Rozdział 4 – A n al iza

w idm ow a

1 0 2

Przetwarzanie i

A nal iza S y g nał ó w

4. 1 3 . " P r ze c ie k " w idm ow y

4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY

Rozwa

żmy szereg czasowy

{x

r

} dla r = 0, 1, ..., N–1

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu
czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania

∆

t takim,

że

T =

∆

t

⋅

N

gdzie:

T – okres

N – liczba próbek

oraz spełniaj

ącym kryterium Nyquista

N

s

f

2

t

1

f

≥

∆

=

Rozdział 4 – A n al iza

w idm ow a

1 0 3

Przetwarzanie i

A nal iza S y g nał ó w

4. 1 3 . " P r ze c ie k " w idm ow y

Wyznaczmy transformat

ę Fouriera

}

{

)

(

}

{

k

r

X

FFT

DFT

x

X

k

= X(

ω

k

) = X(k

⋅∆ω

);

k = 0, 1, ..., N/2-1

∆ω

= 2

π

/T

dziedzina okre

śloności {X

k

}

t

T

4

T

2

0

∆

=

π

π

π

ω

...;

;

;

;

(4.80)

je

śli x(t) jest sygnałem okresowym to (zgodnie z twierdzeniem

Fouriera) składa si

ę z harmonicznych o częstotliwościach

b

ędących całkowitymi wielokrotnościami

∆ω

⇓

(dyskretne) dziedziny transformaty oraz sygnału s

ą identyczne

wyznaczone spektrum posiada poprawny rozkład, tzn. że

mo

żliwe jest wierne odtworzenie sygnału na jego

podstawie

Rozdział 4 – A n al iza

w idm ow a

1 0 4

Przetwarzanie i

A nal iza S y g nał ó w

4. 1 3 . " P r ze c ie k " w idm ow y

rzeczywiste sygnały z reguły zawierają harmoniczne o

dowolnych

cz

ęstotliwościach,

tj.

nie

b

ędących

wielokrotno

ściami

∆ω

⇒ harmoniczne te s

ą nieokresowe

wewn

ątrz "okna" obserwacji T

⇓

x(t) jest nieokresowym przebiegiem czasowym (T

→

∞

)

⇓

analiza widmowa powinna być prowadzona przy użyciu

całkowej transformacji Fouriera a jej wynik byłby

poprawny pod warunkiem

niesko

ńczonych granic

całkowania

DFT (zdefiniowana dla granic skończonych) zakłada

jednak

że okresowość i rozciąga analizowany sygnał do

niesko

ńczoności poprzez jego powielenie

pomiędzy powielanymi fragmentami sygnału pojawiają się

nieci

ągłości prowadząc do zniekształcenia widma zwanego

"PRZECIEKIEM"

powielone fragmenty sygnału
obszary nieci

ągłości

Rozdział 4 – A n al iza

w idm ow a

1 0 5

Przetwarzanie i

A nal iza S y g nał ó w

4. 1 3 . " P r ze c ie k " w idm ow y

Przykład
przypadek A: Rozwa

żmy monoharmoniczny sygnał o postaci

x(t) = A

⋅

sin(2

π

t/T

s

)

w celu lepszej ilustracji zjawiska w oknie obserwacji T

uwzgl

ędniono więcej niż jeden okres

T = k

⋅

T

s

= 3 T

s

(k – liczba całkowita)

dziedzina DFT:

K

),

(

,

,

,

s

T

6

T

4

T

2

0

ω

π

π

π

ω

=

=

cz

ęstotliwość oscylacji sygnału

ω

s

odpowiada dokładnie

cz

ęstotliwości jednego ze współczynników Fouriera

okre

ślonych przy użyciu DFT

⇓

przeciek nie wyst

ępuje

x(t)

t

T= t N

∆

3T

s

.

ω

ω

s

−ω

s

X

ω =2π/Τ =6π/Τ

s

s

A

Rozdział 4 – A n al iza

w idm ow a

1 0 6

Przetwarzanie i

A nal iza S y g nał ó w

4. 1 3 . " P r ze c ie k " w idm ow y

przypadek B: Rozwa

żmy monoharmoniczny sygnał o postaci

x(t) = A

⋅

sin(2

π

t/T

s

)

zakładaj

ąc, że

T

≠

k

⋅

T

s

(k – liczba całkowita)

tzn.,

że w oknie obserwacji jest niecałkowita liczba okresów

sygnału

2T

s

< T < 3T

s

T/2 > T

s

> T/3

⇓

T

6

T

4

s

π

ω

π

<

<

2

∆ω

<

ω

s

< 3

∆ω

częstotliwość oscylacji sygnału nie odpowiada żadnej z

dyskretnych cz

ęstotliwości dziedziny DFT

twierdzenie Parsevala dla DFT

dziedzina czasu:

[ ]

{ }

[ ]

2

r

2

t

x

E

t

x

E

N

=

=

)

(

dziedzina spektralna:

∑

−

=

=

=

1

N

i

0

i

2

i

X

N

)

(

ω

ω

x(t)

t

T= t N

∆

T

s

.

