Analiza układu masa-sprężyna tłumik

Starałem się opracować problem w miarę przejrzyście, jeżeli będą mieli Państwo jakieś wątpliwości,

co do zawartych tutaj treści, zapraszam na konsultacje (pokój 131). Pozdrawiam, Łukasz Hirt.

Rozpatrujemy układ masa – sprężyna – tłumik przedstawiony poniżej.

Naszym zadaniem będzie odnalezienie funkcji przemieszczenia

masy  w funkcji czasu, tj.
.

Zakładamy przy tym, że ściany ograniczające układ są idealnie sztywne a rozpatrywana masa jest

masą skupioną w punkcie. Dodatkowo zakłada się, że zarówno tłumik , sprężyna i połączenia

pomiędzy tymi elementami są pozbawione masy. Układ składa się z trzech elementów czynnych:

tłumik, który charakteryzuje jego parametr tłumienia

, sprężyna o parametrze sprężystości  oraz

masa

. Zauważmy, że przemieszczenie masy
nie jest równoznaczne z położeniem tej masy w

układzie zdefiniowanym poprzez oś

. Dla przykładu jeżeli założymy, że początek osi  związany jest z

lewą ścianką.

W każdym przypadku rozwiązywania problemów natury fizycznej na samym początku odwołujemy

się do podstawowych praw czy ogólnie przyjętych zasad fizyki, takich jak prawo zachowania energii,

pędu czy masy jak również zasady dynamiki Newtona.

W naszym przypadku skorzystamy z drugiej oraz trzeciej zasady dynamiki Newtona. Z drugiej zasady

wynika, że przyspieszenie ciała jest proporcjonalne do sumy sił działających na to ciało i odwrotnie

proporcjonalne do masy tego ciała. Nie zastanawiając się na razie jaka jest natura sił działających na

naszą masę, zgodnie z drugą zas. dyn. Newtona możemy zapisać następującą zależność:











1

  





Gdzie





odnosi się do sił zewnętrznych działających na masę

.

Sprawdźmy teraz jakie siły działają na naszą masę. Załóżmy dla przykładu, że masa porusza się

zgodnie z kierunkiem osi

. W takim przypadku sprężyna będzie ściskana i zgodnie z trzecią zasadą

dynamiki Newtona zadziała na masę siłą reakcji





równą:





 











Dodatkowo na masę działa tłumik, który przeciwstawia się przemieszczeniu masy. Zazwyczaj siła

oddziaływania tłumika jest proporcjonalna do prędkości, tj. pochodnej przemieszczenia po czasie. Siłę

pochodzącą od tłumika oznaczymy jako





i wyniesie ona:





 



  


Nie należy zapominać o zewnętrznym wymuszeniu

 . Ostatecznie na rozpatrywaną masę

będą działały trzy różne siły, przyspieszenie masy

 wyniesie zatem:











1

      

Przekształcając dostaniemy:

 
  


Gdzie:

 / ,  / ,  /.

Powyższe równanie jest równaniem różniczkowym zwyczajnym, tj. przemieszczenie

jest funkcją

tylko jednej zmiennej, w naszym przypadku czasu.

Dodatkowo równanie może zostać sklasyfikowany ze względu na charakter parametrów

, .

Wyjaśnia to schemat przedstawiony poniżej, .

Praktycznie wszystkie rzeczywiste układy opisane są za pomocą równać (czy układów równań)

nieliniowych, czyli takich, w których parametry są funkcjami rozwiązania. Ich analiza jest jednak

skomplikowana i zazwyczaj w takim przypadku odwołujemy się do narzędzi numerycznych. Z

najprostszym przypadkiem spotkamy się wówczas, gdy parametry układu będą stałymi, tj. nie będą

ani funkcją czasu ani rozwiązania. W literaturze, głównie anglojęzycznej takie układy oznacza się jako

LTI, w rozwinięciu: Linear - Time – Invariant (Liniowe, niezależne od czasu).

Załóżmy, że nasz układ jest typu LTI. Okazuje się, że równanie opisujące jego dynamikę można w

prosty sposób rozwiązać przy pomocy transformaty Laplace’a. Przypomnijmy, że nasze równanie jest

postaci:

 
  


 
, 

 

 

Równanie nieliniowe o

parametrach zmiennych

w czasie

Równanie liniowe o

parametrach zmiennych

w czasie

Równanie liniowe

Prawdziwe są następujące zależności:

!

"

# 

"

W  

"%&

!0  

"%

!

&

0  (  !

"%&

0

!

"

# 

"

W   

"%)

!

)%&

0

"

)*&

+

,-!. /

0

,-+  !. +  ,-!.,

+ 



, 1 !





*&

2  ,-!



.



*&



Gdzie

!

"

oznacza pochodną

 tego rzędu. Indeks górny w nawiasie oznacza pochodną, bez

nawiasu potęgę! Wielkości typu

!

