Drgania termiczne atomów
Fale zwi
ą
zan
ą
z drganiami atomów o cz
ę
sto
ś
ci kołowej rozchodz
ą
c
ą
si
ę
w krysztale mo
Ŝ
na opisa
ć
poni
Ŝ
szym wzorem, którego cz
ęść
rzeczywista lub
urojona mo
Ŝ
e opisywa
ć
wychylenie z poło
Ŝ
enia równowagi atomów
znajduj
ą
cych si
ę
w poło
Ŝ
eniu :
( )
(
)
(
)
t
R
q
i
e
A
R
R
n
i
i
n
ω
−
⋅
=
∆
r
r
r
r
r
exp
Składowe wektora falowego s
ą
wielko
ś
ciami o quasi-ci
ą
głym zbiorze warto
ś
ci,
jednak
Ŝ
e liczba dozwolonych wektorów falowych opisuj
ą
cych mo
Ŝ
liwe rodzaje
fal jest sko
ń
czona i zale
Ŝ
y od liczby atomów w krysztale. Dowolne drganie w
krysztale mo
Ŝ
na opisa
ć
jako zło
Ŝ
enie tzw. 3N drga
ń
normalnych (N-liczba
atomów w krysztale) scharakteryzowanych przez cz
ę
sto
ść
kołow
ą
ω
,
wektor falowy
oraz wektor
okre
ś
laj
ą
cy kierunek drga
ń
( kierunek ten
mo
Ŝ
e by
ć
równoległy do
–drgania podłu
Ŝ
ne lub prostopadły do
-drgania
poprzeczne) . Istnieje ograniczenie na maksymaln
ą
warto
ść
wektora falowego .
W krysztale 1 DIM zło
Ŝ
onym z atomów poło
Ŝ
onych wzgl
ę
dem siebie w stałej
odległo
ś
ci a jedyna niezerowa składowa wektora falowego przyjmuje warto
ś
ci z
zakresu
Temu samemu
mo
Ŝ
e odpowiada
ć
kilka ró
Ŝ
nych cz
ę
sto
ś
ci
drga
ń
pochodz
ą
cych z ró
Ŝ
nych gał
ę
zi drga
ń
. Dla opisu drga
ń
istotne jest
wyznaczenie zale
Ŝ
no
ś
ci cz
ę
sto
ś
ci kołowej drga
ń
od wektora falowego dla
ka
Ŝ
dej z gał
ę
zi
.
)
(q
r
ω
ω
=
ω
-
wektor falowy okre
ś
laj
ą
cy kierunek rozchodzenia si
ę
fali ,
wersor okre
ś
laj
ą
cy kierunek drga
ń
q
r
i
e
r
n
R
r
q
r
−
a
a
π
π
,
i
e
r
q
r
q
r
q
r
Analiza zale
Ŝ
no
ś
ci wskazuje na to z w dowolnym krysztale 3
wymiarowym wyst
ę
puj
ą
3 gał
ę
zie akustyczne dla których
W przypadku bardziej zło
Ŝ
onych kryształów zło
Ŝ
onych np. z ró
Ŝ
nych
atomów wyst
ę
puj
ą
tak
Ŝ
e gał
ę
zie optyczne dla których
W przypadku drga
ń
z gał
ę
zi optycznej dla s
ą
siednie atomy drgaj
ą
w
przciwfazie, za
ś
dla drga
ń
z gał
ę
zi akustycznej w fazie.
0
)
(
lim
0
=
→
q
q
r
ω
0
)
(
lim
0
≠
→
q
q
r
ω
ω
drgania akustyczne
drgania optyczne
Drgania akustyczne i optyczne
0
→
q
Zale
Ŝ
no
ść
cz
ę
sto
ś
ci drga
ń
od wektora falowego w
przypadku kryształu jednowymiarowego zawieraj
ą
cego dwa
ró
Ŝ
ne rodzaje atomów
q
∝
gał
ąź
akustyczna
gał
ąź
optyczna
)
(q
r
ω
Fonony-kwanty energii drga
ń
atomów w krysztale
Dla fononów moŜna wprowadzić funkcję gęstości stanów D(ω) określającą ilość
drgań normalnych o częstości kołowej z zakresu
w krysztale
( )
∑∑
+
=
i
q
i
q
n
q
U
r
r
r
h
2
1
,
ω
Energie zwi
ą
zan
ą
z drganiami atomów w krysztale mo
Ŝ
na zapisa
ć
jako
sum
ę
energii tzw. drga
ń
normalnych reprezentuj
ą
cych kolektywne drgania
wszystkich atomów w krysztale opisywanych przez fale. Do okre
ś
lenia
energii drgania normalnego wykorzystujemy wzór na energie drga
ń
kwantowego oscylatora harmonicznego
gdzie okre
ś
la stopie
ń
wzbudzenia danego drgania, równy ilo
