Tematy na egzamin

(1) Rachunek zda´

n: koniunkcja, alternatywa, implikacja i ich zaprzeczenia; tautologie.

(2) Operacje na zbiorach: suma, przecie

ι

cie, r´

o˙znica, dope´

nienie.

(3) Liczby wymierne i niewymierne, warto´

s´

c bezwzgle

ι

dna.

(4) Uk lady r´

owna´

n liniowych, sposoby rozwia

ι

zywania.

(5) Wyznacznik–definicja (wz´

or rekurencyjny–rozwinie

ι

cie Laplace’a) i podstawowe w lasno´

sci: lin-

iowo´

s´

c wzgle

ι

dem kolumn(wierszy), zmiana znaku przy zamianie kolumn(wierszy) miejscami.

(6) Rola wyznacznika w rozwia

ι

zywaniu uk lad´

ow r´

owna´

n liniowych, wzory Cramera.

(7) Wektory, operacje na wektorach, liniowa niezale˙zno´

s´

c wektor´

ow, rza

ι

d macierzy.

(8) Granica cia

ι

gu, definicja, podstawowe twierdzenia o granicach: granica sumy, r´

o˙znicy, iloczynu, ilo-

razu; przyk lady cia

ι

g´

ow zbie˙znych, podstawowe sposoby obliczania granic: wielomian/wielomian,

r´

o˙znica pierwiastk´

ow, cia

ι

g geometryczny, procent sk ladany.

(9) Co to znaczy, ˙ze cia

ι

g da

ι

˙zy do ∞?

(10) Twierdzenie o 3 cia

ι

gach, przyk lady.

(11) Granica funkcji w punkcie, cia

ι

g lo´

s´

c funkcji w punkcie, przyk lady funkcji cia

ι

g lych i niecia

ι

g lych.

Suma, r´

o˙znica, iloczyn, iloraz i z lo˙zenie funkcji cia

ι

g lych.

(12) Podstawowe w lasno´

sci funkcji cia

ι

g lych: w lasno´

s´

c Darboux, funkcji cia

ι

g lych. przyjmowanie warto´

sci

najmniejszej i najwie

ι

kszej na odcinku domknie

ι

tym i ograniczonym.

(13) Pochodna funkcji w punkcie, geometryczna interpretacja pochodnej, przyk lad funkcji cia

ι

g lej i

nier´

o˙zniczkowalnej w jakim´

s punkcie.

(14) Pochodna sumy, iloczynu, ilorazu; pochodna funkcji z lo˙zonej.
(15) Pochodna funkcji a monotoniczno´

s´

c; ekstrema a pochodna funkcji.

(16) Funkcje elementarne: wielomiany, funkcje wymierne, funkcje pote

ι

gowe, funkcje trygonometryczne,

funkcja wyk ladnicza i logarytm. Jako´

sciowy charakter wykres´

ow.

(17) Ca lka oznaczona – idea (pole pod wykresem), podstawowe w la

ι

no´

sci.

(18) Funkcja pierwotna, zwia

ι

zek z ca lka

ι

oznaczona

ι

.

Przyk ladowe zadania

(1) Ka ˙zde zadanie, kt´

ore pojawi lo sie

ι

na kolokwiach.

(2) Wiemy, ˙ze zdanie (p ⇒ q) ∧ (∼ (r ⇒ q)) jest prawdziwe. Co mo˙zna orzec o warto´

sci logicznej

zda´

n p, q, r.

(3) Niech p oznacza zdanie: Jutro be

ι

dzie niedziela , q zdanie: Wczoraj by l poniedzia lek a s zdanie:

Jutro be

ι

dzie ´

sroda. W zale˙zno´

sci od dnia tygodnia zbada´

c prawdziwo´

s´

c zdania: (s ∧ (p ∨ q)) ⇒∼

(q ∧ s).

(4) Oceni´

c warto´

s´

c logiczna

ι

zda´

n: a) “Je˙zeli dzi´

s jest czwartek, to (je˙zeli dzi´

s jest pia

ι

tek, to wczoraj

by l wtorek)”; b) “Czy mo˙zesz poda´

c mi parasol?”