"

0 odnoszą się do warunków początkowych – zakłada się, że są

one znane. Zauważmy, że w przypadku, gdy równanie jest stopnia

 tego musimy znać  warunków

początkowych.

Jak wykorzystać powyższe zależności w naszym równaniu? Załóżmy, że na obie strony naszego

równania działamy operatorem Laplace’a. I tak wykorzystując na początek zależność

,  3+4 0

odpowiednio do lewej i prawej strony równania otrzymamy:

,5
 
  
6 ,56

,-
.    ,-
.    ,-
. 

Wykorzystamy teraz zależności

+, 0 do uporządkowania lewej strony. Zauważmy przy tym, że:

,-
. 



7  
0 
0

,-
. 7 
0

,-
. 7

Podstawiając to do naszego równania otrzymamy:





7  
0 
0    -7 
0.    7 

Porządkując można otrzymać następującą formę:

7  



     
0  -  . 
0

Zostawiając po lewej stronie tylko

7 dostajemy:

7

 
0  -  . 
0





   

Czy widzą państwo zależność pomiędzy rzędem równania różniczkowego a stopniem wielomianu

mianownika? Ile członów skojarzonych z warunkami początkowymi znajduje się w liczniku, i czy ma to

związek z rzędem równania?

Załóżmy teraz, że wszystkie warunki początkowe są zerowe, a samo wymuszenie

 ma charakter

impulsu Diraca, tj.

 8. W takim przypadku:

 ,-. 1

Zatem (ponieważ

 /) :  1/.

Zależność na

7 w tym szczególnym przypadku przyjmuje postać:

7

1

 

1





   

Jak pamiętamy naszym zadaniem jest wyznaczenie funkcji

, zgodnie z definicją operatora

Laplace’a:

 ,

%&

-7.

Jak Państwo widzą sprowadza się to do wyznaczenia transformaty odwrotnej z funkcji

9

1





   

Podobne rzeczy były tematem ostatniego kolokwium. Oczywistym podejściem było by wyznaczenie

pierwiastków mianownika i sprowadzenie go do postaci iloczynowej. Można pokazać, że wyniosą

one:



&

  √



 4

2





  √



 4

2

W takim przypadku funkcję

9 można zapisać następująco:

9

1

  

&

    





A samą funkcję

= ,

%&

-9. moglibyśmy otrzymać stosując ideę ułamków prostych. Zadanie to

spróbujemy jednak rozwiązać w nieco inny sposób, wiedząc że dla dowolnej funkcji

! zachodzi:

! > /

?

%@A

! > /  + ?

Tutaj operator

> oznacza przejście pomiędzy dziedziną czasu i dziedziną Laplace’a. Pierwsza

zależność jest oczywista, drugą należało by wyjaśnić. Załóżmy, że funkcja

! jest funkcją

Heaviside’a, tj.

!

&



Wiemy że transformata Laplace’atej funkcji dana jest zależnością:

,-

&

.

1



Jednak co zrobić w przypadku, gdy musimy wyznaczyć transformatę funkcji

 ?

%@A

! ?

%@A

&

 ? Przy użyciu zależności ? jest bardzo proste: Wyznaczamy

transformatę funkcji

! i w miejsce argumentu  podstawiamy   +.

,-?

%@A

&

. ,-

&

.  +

1

  +

Co jednak w przypadku odwrotnym, gdy dysponujemy funkcją dziedzinie Laplace’a i poszukujemy

funkcji czasu? Rozważmy ten sam przykład, tj. załóżmy, że funkcja zmiennej

 jest postaci:

B

1

  +

Pierwsza rzecz, to wyszukanie członów w których występuje suma argumentu

 i dowolnej stałej. Jak

widzimy w naszym przypadku taki człon występuje. Pozbywamy się stałej z tego członu i

zastanawiamy, czy znamy transformatę odwrotną tak powstałej funkcji. W tym przypadku będziemy

szukali transformaty odwrotnej funkcji

1/, którą możemy wyznaczyć z tablic, i która daje w wyniku

funkcję skoku jednostkowego

&

. Nie pozostaje nic więcej niż wynik tej transformacji przemnożyć

przez człon

?

%@A

,tj.

C ,

%&

-B. ,

%&

D

1

  +E

W tym miejscu zatrzymujemy się i zastępujemy człon

  + przez sam argument 

,

%&

D

1

E

&



Inną metodą może być podstawienie

 4  +

I następne wyznaczenie transformaty odwrotnej ze
względu na

4:

,

%&

D

1

4E

&



&

  ?

%@A

Wynik uproszczonej transformacji przemnażamy przez

człon

?

%@A

Uwaga! Jak nie należy interpretować zależności

?

%@A

! > /  +. Załóżmy, że dysponujemy

funkcją:



1

  +



 

Zauważmy, że sumy

  + musimy poszukać przy każdym miejscu gdzie znajduje się . Jak widać w

powyższym przypadku na pierwszy rzut oka nie ma to miejsca. Ale zauważmy, że możemy funkcję
 przedstawić jako:



1

  +



   +  +

Teraz możemy pozbyć się stałej

+ ale tylko z członów   + i obliczyć transformatę odwrotną tak

powstałej funkcji, tj.