ś
ci
quasi-cz
ą
stek zwanych fononami, b
ę
d
ą
cych bezspinowymi bozonami o
energii i quasi-p
ę
dzie
Sumowanie po i dotyczy sumowania po ró
Ŝ
nych modach drga
ń
opisanych przez ten sam wektor falowy
ω
h
=
fon
E
q
p
fon
r
h
r
=
(
)
ω
ω
ω
d
+
,
q
r
Funkcja g
ę
sto
ś
ci stanów dla fononów
i
q
n
,
r
W najprostszym przybli
Ŝ
eniu zakładaj
ą
c i
Ŝ
zachodzi zale
Ŝ
no
ść
(V- pr
ę
dko
ść
rozchodzenia si
ę
fal opisuj
ą
cych drgania atomów) obowi
ą
zuj
ą
ca
w rzeczywisto
ś
ci dla fononów akustycznych dla małych q funkcja g
ę
sto
ś
ci
stanów wyra
Ŝ
a si
ę
dla wzorem V
ob
-obj
ę
to
ść
kryształu
N-liczba atomów
w krysztale
przy czym wyznaczamy z warunku
co prowadzi do wniosku i
Ŝ
q
V
r
=
ω
max
ω
ω
<
max
ω
N
d
D
3
)
(
max
0
=
∫
ω
ω
ω
ob
V
V
D
3
2
2
2
3
)
(
π
ω
ω
=
Poniewa
Ŝ
fonony mo
Ŝ
na traktowa
ć
jako bozony o potencjale chemicznym
µ
=0 to
ś
redni
ą
energi
ę
zwi
ą
zan
ą
z drganiami atomów mo
Ŝ
emy wyznaczy
ć
z
równania (pomijamy energie drga
ń
zerowych)
gdzie
-
wzór wynikaj
ą
cy z rozkładu
Bosego-Einsteina okre
ś
laj
ą
cy
ś
redni
ą
liczb
ę
fononów w temperaturze T w
konkretnym stanie o energii , k
B
-stała Boltzmanna
( ) ( )
∫
=
max
0
ω
ω
ω
ω
ω
d
N
D
U
h
1
exp
1
)
(
−
=
T
k
N
B
ω
ω
h
ω
h
3
3
2
max
/
6
ob
V
NV
π
ω
=
Wyznaczenie
ś
redniej energii termicznej drga
ń
i ciepła molowego
W granicy wysokich temperatur moŜna przyjąć iŜ
i wówczas moŜna pokazać iŜ
A zatem zgodnie z zasadą ekwipartycji energii ciepło molowe przy stałej
objętości
jest niezaleŜne od temperatury i równe
N
A
-liczba Avogadro
W niskich temperaturach moŜna przy liczeniu U zastąpić
przez i wówczas moŜna pokazać iŜ
gdzie temperatura Debye’a
A
B
v
N
k
C
3
=
3
4
5
12
=
θ
π
T
N
k
C
A
B
v
θ
<<
T
B
k
max
ω
θ
h
=
dT
dU
C
v
=
∫
−
=
max
0
0
3
2
2
1
exp
1
2
3
ω
ω
ω
π
ω
ω
d
T
k
h
V
V
U
B
b
h
ω
ω
h
h
T
k
T
k
B
B
≈
−
1
exp
1
max
ω
∞
T
Nk
V
NV
V
TV
k
V
TV
k
d
V
TV
k
U
B
ob
ob
B
ob
B
ob
B
3
6
2
2
2
3
3
2
3
2
3
max
3
2
0
2
3
2
max
=
⋅
=
=
=
∫
π
π
ω
π
ω
ω
π
ω
Po zró
Ŝ
niczkowaniu obustronnym powy
Ŝ
szej zale
Ŝ
no
ś
ci otrzymujemy
relacj
ę
:
Liczba drga
ń
normalnych o energiach o cz
ę
sto
ś
ciach z zakresu
jest proporcjonalna do obj
ę
to
ś
ci cienkiej warstwy kulistej w przestrzeni
wektorów falowych o promieniu i grubo
ś
ci
Uzupełnienie-Wyznaczenie funkcji g
ę
sto
ś
ci stanów dla
fononów akustycznych przy zało
Ŝ
eniu liniowej relacji dyspersji
Vq
=
ω
Vdq
d
=
ω
(
)
ω
ω
ω
d
+
,
V
q
ω
=
ω
d
V
dq
1
=
Objętość tej warstwy jest równa
ω
ω
π
π
d
V
dq
q
3
2
2
4
4
⋅
=
W celu obliczenia liczby drga
ń
normalnych trzeba podzieli
ć
t
ą
obj
ę
to
ść
przez obj
ę
to
ść
przypadaj
ą
c
ą
na jeden wektor falowy w rozwa
Ŝ
anej
przestrzeni równ
ą
i pomno
Ŝ
y
ć
przez 3 ze wzgl
ę
du na to i
Ŝ
zakładamy i
Ŝ
ka
Ŝ
demu
wektorowi mog
ą
odpowiada
ć
3 mody drga
ń
Ostatecznie otrzymujemy
( )
ob
q
V
V
3
2
~
π
=
r
ob
ob
V
V
V
V
D
3
2
2
3
3
2
2
3
3
8
4
)
(
π
ω
π
ω
π
ω
=
⋅
⋅
⋅
=