(5) Niech A := {n ∈ N : n ≤ 33 i n dzieli sie

ι

przez 8}, B := {n ∈ N : n ≤ 27 i n dzieli sie

ι

przez 6},

C := {n ∈ N : n ≤ 1000 i n dzieli sie

ι

przez 17}. Wyliczy´

c zbiory A \ B , B \ A , A ∩ B , B ∪ A , (A ∩

C) ∪ C , (B ∪ C) ∩ B , (A ∩ C) \ (A ∪ C) , [(C \ B) ∪ (C ∩ A] \ C.

(6) Rozwia

ι

za´

c nier´

owno´

s´

c: |4x + 2| < |x − 1|.

(7) Rozwia

ι

za´

c nier´

owno´

s´

c: x

2

+ 5|x| + 6 > 0.

(8) Narysowa´

c A, B, A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A dla A := {x ∈ R : x

2

> 4} , B := {x ∈ R : |x| ≤ 3}

(9) Poda´

c liczbe

ι

niewymierna

ι

x, spe lniaja

ι

ca

ι

nier´

owno´

s´

c:

5
2

< x <

11

4

.

(10) Czy uk lad r´

owna´

n:

x + 2y + 3z + 4t = 0
4x + 3y + 2z + 4t = 0
3x + y + 2z + 4t = 0
−3x + 4y + 2z − 3t = 0
posiada jednoznaczne rozwia

ι

znie?

(11) Wzory Cramera.
(12) Dane sa

ι

produkty A,B,C o zawarto´

sci bia lka: A–10%, B–30%, C–60%; zawarto´

sci we

ι

glowodan´

ow:

A–20%, B–50%, C–30%; t luszcz´

ow: A–65%, B–15%, C–5%; kaloryczno´

sci: A–450kcal/100g, B–

300kcal/100g, C–250kcal/100g.

• Czy z A i B mo˙zna u lo˙zy´

c diete

ι

sk ladaja

ι

ca

ι

sie

ι

z 20% bia lka i 40% we

ι

glowodan´

ow ?

1

2

• Czy z A, B i C mo˙zna u lo˙zy´c diete

ι

sk ladaja

ι

ca

ι

sie

ι

z 30% bia lka, 20% t luszcz´

ow i 40%

we

ι

glowodan´

ow ?

• Czy z A, B i C mo˙zna u lo˙zy´c diete

ι

sk ladaja

ι

ca

ι

sie

ι

z 25% bia lka i 40% t luszcz´

ow ?

• Czy z A, B i C mo˙zna u lo˙zy´c diete

ι

sk ladaja

ι

ca

ι

sie

ι

z 40% bia lka i 40% we

ι

glowodan´

ow i 2000

kcal ?

• Napisa´c uk lad r´

owna´

n dla diety sk ladaja

ι

cej sie

ι

z A, B, C sk ladaja

ι

cej sie

ι

z α% bia lka, β%

we

ι

glowodan´

ow, γ% t luszcz´

ow i K kcal.

(13) Jaka jest suma wszystkich liczb podzielnych przez 7 i mniejszych od 324 ?
(14) Czy cia

ι

g a

n

:=

2n+3
4n−7

jest monotoniczny.

(15) Czy cia

ι

g a

n

:= (−1)

n

n +

1

n

jest zbie˙zny? Odpowied´

z uzasadni´

c.

(16) Jaka jest efektywna roczna stopa procentowa dla lokaty 5% z kapitalizacja

ι

miesie

ι

czna

ι

.

(17) Dla cia

ι

gu a

n

:=

n + 4

3n − 1

i  :=

1

81

znale´

z´

c N takie, ˙ze dla ka˙zdego n > N zachodzi nier´

owno´

s´

c






a

n

−

1

3






< .

(18) Obliczy´

c lim

n→∞

3n

4

+ 14n

3

+ sin (n

2

+ 1)

n

4

+

√

n

, lim

n→∞

p

n

2

+ 2n −

p

n

2

− 2n,

lim

n→∞

1

√

n

2

+ 2n + 1 −

p

n

2

− n +

√

2n

, lim

n→∞

cos(3n

4

+ 11)

√

n

2

+ n + 1

(19) Wiemy, ˙ze sin(α) = −

1

√

2

; obliczy´

c pozosta le funkcje trygonometryczne i okre´

sli´

c ka

ι

t (oczywi´

scie

sa

ι

2 odpowiedzi); a co je˙zeli wiemy, i˙z cos(α) > 0?

