Ruch prostoliniowy (podano wartości) Grawitacja
s
∆
2
m m
Nm
1
2
1
− 1
Prędkość średnia
v =
Wartość siły grawitacji
F = G
; G = 6.67 ⋅
10
g
2
2
t
∆
R
kg
v
∆
F
Natężenie pola
Fg
Przyspieszenie średnie
a =
a =
γ =
grawitacyjnego
t
∆ ;
m
m
Prędkość
v = v + at
m m
k
0
Energia potencjalna
1
2
E
= G
−
pot
R
2
at
Droga
s = s + v t +
Wartość przyspieszenia
0
0
m
2
grawitacyjnego przy
g = 10
0
2
Ruch po okręg (podano wartości)
s
powierzchni Ziemi
α
Hydrostatyka
ω ∆
=
;
v = ω R
Prędkość kątowa
t
∆
Siła parcia a ciśnienie
F = pS
ω = ω + ε t
= ρ
k
p
Ciśnienie hydrostatyczne
p
gh
ω
Wartość siły wyporu
F = ρ gV
Przyspieszenie kątowe
ε ∆
=
;
W
∆ t
Równanie ciągłości
vS = const.
2
ε t
2
ρ v
Droga kątowa
α = α +ω t +
Prawo Bernoulliego
p + ρ gh +
= const.
0
0
2
2
Przyspieszenie styczne
a = ε R
st
W
F
Napięcie powierzchniowe
σ =
; σ =
2
v
S
∆
l
Przyspieszenie dośrodkowe
2
a
=
= ω R
dos
R
Sprężystość
1
Siła sprężystości
= −
Częstotliwość
F
kx
f =
T
F
l
∆
Prawo Hooke’a
= E
Dynamika
S
l
Pęd
p = mv
Energia potencjalna
2
kx
E =
p
p
∆
sprężystości
2
Druga zasada dynamiki
F = ma;
F =
t
∆
Warunki równowagi
F
= 0; M
= 0
wyp
wyp
Wartość siły tarcia
F = µ F
T
N
Ruch drgający
Ciężar ciała
Q = mg
Przemieszczenie: drgania
x( t) = A cos(ω t + φ) 2
nietłumione
0
mv
Wartość siły dośrodkowej
2
F
=
= mω R
dos
π
R
Częstość kołowa
2
k
ω =
; ω =
Dynamika ruchu obrotowego
oscylatora harmonicznego
0
0
T
m
Wartość prędkości
v( t) = − Aω sin(ω t + φ) 0
0
Wartość momentu siły
M = FR sin ∡ ( F, R) l
= π
;
I
= π
n
Okresy wahadeł
T
2
T
2
g
mgh
Moment bezwładności
2
I = ∑ m r
i i
−β
i 1
=
( )
t
x t = Ae
cos{ω t +φ}
Przemieszczenie: drgania
Moment pędu
L = r × p; L = Iω
tłumione
b
2
2
ω = ω − β β =
;
0
Wartość momentu pędu
L = Rp sin ∢( p, R) 2 m
2
2
2
− β t
kA
kA e
Druga zasada dynamiki
L
Energia całkowita
E =
;
E =
M
Iε
∆
= ; M =
c
2
c
2
dla ruchu obrotowego
t
∆
Termodynamika
n
∑ m r
Rozszerzalność liniowa
∆ l = α l∆ T
i
i
Środek masy układu n
i = 1
r
=
Ciepło właściwe, ciepło
Q
Q
punktów materialnych
s r
n
c =
; c
=
∑ m
przemiany
m T
∆
przem
m
i
i = 1
Równanie gazu doskonałego
pV = nRT
Praca, energia
Równanie Mayera
C − C = R
p
V
Energia kinetyczna ruchu
2
2
mv
Iω
Praca gazu (stałe ciśnienie)
W = p V
∆
E =
; E =
postępowego i obrotowego
k
2
k
2
I zasada termodynamiki
U
∆ = Q + W
Energia potencjalna (małe
E = mgh
Energia wewnętrzna gazu
=
+
zmiany wysokości)
p
U
nC T
U
doskonałego
V
0
Praca siły
W = Fs cosα
i
Zasada ekwipartycji energii
kT
Praca a energia kinetyczna
∆ E = W
k
2
W
∆
Qu
T
T
Ŝyteczne
Moc
P =
; P = F ;
v P = Mω
Sprawność silnika Carnot
1
0
η
−
=
=
t
∆
Q
T
cakowitego
1
Funkcje trygonometryczne kąta θ
Obwód okręgu = 2 πr; pole koła = πr 2; pole sfery oś y
= 4 πr 2; objętość kuli = 4 πr 3; powierzchnia walca =
y
x
3
sin θ =
cos θ =
6
2 πr 2 + 2 πrh; objętość walca = πr 2 h; pole trójkąta =
r
r
1
ah.
