GRANICA CIAGU
De nicja Liczba g jest
granica
ciagu (a
n
)
n2N
lim
n!1
a
n
= g
wtedy i tylko wtedy, gdy
8
">0
9
n
o
2N
8
n>n
o
ja
n
gj < ":
Ponadto mamy:
lim
n!1
a
n
= 1 , 8
M>0
9
n
o
2N
8
n>n
o
a
n
> M;
lim
n!1
a
n
= 1 , 8
m>0
9
n
o
2N
8
n>n
o
a
n
< m:
W LASNOSCI CIAG OW ZBIE _ZNYCH
Twierdzenie
1. Ka_zdy ciag zbie_zny jest ograniczony.
2. Ka_zdy ciag monotoniczny i ograniczony jest zbie_zny.
3.
lim
n!1
a
n
= g
wtedy i tylko wtedy, gdy ka_zdy podciag (a
n
k
)
n;k2N
jest zbie_zny do liczby
g.
lim
k!1
a
n
k
= g
W LASNOSCI GRANIC
Twierdzenie Niech
lim
n!1
a
n
= a; lim
n!1
b
n
= b
wtedy:
1:
lim
n!1
(a
n
b
n
) = a b;
2: lim
n!1
(a
n
b
n
) = a b;
3: lim
n!1
a
n
b
n
=
a
b
; gdzie b
n
6= 0 i b 6= 0;
1
4: lim
n!1
a
n
= 0 i a
n
> 0 ) lim
n!1
1
a
n
= 1;
4: lim
n!1
ja
n
j = 1 ) lim
n!1
1
a
n
= 0;
5: lim
n!1
1
n
= 0 dla > 0;
6: lim
n!1
n
p
a = 1 dla a > 0;
7: lim
n!1
n
p
n = 1:
De nicja Liczba Eulera e jest granica ciagu:
e = lim
n!1
(1 +
1
n
)
n
:
Twierdzenie
lim
n!1
a
n
= 1 ) lim
n!1
(1 +
1
a
n
)
a
n
= e:
Oznaczenie: log
e
x = lnx - logarytm naturalny. W oprocentowaniu
sk ladanym ciag lym mamy:
lim
n!1
S
o
(1 +
p
n
)
np
= S
o
e
kp
SZEREGI
DEFINICJA
Szeregiem liczbowym
nazywamy ciag sum czesciowych
danego nieskonczonego ciagu liczbowego: s
1
= a
1
; s
2
= a
1
+ a
2
; : : : ; s
n
=
a
1
+ : : : + a
n
; : : : : Oznaczamy go symbolem:
1
X
n=1
a
n
:
Jesli ciag (s
n
)
n2N
posiada granice, to granice te nazywamy
suma nieskonczonego
szeregu
:
1
X
n=1
a
n
= a
1
+ : : : + a
n
+ : : : = lim
n!1
s
n
:
PRZYK LAD Szereg geometryczny a + aq + aq
2
+ : : : + aq
n
+ : : : o ilorazie
jqj < 1 jest zbie_zny, oraz a + aq + aq
2
+ : : : + aq
n
+ : : : =
a
1
1 q
.
2
WARUNEK KONIECZNY ZBIE _ZNOSCI SZEREGU
TWIERDZENIE Jesli szereg a
1
+ : : : + a
n
+ : : : jest zbie_zny, to
lim
n!1
a
n
= 0:
PRZYK LAD Szereg harmoniczny
1
X
n=1
1
n
jest rozbie_zny.
KRYTERIA ZBIE _ZNOSCI SZEREG OW
TWIERDZENIE
(kryterium d'Alamberta)
Szereg a
1
+ : : : + a
n
+ : : : o
sk ladnikach dodatnich spe lniajacy warunek:
lim
n!1
a
n+1
a
n
< 1;
jest zbie_zny.
TWIERDZENIE
(kryterium Cauchy'ego)
Szereg a
1
+ : : : + a
n
+ : : : o
sk ladnikach dodatnich spe lniajacy warunek:
lim
n!1
n
p
a
n
< 1;
jest zbie_zny.
TWIERDZENIE
(kryterium porownawcze)
Je_zeli dla ka_zdego n 2 N
spe lniona jest nierownosc a
n
b
n
c
n
oraz a
n
; b
n
; c
n
0, wtedy
a) jesli szereg a
1
+ : : : + a
n
+ : : : jest rozbie_zny, to szereg b
1
+ : : : + b
n
+ : : :
jest rozbie_zny.
b) jesli szereg c
1
+ : : : + c
n
+ : : : jest zbie_zny, to szereg b
1
+ : : : + b
n
+ : : :
jest zbie_zny oraz
1
X
n=1
b
n
1
X
i=1
c
n
:
PRZYK LAD Szereg
1
X
n=1
1
n
jest zbie_zny dla > 1
jest rozbie_zny dla 1.
