Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
1 0 2
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
4. 1 3 . " P r ze c ie k " w idm ow y
4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY
Rozwa
żmy szereg czasowy
{x
r
} dla r = 0, 1, ..., N–1
uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu
czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania
∆
t takim,
że
T =
∆
t
⋅
N
gdzie:
T – okres
N – liczba próbek
oraz spełniaj
ącym kryterium Nyquista
N
s
f
2
t
1
f
≥
∆
=
Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
1 0 3
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
4. 1 3 . " P r ze c ie k " w idm ow y
Wyznaczmy transformat
ę Fouriera
}
{
)
(
}
{
k
r
X
FFT
DFT
x
X
k
= X(
ω
k
) = X(k
⋅∆ω
);
k = 0, 1, ..., N/2-1
∆ω
= 2
π
/T
dziedzina okre
śloności {X
k
}
t
T
4
T
2
0
∆
=
π
π
π
ω
...;
;
;
;
(4.80)
je
śli x(t) jest sygnałem okresowym to (zgodnie z twierdzeniem
Fouriera) składa si
ę z harmonicznych o częstotliwościach
b
ędących całkowitymi wielokrotnościami
∆ω
⇓
(dyskretne) dziedziny transformaty oraz sygnału s
ą identyczne
wyznaczone spektrum posiada poprawny rozkład, tzn. że
mo
żliwe jest wierne odtworzenie sygnału na jego
podstawie
Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
1 0 4
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
4. 1 3 . " P r ze c ie k " w idm ow y
rzeczywiste sygnały z reguły zawierają harmoniczne o
dowolnych
cz
ęstotliwościach,
tj.
nie
b
ędących
wielokrotno
ściami
∆ω
⇒ harmoniczne te s
ą nieokresowe
wewn
ątrz "okna" obserwacji T
⇓
x(t) jest nieokresowym przebiegiem czasowym (T
→
∞
)
⇓
analiza widmowa powinna być prowadzona przy użyciu
całkowej transformacji Fouriera a jej wynik byłby
poprawny pod warunkiem
niesko
ńczonych granic
całkowania
DFT (zdefiniowana dla granic skończonych) zakłada
jednak
że okresowość i rozciąga analizowany sygnał do
niesko
ńczoności poprzez jego powielenie
pomiędzy powielanymi fragmentami sygnału pojawiają się
nieci
ągłości prowadząc do zniekształcenia widma zwanego
"PRZECIEKIEM"
powielone fragmenty sygnału
obszary nieci
ągłości
Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
1 0 5
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
4. 1 3 . " P r ze c ie k " w idm ow y
Przykład
przypadek A: Rozwa
żmy monoharmoniczny sygnał o postaci
x(t) = A
⋅
sin(2
π
t/T
s
)
w celu lepszej ilustracji zjawiska w oknie obserwacji T
uwzgl
ędniono więcej niż jeden okres
T = k
⋅
T
s
= 3 T
s
(k – liczba całkowita)
dziedzina DFT:
K
),
(
,
,
,
s
T
6
T
4
T
2
0
ω
π
π
π
ω
=
=
cz
ęstotliwość oscylacji sygnału
ω
s
odpowiada dokładnie
cz
ęstotliwości jednego ze współczynników Fouriera
okre
ślonych przy użyciu DFT
⇓
przeciek nie wyst
ępuje
x(t)
t
T= t N
∆
3T
s
.
ω
ω
s
−ω
s
X
ω =2π/Τ =6π/Τ
s
s
A
Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
1 0 6
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
4. 1 3 . " P r ze c ie k " w idm ow y
przypadek B: Rozwa
żmy monoharmoniczny sygnał o postaci
x(t) = A
⋅
sin(2
π
t/T
s
)
zakładaj
ąc, że
T
≠
k
⋅
T
s
(k – liczba całkowita)
tzn.,
że w oknie obserwacji jest niecałkowita liczba okresów
sygnału
2T
s
< T < 3T
s
T/2 > T
s
> T/3
⇓
T
6
T
4
s
π
ω
π
<
<
2
∆ω
<
ω
s
< 3
∆ω
częstotliwość oscylacji sygnału nie odpowiada żadnej z
dyskretnych cz
ęstotliwości dziedziny DFT
twierdzenie Parsevala dla DFT
dziedzina czasu:
[ ]
{ }
[ ]
2
r
2
t
x
E
t
x
E
N
=
=
)
(
dziedzina spektralna:
∑
−
=
=
=
1
N
i
0
i
2
i
X
N
)
(
ω
ω
x(t)
t
T= t N
∆
T
s
.
Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
1 0 7
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
4. 1 3 . " P r ze c ie k " w idm ow y
równo
ść mocy określonych w obydwu dziedzinach
N
t
= N
ω
moc jest przesyłana z cz
ęstotliwości faktycznej
ω
s
do
innych dozwolonych cz
ęstotliwości (do dziedziny DFT)
⇓
zniekształcenie widma występujące gdy DFT jest
wyznaczane z:
• nieokresowego sygnału
• fragmentu sygnału o niecałkowitej liczbie okresów
zwane jest przeciekiem poniewa
ż moc przesyłana jest z jej
faktycznej "lokalizacji" do "s
ąsiedztwa" → moc
"przecieka"
bezpośrednią przyczyną przecieku jest skończony czas
obserwacji sygnału (tzw. okno)
relacja pomiędzy
∆ω
i
ω
s
wpływa jedynie na rozkład mocy
w dziedzinie spektralnej (kształt widma), nie za
ś na jej
warto
ść (sumę prążków widmowych)
ω
ω
s
−ω
s
X
A
Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
1 0 8
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
4. 1 3 . " P r ze c ie k " w idm ow y
przykład obliczeniowy
k = 6
∆ω
0.4 ∆ω
0.6 ∆ω
ω =( +0.5)∗∆ω
s
k
ω =( +1)∗∆ω
s
k
ω =( +0.4)∗∆ω
s
k
ω =( +0.6)∗∆ω
s
k
ω = ∗∆ω
s
k
.
.
0
k k+1
Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
1 0 9
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
4. 1 4. O k n o p r os t ok ą t n e
4.14. OKNO PROSTOK
ĄTNE
W celu przeanalizowania zjawiska przecieku pomocnym b
ędzie
zastosowanie idei okna "prostok
ątnego". Zgodnie z tą ideą
transformowany w dziedzin
ę częstotliwości sygnał x(t) można
wyrazi
ć jako iloczyn jego nieskończonej formy x
∞
(t) oraz tzw.
okna czasowego w(t) (poprzez które sygnał jest "widziany")
x(t) = w(t)
⋅
x
∞
(t)
okno definiowane jest nast
ępująco
>
≤
=
2
T
t
for
0
2
T
t
for
1
t
w
/
/
)
(
(4.81)
x(t)
x (t)
w(t)
t
t
t
8
-T/2
-T/2
T/2
T/2
.
“window”
okno
Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
1 1 0
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
4. 1 4. O k n o p r os t ok ą t n e
Dla okre
ślenia "przeciekniętego" widma należy wyznaczyć
transformat
ę Fouriera iloczynu 2 funkcji
[ ] [
]
)
(
)
(
)
(
)
(
t
w
t
x
F
t
x
F
X
⋅
=
=
∞
ω
(4.82)
Aby kontynuowa
ć rozważania musimy wprowadzić pojęcie
splotu funkcji. Matematycznie splot zdefiniowany jest jako
∫
∞
∞
−
−
⋅
=
τ
τ
τ
d
t
h
z
t
g
)
(
)
(
)
(
(4.83)
co symbolicznie zapisuje si
ę
)
(
)
(
)
(
t
h
t
z
t
g
∗
=
(4.84)
gdzie "
∗" jest operatorem splotu.
Mo
żliwe jest również wyznaczenie splotu 2 funkcji
zespolonych, np. 2 widm
∫
∞
∞
−
−
⋅
≡
∗
=
φ
φ
ω
φ
ω
ω
ω
d
H
Z
H
Z
G
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(4.85)
Twierdzenie o splocie funkcji
Transformacja Fouriera (prosta F czy te
ż odwrotna F
-1
)
przekształca splot funkcji w iloczyn i vice versa.
je
śli
[ ]
[ ]
[ ]
=
=
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
h
F
H
t
z
F
Z
t
g
F
G
ω
ω
ω
(4.86)
oraz
g(t) = z(t)
⋅
h(t)
wówczas
G(
ω
) = Z(
ω
)
∗
H(
ω
)
Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
1 1 1
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
4. 1 4. O k n o p r os t ok ą t n e
2-ga wersja
je
śli
(4.86)
oraz
g(t) = z(t)
∗
h(t)
wówczas
G(
ω
) = Z(
ω
)
⋅
H(
ω
)
Rozwa
żmy splot funkcji f(t) z funkcją delta
)
(
)
(
0
t
t
h
τ
δ
−
=
(4.87)
maj
ącej duże praktyczne znaczenie.
