostką jest farad [F])

Pojemność kondensatora płaskiego:

d

S

C





1.6. Prąd stały

NAPIĘCIE. NATĘŻENIE. GĘSTOŚĆ PRĄDU. OPÓR ELEKTRYCZNY.

PRAWO OHMA

ŁĄCZENIE SZEREGOWE I RÓWNOLEGŁE ODBIORNIKÓW ENERGII
ELEKTRYCZNEJ

PRAWA KIRCHHOFFA

PRACA I MOC PRĄDU STAŁEGO

1.7. Pole magnetyczne

Indukcja magnetyczna:

qv

F

B



(jednostka tesla [T])

PRZEWODNIK Z PRĄDEM W POLU MAGNETYCZNYM

Siła elektrodynamiczna:



sin

lB

I

F





PRAWO BIOTA-SAVARTA

3

0

4

r

r

l

I

B













1.8. Pole elektromagnetyczne

PRAWO INDUKCJI FARADAYA. DRUGIE PRAWO MAXWELLA.

SEM indukowane:

dt

d

B









Reguła Lenza

: Prąd indukowany ma taki kierunek, że przeciwstawia się zmianie strumienia,

która go wywołała.

II prawo Maxwella

: Zmienne pole magnetyczne wytwarza zmienne pole elektryczne.

PIERWSZE PRAWO MAXWELLA

Krążenie wektora indukcji magnetycznej B po pewnej krzywej L jest proporcjonalne do zmian
strumienia pola elektrycznego Φ przechodzącego przez powierzchnię S rozpiętą na krzywej S.

dt

d

K

E

b







0

0



RÓWNANIA MAXWELLA

Nazwa

Równanie

Sformułowanie słowne

Prawo Gaussa dla elektryczności





Q

S

d

E





0



lub

Q

E

0

1







Strumień pola E przez dowolną
powierzchnię zamkniętą równy jest
całkowitemu ładunkowi zawartemu
wewnątrz tej powierzchni.

Prawo Gaussa dla magnetyzmu





0

S

d

B





lub

0



B



Strumień pola B przez dowolną
powierzchnię zamkniętą równy jest
zeru.

Prawo Ampere’a rozszerzone
przez Maxwella







I

dt

d

l

d

B

E

0

0

0













lub

dt

d

I

K

E

B









0

0

0





Krążenie wektora indukcji
magnetycznej B po pewnej krzywej jest
proporcjonalne do zmiany strumienia
pola elektrycznego przechodzącego
przez powierzchnię S oraz do prądu
przewodzenia I przepływającego w
przewodniku wewnątrz obwodu
całkowania.

Prawo indukcji Faradaya







dt

d

l

d

E

B







lub

dt

d

K

B

E







Krążenie wektora natężenia pola
elektrycznego po krzywej zamkniętej
jest równe ze znakiem przeciwnym
pochodne względem czasu strumienia
indukcji B przechodzącej przez
powierzchnię rozpiętą na krzywej.

1.9. Drgania mechaniczne i elektromagnetyczne

RUCH HARMONICZNY

Częstotliwość w hercach [Hz]:

T

v

1



Częstotliwość kołowa w radianach na sekundę [rad/s]:

T





2



Równanie ruchu harmonicznego:





















t

T

A

x

2

sin

; A>0, T>0.

Prędkość ruchu harmonicznego:

















t

A

dt

dx

v

s

cos

Przyspieszenie ruchu harmonicznego:



















t

A

dt

dv

a

S

S

sin

2

x

a

S

2







Prawo Hooke’a

: F= - kx

Sprężyna drgająca:

m

k



2



ENERGIA W PROSTYM RUCHU HARMONICZNYM

Energia potencjalna w punkcie x:

2

kx

E

p





Energia kinetyczna w każdej chwili:

2

2

1

mv

E

K



Całkowita energia:

2

2

1

kA

E

E

E

p

K







ELEKTRYCZNY OBWÓD DRGAJĄCY

Indukcyjność:

dt

dI

L

dt

d

B

ji

samoindukc













, gdzie L – indukcyjność w henrach [H]

Porównanie drgań mechanicznych i elektrycznych

Q

x

I

v

C

1/k

L

m

LC

1





m

k





2

2

1

kx

E

p



C

Q

E

p

2

2

1



2

2

1

mv

E

k



2

2

1

LI

E

k



1.10. Fale mechaniczne i elektromagnetyczne

RODZAJE FAL

- Fala poprzeczna
- Fala podłużna
- Jednowymiarowa
- Dwuwymiarowa
- Trójwymiarowa
- Impuls
- Ciąg fal
- Fala harmoniczna prosta
- Płaska
- Kulista