(20) Dla jakich warto´

sci a ∈ R funkcja f (x) :=

x

2

+4x−5

x−1

, x 6= 1 oraz f (1) = a jest cia

ι

g la?

(21) Dla jakiego b ∈ R funkcja f (x) := x

2

+ x + 6 , x ≥ 0, f (x) := −2x + b , x < 0 jest cia

ι

g la?

Naszkicowa´

c wykres funkcji f w tym przypadku.

(22) Czy istnieje taka warto´

s´

c a ∈ R, ˙ze funkcja f (x) :=

x−2

2x+1

, x 6= −

1
2

, f (−

1
2

) = a jest cia

ι

g la?

(23) Czy r´

ownanie x

3

+ x − 6 = 0 ma rozwia

ι

zanie w przedziale ]1, 2[ ?

(24) Czy r´

ownanie x = tan x ma rozwia

ι

zanie w przedziale ]π,

3π

2

[? Je˙zeli tak, ile jest rozwia

ι

za´

n?

(25) Obliczy´

c z definicji pochodne funkcji: x

2

, x

3

,

1
x

,

1

x+2

,

√

x.

(26) Obliczy´

c pochodne funkcji: f (x) := 2x

3

+ x

2

+

1

x+2

, g(x) := (x

2

+ 3)

3

, h(x) :=

3

q

x

2

+

4
x

, k(x) :=

sin(2x)

x+1

, f (x) := e

−x

2

, f (x) := log(1 + e

−x

2

). (Wsk: sin

0

(x) = cos x , (e

x

)

0

= e

x

, log

0

(x) =

1
x

)

(27) Korzystaja

ι

c z tego, ˙ze lim

x→0

sin x

x

= 1 obliczy´

c lim

x→0

sin

2

(2x)

x

2

(28) Znale´

z´

c r´

ownanie stycznej do paraboli y = 2x

2

+ 1 w punkcie (x

0

, y(x

0

)) dla x

0

= 3.

(29) Znale´

z´

c r´

ownanie stycznej do wykresu funkcji f (x) =

1

x+3

w punkcie (x

0

, f (x

0

)) dla x

0

= −1.

(30) Kt´

ory z tr´

ojka

ι

t´

ow r´

ownoramiennych o zadanym obwodzie L ma najwie

ι

ksze pole ?

(31) Kt´

ory z prostopad lo´

scian´

ow o podstawie kwadratowej i zadanej powierzchni ca lkowitej S ma

najwie

ι

ksza

ι

obje

ι

to´

s´

c.

(32) Kt´

ory z walc´

ow o ustalonej powierzchni ca lkowitej ma najwie

ι

ksza

ι

obje

ι

to´

s´

c.

(33) Zak ladaja

ι

c, ˙ze mamy okre´

slona

ι

ilo´

s´

c desek i dzia lke

ι

kwadratowa

ι

, na kt´

orej chcemy wybudowa´

c

prostopad lo´

scienna

ι

szope

ι

bez pod logi, znale´

z´

c rozmiar szopy o najwie

ι

kszej obje

ι

to´

sci. k

(34) Obliczy´

c pole figury ograniczonej wykresami funkcji f (x) := x

2

+ 1, g(x) := x

3

oraz prostymi

x = 0 , x = 1.

(35) Obliczy´

c pole pod wykresem funkcji f (x) := sin 2x , 0 ≤ x ≤ π/2. (Wsk: cos

0

(x) = − sin(x))

(36) Samoch´

od porusza l sie

ι

po lini prostej z pre

ι

dko´

scia

ι

v(t) := 2t + sin t , 0 ≤ t ≤ 3. Naszkicuj wykres

przejechanej drogi. Jaka

ι

ca lkowita

ι

droge

ι

przeby l w tym czasie?

(37) Obliczy´

c

Z

(x

3

+

√

x) dx ,

Z

(x +

1

x

) dx ,

Z

sin x dx ,

Z

sin 2x dx

(38) Czy funkcja f (x) := |x| jest r´

o˙zniczkowalna w x = 0? A w punkcie x = 1?