Rozdział 4 – A n al iza

w idm ow a

1 0 7

Przetwarzanie i

A nal iza S y g nał ó w

4. 1 3 . " P r ze c ie k " w idm ow y

równo

ść mocy określonych w obydwu dziedzinach

N

t

= N

ω

moc jest przesyłana z cz

ęstotliwości faktycznej

ω

s

do

innych dozwolonych cz

ęstotliwości (do dziedziny DFT)

⇓

zniekształcenie widma występujące gdy DFT jest

wyznaczane z:

• nieokresowego sygnału

• fragmentu sygnału o niecałkowitej liczbie okresów

zwane jest przeciekiem poniewa

ż moc przesyłana jest z jej

faktycznej "lokalizacji" do "s

ąsiedztwa" → moc

"przecieka"

bezpośrednią przyczyną przecieku jest skończony czas

obserwacji sygnału (tzw. okno)

relacja pomiędzy

∆ω

i

ω

s

wpływa jedynie na rozkład mocy

w dziedzinie spektralnej (kształt widma), nie za

ś na jej

warto

ść (sumę prążków widmowych)

ω

ω

s

−ω

s

X

A

Rozdział 4 – A n al iza

w idm ow a

1 0 8

Przetwarzanie i

A nal iza S y g nał ó w

4. 1 3 . " P r ze c ie k " w idm ow y

przykład obliczeniowy

k = 6

∆ω

0.4 ∆ω

0.6 ∆ω

ω =( +0.5)∗∆ω

s

k

ω =( +1)∗∆ω

s

k

ω =( +0.4)∗∆ω

s

k

ω =( +0.6)∗∆ω

s

k

ω = ∗∆ω

s

k

.

.

0

k k+1

Rozdział 4 – A n al iza

w idm ow a

1 0 9

Przetwarzanie i

A nal iza S y g nał ó w

4. 1 4. O k n o p r os t ok ą t n e

4.14. OKNO PROSTOK

ĄTNE

W celu przeanalizowania zjawiska przecieku pomocnym b

ędzie

zastosowanie idei okna "prostok

ątnego". Zgodnie z tą ideą

transformowany w dziedzin

ę częstotliwości sygnał x(t) można

wyrazi

ć jako iloczyn jego nieskończonej formy x

∞

(t) oraz tzw.

okna czasowego w(t) (poprzez które sygnał jest "widziany")

x(t) = w(t)

⋅

x

∞

(t)

okno definiowane jest nast

ępująco







>

≤

=

2

T

t

for

0

2

T

t

for

1

t

w

/

/

)

(

(4.81)

x(t)

x (t)

w(t)

t

t

t

8

-T/2

-T/2

T/2

T/2

.

“window”

okno

Rozdział 4 – A n al iza

w idm ow a

1 1 0

Przetwarzanie i

A nal iza S y g nał ó w

4. 1 4. O k n o p r os t ok ą t n e

Dla okre

ślenia "przeciekniętego" widma należy wyznaczyć

transformat

ę Fouriera iloczynu 2 funkcji

[ ] [

]

)

(

)

(

)

(

)

(

t

w

t

x

F

t

x

F

X

⋅

=

=

∞

ω

(4.82)

Aby kontynuowa

ć rozważania musimy wprowadzić pojęcie

splotu funkcji. Matematycznie splot zdefiniowany jest jako

∫

∞

∞

−

−

⋅

=

τ

τ

τ

d

t

h

z

t

g

)

(

)

(

)

(

(4.83)

co symbolicznie zapisuje si

ę

)

(

)

(

)

(

t

h

t

z

t

g

∗

=

(4.84)

gdzie "

∗" jest operatorem splotu.

Mo

żliwe jest również wyznaczenie splotu 2 funkcji

zespolonych, np. 2 widm

∫

∞

∞

−

−

⋅

≡

∗

=

φ

φ

ω

φ

ω

ω

ω

d

H

Z

H

Z

G

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(4.85)

Twierdzenie o splocie funkcji

Transformacja Fouriera (prosta F czy te

ż odwrotna F

-1

)

przekształca splot funkcji w iloczyn i vice versa.

je

śli

[ ]

[ ]

[ ]









=

=

=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

h

F

H

t

z

F

Z

t

g

F

G

ω

ω

ω

(4.86)

oraz

g(t) = z(t)

⋅

h(t)

wówczas

G(

ω

) = Z(

ω

)

∗

H(

ω

)

Rozdział 4 – A n al iza

w idm ow a

1 1 1

Przetwarzanie i

A nal iza S y g nał ó w

4. 1 4. O k n o p r os t ok ą t n e

2-ga wersja
je

śli

(4.86)

oraz

g(t) = z(t)

∗

h(t)

wówczas

G(

ω

) = Z(

ω

)

⋅

H(

ω

)

Rozwa

żmy splot funkcji f(t) z funkcją delta

)

(

)

(

0

t

t

h

τ

δ

−

=

(4.87)

maj

ącej duże praktyczne znaczenie.