Jak mo
żna łatwo wydedukować z powyższego rysunku efekt
zastosowania operacji splotu polega na opó
źnieniu funkcji f(t) o
warto
ść
τ
0
, przy pozostawieniu niezmienionymi jej warto
ści.
f(t)
δδδδ
(t-
ττττ
0
)
splot
Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
1 1 2
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
4. 1 4. O k n o p r os t ok ą t n e
Powró
ćmy do naszego zadania określonego zależnością (4.82).
Je
śli znana byłaby transformata okna moglibyśmy analitycznie
okre
ślić transformatę "obciętego" sinusa.
Transformata Fouriera okna "prostok
ątnego"
>
≤
=
2
T
t
for
0
2
T
t
for
1
t
w
/
/
)
(
(4.81)
Stosujemy przekształcenie Fouriera
[ ]
[
]
∫
∞
∞
−
−
=
=
dt
t
i
t
2
1
t
w
F
W
)
sin(
)
cos(
)
(
)
(
ω
ω
π
ω
(4.88)
[
]
=
−
−
+
−
−
=
=
+
=
→
∞
−
→
∞
−
2
T
i
2
T
i
2
T
2
T
2
1
t
i
t
2
1
W
2
T
2
T
ω
ω
ω
ω
πω
ω
ω
πω
ω
cos
cos
sin
sin
)
cos(
)
sin(
)
(
/
/
2
T
2
T
2
T
2
T
2
2
1
ω
ω
π
ω
πω
⋅
=
=
sin
sin
uzyskuj
ąc ostatecznie
=
2
T
Sa
2
T
W
ω
π
ω
)
(
(4.89)
gdzie
( )
x
x
x
Sa
sin
)
(
=
(4.90)
Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
1 1 3
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
4. 1 4. O k n o p r os t ok ą t n e
Poszczególne cz
ęści rozkładu transformaty okna zwane są
"listkami" i jak pó
źniej zostanie to pokazane decydują o
kształcie wynikowego spektrum, o zakresie i intensywno
ści
przecieku.
ω
W( )
ω
2
π/Τ
4
π/Τ
0
T/2
π
ω
W( )
ω
0
T/2
π
major lobe
side lobes
2
π/Τ
listek
główny
listki
boczne
Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
1 1 4
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
4. 1 4. O k n o p r os t ok ą t n e
Znaj
ąc rozkład spektralny okna w(t) (i oczywiście sygnału x
∞
(t))
mo
żemy zastosować twierdzenie o splocie funkcji do
wyznaczenia spektrum "obci
ętego" sinusa
(
)
(
)
s
s
2
T
2
T
2
T
X
ω
ω
ω
ω
π
ω
±
±
⋅
=
sin
)
(
(4.91)
Wynikowy
rozkład
jest
obwiedni
ą współczynników
spektralnych
X(
ω
k
)
okre
ślonych
w
dyskretnych
cz
ęstotliwościach
ω
ω
s
−ω
s
X( )
ω
X( )
ω
major lobe
major lobe
( )
( )
listek
główny
listek
główny
Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
1 1 5
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
4. 1 4. O k n o p r os t ok ą t n e
przypadek:
ω
s
= k
⋅
∆ω
"zera" obwiedni okna
dokładnie odpowiadaj
ą
poło
żeniom
ω
k
współczynników DFT (z
wyj
ątkiem
ω
s
)
⇓
nie ma przecieku
przypadek:
ω
s
≠
k
⋅
∆ω
"zera" obwiedni okna
"mijaj
ą się" z
cz
ęstotliwościami
ω
k
współczynników
spektralnych
⇓
przeciek
Posiadaj
ąc wiedzę o:
• sygnale (okresie oscylacji)
• procesie próbkowania (cz
ęstotliwość próbkowania, liczba
próbek)
mo
żna określić dokładne wartości "przeciekniętej" funkcji
spektralnej
ω
X
k
0 T T T
T
2
π 4π 6π
10
π
ω
s
ω
X
k
0
ω
s