F



1





   +

Błędem była by interpretacja, że człon

  + występuje tylko pod kwadratem i obliczanie

transformaty funkcji:



F



1





 

Zauważmy, że o wiele wygodniejszym sposobem jest podstawienie

 4  +, przy którym nie

musimy się zastanawiać do jakiej postaci sprowadzić funkcję, wynik takiego podstawienia zawsze da

prawidłową formę.

Wróćmy do naszego podstawowego problemu, tj. wyznaczenie transformaty odwrotnej funkcji:

7

1





1





   

9



Zauważmy, że w przypadku, gdy

 0 dostajemy:

9

1





 

Jak Państwo zapewne pamiętają transformata odwrotna takiej funkcji wynosi:

= ,

%&

-9.

1

√

sin √

Zatem rozwiązanie naszego układu w tym szczególnym przypadku miało by charakter oscylacyjny, co

w pewien sposób zgadza się z naszym postrzeganiem tego zjawiska. Załóżmy jednak znowu, że

 J 0.

Czy w takim przypadku drgania naszej masy również będą miały charakter oscylacyjny? Intuicyjnie

spodziewamy się, że tak ale dodatkowo powinno występować tłumienie, które będzie z czasem

redukowało amplitudę drgań.

Pierwszy krok – Zakładamy, że rozwiązanie będzie miało charakter oscylacyjny:

1





 



Ale jak widzimy mianownik tej funkcji nie jest tożsamy z mianownikiem

9. Brakuje członu z .

Zauważmy jednak, że:

1

  C



 K



1





 2C  C



 K



Już odpowiada naszym wymaganiom, tj. można znaleźć taką parę

C,  dla której zachodzi

tożsamość:





    L 



 2C  C



 K



Co nie jest trudne, wystarczy jedynie przyrównać współczynniki przy odpowiednich potęgach aby

otrzymać układ równań postaci:

2C 

C



 K





Którego rozwiązaniem jest:

C



2 K

M  



4

Dobrze, tylko po co to wszystko? Zauważmy, że wiemy już że postać funkcji

9:

9

1

  C



 K



Jest poprawna. Nasuwa się pytanie, czy już tej chwili jesteśmy w stanie obliczyć transformatę

odwrotną tej funkcji? Wróćmy ponownie do zależności

?, tj:

?

%@A

! > /  +

Jak pamiętamy aby sprawdzić, czy warto użyć tej zależności, można dokonać podstawienia

 4  C

aby pozbyć się stałej stojącej przy

, jeżeli jesteśmy w stanie obliczyć transformatę tak powstałej

funkcji to warto wziąć tą zależność pod uwagę.

94

1

4  C  C



 K



1

4



 K



Transformata odwrotna funkcji

94 wyniesie:

,

%&

-94.

1

K sin K

Nas jednak interesuje transformata nie funkcji

94 ale 9, zgodnie z zależnością ? wynik

uzyskany z transformacji funkcji

94 należy przemnożyć przez człon ?

%NA

, tj.

= ,

%&

-9.

?

%NA

K sin K

I to jest nasz ostateczny wynik. Sprawdźmy teraz, czy ma on jakikolwiek sens fizyczny. Przypomnijmy,

że współczynniki

K oraz C związane są z parametrami układu poprzez następujące zależności.

C



2



2 K

M  



4

M

 





4



Rozważmy różne przypadki:

a)

 0; w takiej sytuacji redukuje się nam człon tłumiący ?

%NA

, a parametr

K O



P

. Drgania

są nietłumione a ich charakter jest ściśle oscylacyjny i opisany jest funkcją sinus.

b)

 J 0; W takim przypadku drgania są tłumione. Ze względu na fakt, że tłumienie to opisane
jest członem

?

%NA

im większa wartość współczynnika

C, tym większe tłumienie.

Zgadza się to zatem z intuicyjnym postrzeganiem tego zjawiska.

Problemy do samodzielnego opracowania:

1.

Mając dane równanie różniczkowe w postaci przedstawionej poniżej, wyznacz zależność

algebraiczną

7

QR

SR

, gdzie

T oraz ! są wielomianami. Założyć zerowe warunki

początkowe.

a)

+









 0


 8 

&



b)

+



U



U

 0









 



 8

Gdzie:

8 impuls Diraca,

&

 funkcja skoku jednostkowego

2.

W rozważanym przypadku zachodzi:

7

1

 

1





   

Załóżmy, że istnieją takie zmienne

V

"

oraz

W spełniające tożsamość:





    L 



 2WV

"

 V

"



Proszę wyznaczyć

 ,

%&

-7. przy użyciu parametrów V

"

oraz

W. Analizując wynik

proszę zinterpretować sens fizyczny parametru

V

"

. Co dzieje się z drganiami, gdy

W X 0?