y
x
2
tg θ =
ctg θ =
r
x
y
y
Iloczyny wektorów
r
r
sec θ =
cosec θ =
θ
Niech î, ˆj i ˆ
k będą wektorami jednostkowymi kierun-x
y
- oś x
0
x
ków x, y i z. Dowolny wektor ~a o składowych ax, ay i az można przedstawić w postaci Twierdzenie Pitagorasa
~a = a ˆ
ˆ
ˆ
x i + ay j + az k .
W trójkącie prostokątnym
c
a 2 + b 2 = c 2 .
a
Niech ~a, ~b i ~
c będą dowolnymi wektorami o długo-
ściach (modułach) a, b i c, a θ będzie mniejszym z ką-
b
tów między wektorami ~a i ~b. Zachodzą związki: Trójkąty
~a · ~b = ~b · ~a = axbx + ayby + azbz = ab cos θ, Kąty: A, B, C.
Boki im przeciwległe: a, b, c.
A + B + C = π.
ˆ
i
ˆj
ˆ
k
sin A
sin B
sin C
~a × ~b = −~b × ~a = a
=
=
.
x
ay az
a
b
c
b
x
by
bz
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos C.
a
a
a
= î
y
az
x
az
x
ay
− ˆ
j
+ ˆ
k
b
b
b
Kąt zewnętrzny D = A + C.
y
bz
x
bz
x
by
= ( aybz − byaz)î + ( azbx − bzax)ˆj+
J
J
+ ( a
xby − bxay )ˆ
k ,
C
J
J
b
a
J
~
a × ~b = ab sin θ,
J
J
~a · ( ~b × ~
c) = ~b · ( ~
c × ~a) = ~
c · ( ~a × ~b) ,
J
A
B
D
J
c
~a × ( ~b × ~
c) = ( ~a · ~
c) ~b − ( ~a · ~b) ~
c.
Tożsamości trygonometryczne
Wzory Cramera
sin( π/ 2 − θ) = cos θ
Układ równań z dwiema niewiadomymi x i y cos( π/ 2 − θ) = sin θ
a
sin θ/ cos θ = tg θ
1 x + b 1 y = c 1
oraz
a 2 x + b 2 y = c 2
sin2 θ + cos2 θ = 1
ma rozwiązanie
sec2 θ − tg2 θ = 1
c 1 b 1
cosec2 θ − ctg2 θ = 1
c
2
b 2
c 1 b 2 − c 2 b 1
x =
=
sin 2 θ = 2 sin θ cos θ
a
a
1
b 1
1 b 2 − a 2 b 1
cos 2 θ = cos2 θ − sin2 θ = 2 cos2 θ − 1 = 1 − 2 sin2 θ
a
2
b 2
sin( α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
oraz
cos( α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
a 1 c 1
tg α ± tg β
a
tg( α ± β) =
2
c 2
a 1 c 2 − a 2 c 1
y =
=
.
1 ∓ tg α tg β
a
a
1
b 1
1 b 2 − a 2 b 1
α ± β
α ∓ β
a
sin α ± sin β = 2 sin cos
2
b 2
2
2
α + β
α − β
cos α + cos β = 2 cos cos
Równanie kwadratowe i jego rozwiązanie 2
2
√
α
α − β
−
+ β
b ±
b 2 − 4 ac
cos α − cos β = − 2 sin sin
Jeśli ax 2 + bx + c = 0, to x =
.
2
2
2 a