Ruch prostoliniowy (podano wartości) Grawitacja

s

∆

2

m m

Nm

1

2

1

− 1

Prędkość średnia

v =

Wartość siły grawitacji

F = G

; G = 6.67 ⋅

10

g

2

2

t

∆

R

kg

v

∆

F

Natężenie pola

Fg

Przyspieszenie średnie

a =

a =

γ =

grawitacyjnego

t

∆ ;

m

m

Prędkość

v = v + at

m m

k

0

Energia potencjalna

1

2

E

= G

−

pot

R

2

at

Droga

s = s + v t +

Wartość przyspieszenia

0

0

m

2

grawitacyjnego przy

g = 10

0

2

Ruch po okręg (podano wartości)

s

powierzchni Ziemi

α

Hydrostatyka

ω ∆

=

;

v = ω R

Prędkość kątowa

t

∆

Siła parcia a ciśnienie

F = pS

ω = ω + ε t

= ρ

k

p

Ciśnienie hydrostatyczne

p

gh

ω

Wartość siły wyporu

F = ρ gV

Przyspieszenie kątowe

ε ∆

=

;

W

∆ t

Równanie ciągłości

vS = const.

2

ε t

2

ρ v

Droga kątowa

α = α +ω t +

Prawo Bernoulliego

p + ρ gh +

= const.

0

0

2

2

Przyspieszenie styczne

a = ε R

st

W

F

Napięcie powierzchniowe

σ =

; σ =

2

v

S

∆

l

Przyspieszenie dośrodkowe

2

a

=

= ω R

dos

R

Sprężystość

1

Siła sprężystości

= −

Częstotliwość

F

kx

f =

T

F

l

∆

Prawo Hooke’a

= E

Dynamika

S

l

Pęd

p = mv

Energia potencjalna

2

kx

E =

p

p

∆

sprężystości

2

Druga zasada dynamiki

F = ma;

F =

t

∆

Warunki równowagi

F

= 0; M

= 0

wyp

wyp

Wartość siły tarcia

F = µ F

T

N

Ruch drgający

Ciężar ciała

Q = mg

Przemieszczenie: drgania

x( t) = A cos(ω t + φ) 2

nietłumione

0

mv

Wartość siły dośrodkowej

2

F

=

= mω R

dos

π

R

Częstość kołowa

2

k

ω =

; ω =

Dynamika ruchu obrotowego

oscylatora harmonicznego

0

0

T

m

Wartość prędkości

v( t) = − Aω sin(ω t + φ) 0

0

Wartość momentu siły

M = FR sin ∡ ( F, R) l

= π

;

I

= π

n

Okresy wahadeł

T

2

T

2

g

mgh

Moment bezwładności

2

I = ∑ m r

i i

−β

i 1

=

( )

t

x t = Ae

cos{ω t +φ}

Przemieszczenie: drgania

Moment pędu

L = r × p; L = Iω

tłumione

b

2

2

ω = ω − β β =

;

0

Wartość momentu pędu

L = Rp sin ∢( p, R) 2 m

2

2

2

− β t

kA

kA e

Druga zasada dynamiki

L

Energia całkowita

E =

;

E =

M

Iε

∆

= ; M =

c

2

c

2

dla ruchu obrotowego

t

∆

Termodynamika

n

∑ m r

Rozszerzalność liniowa

∆ l = α l∆ T

i

i

Środek masy układu n

i = 1

r

=

Ciepło właściwe, ciepło

Q

Q

punktów materialnych

s r

n

c =

; c

=

∑ m

przemiany

m T

∆

przem

m

i

i = 1

Równanie gazu doskonałego

pV = nRT

Praca, energia

Równanie Mayera

C − C = R

p

V

Energia kinetyczna ruchu

2

2

mv

Iω

Praca gazu (stałe ciśnienie)

