Ekonometria
Metoda najmniejszych kwadratów
1
Metoda Najmniejszych Kwadratów
Niech będzie dany model:
t
tk
k
t
t
t
x
x
x
y
ξ
β
β
β
β
+
+
+
+
+
=
...
2
2
1
1
0
gdzie:
y –
x –
β
β
β
β -
ξ
ξξ
ξ -
t = 1,2, ..., T
k –
Zapis macierzowy modelu
Y = X β
β
β
β + ξ
ξξ
ξ
=
=
=
=
T
2
1
y
:
y
y
Y
,
=
=
=
=
Tk
2
T
1
T
k
2
22
21
k
1
12
11
x
...
x
x
1
:
:
:
:
x
...
x
x
1
x
...
x
x
1
X
ξ
ξξ
ξ
ξ
ξξ
ξ
ξ
ξξ
ξ
=
=
=
=
ξ
ξξ
ξ
T
2
1
M
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
=
=
=
=
β
β
β
β
k
2
1
M
Ekonometria
Metoda najmniejszych kwadratów
2
Założenia numeryczne MNK
1. r( X ) = k+1,
2. k+1 < T.
Założenia stochastyczne
1. E (ξξξξ
t
) = 0,
2. E(ξξξξ)
2
= σ
σ
σ
σ
ξ
2
= const,
3. E(ξξξξ
t
ξ
ξξ
ξ
s
) = 0, jeśli t ≠
≠
≠
≠ s,
4. E(xξξξξ) = 0,
5. ξξξξ
t
~ N (0, σ
σ
σ
σ
ξ
2
),
Ideą KMNK jest
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
ξ
ξξ
ξ
T
1
t
2
t
ˆ
min
(
) (
)
β
β
β
β
β
ξ
ξ
ξ
ˆ
ˆ
ˆ
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
2
X
X
Y
X
Y
Y
X
Y
X
Y
T
T
T
T
T
T
T
T
t
t
+
−
=
−
−
=
=
∑
=
β
β
ξ
ξ
ˆ
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
X
X
Y
X
T
T
T
+
−
=
∂
∂
Ekonometria
Metoda najmniejszych kwadratów
3
Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji:
0
ˆ
2
2
=
+
−
β
X
X
Y
X
T
T
Druga pochodna jest określona nieujemnie:
X
X
T
T
T
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2
=
∂
∂
∂
β
β
ξ
ξ
Estymator uzyskanego klasyczną metodą najmniejszych
kwadratów ma postać:
(
)
Y
X
X
X
T
T
1
ˆ
−
=
β
Współliniowość zmiennych objaśniających
Ekonometria
Metoda najmniejszych kwadratów
4
t
t
t
x
y
ξ
β
β
+
+
=
1
0
Macierze momentów dla modelu z jedną zmienną
objaśniającą mają postać:
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
T
t
t
T
t
t
T
t
t
T
T
T
x
x
x
T
x
x
x
x
x
x
X
X
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
...
1
1
1
M
M
K
=
=
∑
∑
=
=
T
t
t
t
T
t
t
T
T
T
y
x
y
y
y
y
x
x
x
y
X
1
1
2
1
2
1
...
1
1
1
M
K
Ekonometria
Metoda najmniejszych kwadratów
5
t
t
t
t
x
x
y
ξ
β
β
β
+
+
+
=
2
2
1
1
0
Macierze momentów dla modelu z dwoma
zmiennymi objaśniającymi mają postać:
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
=
T
t
t
t
T
t
t
T
t
t
T
t
t
t
T
t
t
T
t
t
T
t
t
T
t
t
T
T
T
T
T
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
T
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X
X
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
2
22
12
1
21
11
2
22
12
1
21
11
1
1
1
1
1
1
M
M
M
K
K
K
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
t
T
t
t
T
t
t
t
T
t
t
T
T
T
T
y
x
y
x
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
y
X
1
2
1
1
1
2
1
2
22
12
1
21
11
1
1
1
M
K
K
K
Ekonometria
Metoda najmniejszych kwadratów
6
Własności estymatora MNK
Estymator jest BLUE (the Best Linear Unbiased Estimator)
♦ nieobciążony
β
=
βˆ
E
♦ zgodny
♦ najefektywniejszy
Losowe błędy estymacji mają wariancje i kowariancje,
które są elementami macierzy wariancji i kowariancji
błędów ocen parametrów strukturalnych
=
−
−
=
Σ
)
ˆ
(
)
ˆ
,
ˆ
(
)
ˆ
,
ˆ
(
)
ˆ
,
ˆ
(
)
ˆ
(
)
ˆ
,
ˆ
(
)
ˆ
,
ˆ
(
)
ˆ
,
ˆ
(
)
ˆ
(
)
ˆ
)(
ˆ
(
ˆ
2
1
0
1
1
2
0
1
0
1
0
0
2
ˆ
k
k
k
k
k
T
E
β
σ
β
β
σ
β
β
σ
β
β
σ
β
σ
β
β
σ
β
β
σ
β
β
σ
β
σ
β
β
β
β
β
L
M
M
M
M
L
L
Ekonometria
Metoda najmniejszych kwadratów
7
Błędy estymacji parametrów są liniowymi funkcjami
składników zakłócających, czyli
ξ
β
β
T
T
X
X
X
1
)
(
ˆ
−
=
−
otrzymuje się więc:
1
2
2
1
0
1
1
2
0
1
0
1
0
0
2
ˆ
)
(
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
,
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
,
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
,
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
,
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
,
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
,
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
ˆ
−
=
=
Σ
X
X
T
k
k
k
k
k
ξ
β
σ
β
σ
β
β
σ
β
β
σ
β
β
σ
β
σ
β
β
σ
β
β
σ
β
β
σ
β
σ
L
M
M
M
M
L
L
Średnie błędy ocen parametrów oblicza się jako
pierwiastki kwadratowe z kolejnych elementów na głównej
przekątnej macierzy wariancji i kowariancji błędów
estymacji parametrów.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
ekonometria mat aa2 mat aa2
ekonomia mat, sem 1, mikroekonomia
ekonometria, mat aa4 mat aa4
ekonometria, mat aa3 mat aa3
ekonometria mat aa1 mat aa1
ekonometria mat aa4 mat aa4
ekonometria, mat aa1 mat aa1
konspekt6 v2 mat dla stud 2[1], EKONOMIA
ZARZ DZANIE PRZEDSIEBIORSTWEM - MAT. DODATK.. DODATK, Ekonomia i zarządzanie
wmagania stawiane mat. opakowaniom-ściąga, Ekonomia
konspekt6 v2 mat dla stud[1], EKONOMIA
konspekt 6 mat stud, EKONOMIA
ek mat ii funkcja produkcji cobba douglasa, ekonomia
wmagania stawiane mat. opakowaniom-ściąga, Ekonomia, ekonomia
Wyklad2 mat
Mat 10 Ceramika
więcej podobnych podstron