Jak mo

żna łatwo wydedukować z powyższego rysunku efekt

zastosowania operacji splotu polega na opó

źnieniu funkcji f(t) o

warto

ść

τ

0

, przy pozostawieniu niezmienionymi jej warto

ści.

f(t)

δδδδ

(t-

ττττ

0

)

splot

Rozdział 4 – A n al iza

w idm ow a

1 1 2

Przetwarzanie i

A nal iza S y g nał ó w

4. 1 4. O k n o p r os t ok ą t n e

Powró

ćmy do naszego zadania określonego zależnością (4.82).

Je

śli znana byłaby transformata okna moglibyśmy analitycznie

okre

ślić transformatę "obciętego" sinusa.

Transformata Fouriera okna "prostok

ątnego"







>

≤

=

2

T

t

for

0

2

T

t

for

1

t

w

/

/

)

(

(4.81)

Stosujemy przekształcenie Fouriera

[ ]

[

]

∫

∞

∞

−

−

=

=

dt

t

i

t

2

1

t

w

F

W

)

sin(

)

cos(

)

(

)

(

ω

ω

π

ω

(4.88)

[

]

=



















−

−













+











−

−













=

=

+

=

→

∞

−

→

∞

−

2

T

i

2

T

i

2

T

2

T

2

1

t

i

t

2

1

W

2

T

2

T

ω

ω

ω

ω

πω

ω

ω

πω

ω

cos

cos

sin

sin

)

cos(

)

sin(

)

(

/

/

2

T

2

T

2

T

2

T

2

2

1

ω

ω

π

ω

πω













⋅

=













=

sin

sin

uzyskuj

ąc ostatecznie













=

2

T

Sa

2

T

W

ω

π

ω

)

(

(4.89)

gdzie

( )

x

x

x

Sa

sin

)

(

=

(4.90)

Rozdział 4 – A n al iza

w idm ow a

1 1 3

Przetwarzanie i

A nal iza S y g nał ó w

4. 1 4. O k n o p r os t ok ą t n e

Poszczególne cz

ęści rozkładu transformaty okna zwane są

"listkami" i jak pó

źniej zostanie to pokazane decydują o

kształcie wynikowego spektrum, o zakresie i intensywno

ści

przecieku.

ω

W( )

ω

2

π/Τ

4

π/Τ

0

T/2

π

ω

W( )

ω

0

T/2

π

major lobe

side lobes

2

π/Τ

listek

główny

listki

boczne

Rozdział 4 – A n al iza

w idm ow a

1 1 4

Przetwarzanie i

A nal iza S y g nał ó w

4. 1 4. O k n o p r os t ok ą t n e

Znaj

ąc rozkład spektralny okna w(t) (i oczywiście sygnału x

∞

(t))

mo

żemy zastosować twierdzenie o splocie funkcji do

wyznaczenia spektrum "obci

ętego" sinusa

(

)

(

)

s

s

2

T

2

T

2

T

X

ω

ω

ω

ω

π

ω

±









±

⋅

=

sin

)

(

(4.91)

Wynikowy

rozkład

jest

obwiedni

ą współczynników

spektralnych

X(

ω

k

)

okre

ślonych

w

dyskretnych

cz

ęstotliwościach

ω

ω

s

−ω

s

X( )

ω

X( )

ω

major lobe

major lobe

( )

( )

listek

główny

listek

główny

Rozdział 4 – A n al iza

w idm ow a

1 1 5

Przetwarzanie i

A nal iza S y g nał ó w

4. 1 4. O k n o p r os t ok ą t n e

przypadek:

ω

s

= k

⋅

∆ω

"zera" obwiedni okna

dokładnie odpowiadaj

ą

poło

żeniom

ω

k

współczynników DFT (z

wyj

ątkiem

ω

s

)

⇓

nie ma przecieku

przypadek:

ω

s

≠

k

⋅

∆ω

"zera" obwiedni okna

"mijaj

ą się" z

cz

ęstotliwościami

ω

k

współczynników

spektralnych

⇓

przeciek

Posiadaj

ąc wiedzę o:

• sygnale (okresie oscylacji)

• procesie próbkowania (cz

ęstotliwość próbkowania, liczba

próbek)

mo

żna określić dokładne wartości "przeciekniętej" funkcji

spektralnej

ω

X

k

0 T T T

T

2

π 4π 6π

10

π

ω

s

ω

X

k

0

ω

s