W = p V

∆

E =

; E =

postępowego i obrotowego

k

2

k

2

I zasada termodynamiki

U

∆ = Q + W

Energia potencjalna (małe

E = mgh

Energia wewnętrzna gazu

=

+

zmiany wysokości)

p

U

nC T

U

doskonałego

V

0

Praca siły

W = Fs cosα

i

Zasada ekwipartycji energii

kT

Praca a energia kinetyczna

∆ E = W

k

2

W

∆

Qu

T

T

żyteczne

Moc

P =

; P = F ;

v P = Mω

Sprawność silnika Carnot

1

0

η

−

=

=

t

∆

Q

T

cakowitego

1

Geometria

Funkcje trygonometryczne kąta θ

Obwód okręgu = 2 πr; pole koła = πr 2; pole sfery oś y

= 4 πr 2; objętość kuli = 4 πr 3; powierzchnia walca =

y

x

3

sin θ =

cos θ =

6

2 πr 2 + 2 πrh; objętość walca = πr 2 h; pole trójkąta =

r

r

1

ah.

y

x

2

tg θ =

ctg θ =

r

x

y

y

Iloczyny wektorów

r

r

sec θ =

cosec θ =

θ

Niech î, ˆj i ˆ

k będą wektorami jednostkowymi kierun-x

y

- oś x

0

x

ków x, y i z. Dowolny wektor ~a o składowych ax, ay i az można przedstawić w postaci Twierdzenie Pitagorasa

~a = a ˆ

ˆ

ˆ

x i + ay j + az k .

W trójkącie prostokątnym

c

a 2 + b 2 = c 2 .

a

Niech ~a, ~b i ~

c będą dowolnymi wektorami o długo-

ściach (modułach) a, b i c, a θ będzie mniejszym z ką-

b

tów między wektorami ~a i ~b. Zachodzą związki: Trójkąty

~a · ~b = ~b · ~a = axbx + ayby + azbz = ab cos θ, Kąty: A, B, C.

Boki im przeciwległe: a, b, c.

A + B + C = π.

ˆ

i

ˆj

ˆ

k

sin A

sin B

sin C

~a × ~b = −~b × ~a = a

=

=

.

x

ay az

a

b

c

b

x

by

bz

c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos C.

a

a

a

= î

y

az

x

az

x

ay

− ˆ

j

+ ˆ

k

b

b

b

Kąt zewnętrzny D = A + C.

y

bz

x

bz

x

by

= ( aybz − byaz)î + ( azbx − bzax)ˆj+

J

J

+ ( a

xby − bxay )ˆ

k ,

C

J

J

b

a

J

~

a × ~b = ab sin θ,

J

J

~a · ( ~b × ~

c) = ~b · ( ~

c × ~a) = ~

c · ( ~a × ~b) ,

J

A

B

D

J

c

~a × ( ~b × ~

c) = ( ~a · ~

c) ~b − ( ~a · ~b) ~

c.

Tożsamości trygonometryczne

Wzory Cramera

sin( π/ 2 − θ) = cos θ

Układ równań z dwiema niewiadomymi x i y cos( π/ 2 − θ) = sin θ

a

sin θ/ cos θ = tg θ

1 x + b 1 y = c 1

oraz

a 2 x + b 2 y = c 2

sin2 θ + cos2 θ = 1

ma rozwiązanie

sec2 θ − tg2 θ = 1

c 1 b 1

cosec2 θ − ctg2 θ = 1

c

2

b 2

c 1 b 2 − c 2 b 1

x =

=

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ

a

a

1

b 1

1 b 2 − a 2 b 1

cos 2 θ = cos2 θ − sin2 θ = 2 cos2 θ − 1 = 1 − 2 sin2 θ

a

2

b 2

sin( α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

oraz

cos( α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

a 1 c 1

tg α ± tg β

a

tg( α ± β) =

2

c 2

a 1 c 2 − a 2 c 1

y =

=

.

1 ∓ tg α tg β

a

a

1

b 1

1 b 2 − a 2 b 1

α ± β

α ∓ β

a

sin α ± sin β = 2 sin cos

2

b 2

2

2

α + β

α − β

cos α + cos β = 2 cos cos

Równanie kwadratowe i jego rozwiązanie 2

2

√

α

α − β

−

+ β

b ±

b 2 − 4 ac

cos α − cos β = − 2 sin sin

Jeśli ax 2 + bx + c = 0, to x =

.

2

2

2 a