FALE HARMONICZNE

Długość fali:

f

v

Tv







FALE STOJĄCE

Długość sznura (warunek powstania fali, węzły na końcach):

2

n

n

L





FALE DŹWIĘKOWE

Zakres słyszalny: 20-20000Hz
Pod zakresem słyszalnym – INFRADŹWIĘKI. Nad zakresem słyszalnym –
ULTRADŹWIĘKI.
Parametry dźwięku: głośność, wysokość, barwa.

ZJAWISKO DOPPLERA

Częstotliwość dźwięku poruszającego się:

v

v

v

f

v

v

T

f

0

0

0

0

1

















Oddalający się od źródła: v

0

>0, zbliżający się do źródła v

0

<0.

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

Prędkość fali elektromagnetycznej:



1



v

Energetyczne własności fal opisuje wektor Poyntinga:

B

E

S











0

1



Widmo fal:
- Gamma
- X – twarde i miękkie
- Nadfiolet
- Widzialne
- Podczerwień
- Fale radiowe i mikrofale
- UKF i TV
- Radiofonia
- Fale długie

1.11. Optyka

PODSTAWOWE PRAWA OPTYKI GEOMETRYCZNEJ

1. W ośrodkach jednorodnych światło rozchodzi się wzdłuż linii prostych, które nazywamy
promieniami.
2. Kąt odbicia promieni świetlnych od granicy dwóch ośrodków jest równy kątowi padania.
3. Stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania światła na granicy dwóch
ośrodków jest wielkością stałą.

Prawo załamania:

12

.

sin

sin

n

const









2

1

12

v

v

n



1

1

v

c

n



OBRAZY W SOCZEWKACH

Właściwości soczewek skupiających:
- Promienie równoległe do głównej osi optycznej po przejściu przez soczewkę przecinają się

w jednym punkcie, w ognisku soczewki, położonym na głównej osi optycznej

- Ogniskowa:























2

1

12

1

1

1

1

r

r

n

f

, gdzie r - promienie krzywizny obu soczewek

- Soczewka skupiająca wytwarza rzeczywiste obrazy przedmiotów w odległości x>f na

głównej osi optycznej i pozorne obrazy przedmiotów położonych w odległości x<f.

- Odległość przedmiotu – x, odległość obrazu – y

y

x

f

1

1

1





Przyjmuje się, że odległości obrazów pozornych od soczewki są ujemne.

Właściwości soczewek rozpraszających:

- Promienie równoległe do głównej osi optycznej soczewki odchylają się po przejściu przez

soczewkę tak, że ich przedłużenia przecinają w ognisku pozornym – punkcie położonym na
głównej osi optycznej przed soczewką

- Ogniskowej soczewki rozpraszającej przypisujemy umownie wartość ujemną. Ogniskowa

ta jest określana także wzorem soczewkowym:























2

1

12

1

1

1

1

r

r

n

f

- Soczewka rozpraszająca wytwarza obrazy pozorne przedmiotów położonych na głównej osi

optycznej

- Odległość przedmiotu x i obrazu y od soczewki spełniają równanie soczewki:

y

x

f

1

1

1





Powiększenie:

x

y

h

h

p

p





0

Jednostka zdolności skupiającej – dioptria [D] = [m

-1

].

Rodzaje obrazów w soczewkach skupiających i zwierciadłach kulistych wklęsłych:

x

y

p

Rodzaj obrazu





x

y=f

p=0

Wiązka promieni równoległych do osi
optycznej soczewki (zwierciadła) skupia
się w ognisku

x>2f

f<y<2f

p<1

Obraz rzeczywisty, zmniejszony,
odwrócony

x=2f

y=2f

p=1

Obraz rzeczywisty, wielkości przedmiotu
(równy), odwrócony

f<x<2f

y>2f

p>1

Obraz rzeczywisty, powiększony,
odwrócony

x=f





y





p

Promienie wychodzące z ogniska po
odbiciu od zwierciadła (po przejściu przez
soczewkę) są równoległe

0<x<f

y<0

p>1

Obraz pozorny, powiększony, prosty

OPTYKA FALOWA. DYFRAKCJA I INTERFERENCJA ŚWIATŁA

Zasada Huyghensa

: każdy punkt ośrodka, do którego dochodzi czoło fali, staje się źródłem

wtórnych fal elementarnych.

POMIAR DŁUGOŚCI FALI ŚWIATŁA

Siatka dyfrakcyjna:





n

d

n



sin

gdzie n=0,1,2,... (n < d/λ), d – stała siatki (odległość między szczelinami w siatce)

1.12. Dualizm falowo-korpuskularny

ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE ZEWNĘTRZNE

2

2

max

mv

eU

h



gdzie U

h

– potencjał hamujący, v

max

– maksymalna prędkość elektronu.

2

max

2

1

mv

W

hf





gdzie W – praca wyjścia, h – stała Plancka, f – częstotliwość.

ZJAWISKO COMPTONA

2

max

0

2

1

mv

hf

hf





Zmiana częstotliwości fotonu padającego i nadanie prędkości elektronowi.

FALE MATERII DE BROGLIE’A

p

h





ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA

h

x

p

x







Położenie i pęd cząstki możemy określić ze skończoną dokładnością.

1.13. Termodynamika

PARAMETRY STANU

Ciśnienie w paskalach [Pa]:

S

F

p







Prawo Pascala:

Ciśnienie w danym punkcie cieczy lub gazu w stanie równowagi nie zależy od

ustawienia powierzchni, na którą działa, i w każdym punkcie gazu czy cieczy jest jednakowe.

RÓWNOWAGA TERMODYNAMICZNA – ZEROWA ZASADA TERMODYNAMIKI

Jeżeli ciała A i B są w równowadze termicznej z trzecim ciałem C (termometrem), to A i B są
w równowadze termicznej ze sobą.

CIEPŁO

I zasada termodynamiki

: W dowolnej przemianie termodynamicznej układu zamkniętego

zmiana

U



energii wewnętrznej jest równa ciepłu Q dostarczonemu do układu i pracy W

wykonanej nad układem.

W

Q

U







Ciepło właściwe – c :

)

(

0

1

t

t

cm

Q





Podstawową jednostką ciepła jest dżul [J], a jednostką ciepła właściwego dżul na kilogram
razy kelwin [J/(kg*K)].

PRZEMIANY FAZOWE

- topnienie
- krzepnięcie
- parowanie
- skraplanie
- sublimacja
- resublimacja

RÓWNANIE STANU GAZU DOSKONAŁEGO

Przemiana izotermiczna:
Opisywana przez

prawo Boyle’a i Mariotte’a:

Dla ustalonej liczby moli gazu i temperatury

iloczyn ciśnienia i objętości jest w ustalonej temperaturze wielkością stałą.

.

2

2

1

1

const

V

p

V

p





Przemiana izobaryczna:
Opisywana przez

prawo Gay-Lussaca

: Dla ustalonej liczby moli gazu pod stałym ciśnieniem

wzrost temperatury powoduje wzrost objętości gazu proporcjonalny do różnicy temperatur.

)

1

(

0

t

V

V











- współczynnik termicznej rozszerzalności gazu

Przemiana izochoryczna:
Opisywana przez

prawo Charlesa

: Dla ustalonej liczby moli gazu w stałej objętości wzrost

temperatury powoduje wzrost ciśnienia gazu proporcjonalny do różnicy temperatur.

)

1

(

0

t

p

p











-współczynnik prężności termicznej gazu

Dla gazu doskonałego

273

1









, a przy użyciu skali Kelvina (T=t+273) otrzymujemy:

.

0

0

const

T

V

T

V





.

0

0

const

T

p

T

p





Równanie Clapeyrona:

nRT

pV



, gdzie R- stała gazowa

PRZEMIANA ADIABATYCZNA GAZU DOSKONAŁEGO

k

k

V

p

V

p

2

2

1

1



gdzie k = c

p

/c

v

, c

p

- ciepło właściwe przy przemianie izobarycznej, c

v

- ciepło właściwe przy

przemianie izochorycznej.

DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI

We wszystkich układach odosobnionych całkowita entropia układu nie może maleć.

ELEMENTY KINETYCZNEJ TEORII GAZÓW

Ciśnienie:

ksr

E

V

n

p

3

2



Energia kinetyczna średnia:

RT

E

ksr

3

2



1.14. Budowa atomu

1.15. Jądro atomowe i cząstki elementarne