3
FUNKCJE ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
De nicja
Granica funkcji
:
lim
x!x
o
f(x) = g ,
8
(x
n
)
n2N
6=x
o
( lim
n!1
x
n
= x
o
) lim
n!1
f(x
n
) = g):
Granica prawostronna:
lim
x!x
+
o
f(x) = g ,
8
(x
n
)
n2N
6=x
o
; x
n
>x
o
( lim
n!1
x
n
= x
o
) lim
n!1
f(x
n
) = g):
Granica lewostronna:
lim
x!x
o
f(x) = g ,
8
(x
n
)
n2N
6=x
o
; x
n
<x
o
( lim
n!1
x
n
= x
o
) lim
n!1
f(x
n
) = g):
Granica niew lasciwa:
lim
x!x
o
f(x) = 1 ,
8
(x
n
)
n2N
6=x
o
( lim
n!1
x
n
= x
o
) lim
n!1
f(x
n
) = 1):
Twierdzenie
lim
x!0
sinx
x
= 1;
lim
x!1
(1 +
1
x
)
x
= e;
lim
x!0
+
(1 + x)
1
x
= e
W LASNOSCI GRANIC FUNKCJI
Twierdzenie Niech
lim
x!x
o
f(x) = a; lim
x!x
o
g(x) = b
wtedy:
1:
lim
x!x
o
(f(x) g(x)) = a b;
2: lim
x!x
o
(f(x) g(x)) = a b;
3: lim
x!x
o
f(x)
g(x)
=
a
b
; gdzie g(x) 6= 0 i b 6= 0;
4
W LASNOSCI FUNKCJI
De nicja Niech f : (x
0
; x
o
+ ) ! R dla pewnego > 0, wtedy:
1. f
jest ciag la w punkcie
x
o
, istnieje f(x
o
) i istnieje lim
x!x
o
f(x) oraz
lim
x!x
o
f(x) = f(x
o
):
2. f
jest ciag la w przedziale
(a; b) , f jest ciag la w ka_zdym punkcie tego
przedzia lu.
Przyk lad Funkcjami ciag lymi sa:
1. Funkcja wielomianowa,
2. Funkcja wyk ladnicza f(x) = a
x
, gdzie a > 0; a 6= 1; x 2 R,
3. Funkcja logarytmiczna f(x) = log
a
x, gdzie a > 0; a 6= 1; x 2 R
+
,
4 Funkcje trygonometryczne f(x) = sinx i g(x) = cosx.
5. Suma i iloczyn funkcji ciag lych.
De nicja Funkcje f nazywamy:
a.
ro_znowartosciowa
na zbiorze X ,
8
x
1
;x
2
2X
x
1
6= x
2
) f(x
1
) 6= f(x
2
):
b.
ograniczona
na zbiorze X ,
9
M2R
8
x2X
jf(x)j M;
c.
parzysta
8
x2D
f
x 2 D
f
^ f( x) = f(x);
d.
nieparzysta
8
x2D
f
x 2 D
f
^ f( x) = f(x);
e.
rosnaca
na zbiorze X ,
8
x
1
;x
2
2X
x
1
< x
2
) f(x
1
) < f(x
2
);
5
f.
malejaca
na zbiorze X ,
8
x
1
;x
2
2X
x
1
< x
2
) f(x
1
) > f(x
2
);
g.
okresowa
9
T 6=0
8
x2D
f
(x + T ) 2 D
f
^ f(x + T ) = f(x):
PIERWSZA POCHODNA FUNKCJI
Za lo_zmy, _ze funkcja f jest okreslona w otoczeniu x
0
.
De nicja
Ilorazem ro_znicowym
funkcji f w punkcie x
o
dla przyrostu h
nazywamy wyra_zenie
f(x
o
+ h) f(x
o
)
h
:
Iloraz ro_znicowy funkcji f w punkcie x
o
jest rowny tangensowi kata nachyle-
nia siecznej wykresu funkcji do dodatniej osi OX, przechodzacej przez punkty
(x
o
; f(x
o
)); (x
o
+ h; f(x
o
+ h)):
De nicja
Pierwsza pochodna
funkcji f w punkcie x
o
nazywamy granice
ilorazu ro_znicowego:
lim
h!0
f(x
o
+ h) f(x
o
)
h
:
Oznaczenia:
lim
h!0
f(x
o
+ h) f(x
o
)
h
= f
0
(x
o
) =
df
dx
(x
o
):
Twierdzenie Pochodne funkcji elementarnych:
(c)
0
= 0; (x
)
0
= x
1
; (a
x
)
0
= a
x
lna;
(e
x
)
0
= e
x
; (lnx)
0
=
1
x
; (sinx)
0
= cosx;
(cosx)
0
= sinx; (tgx)
0
=
1
cos
2
x
;
(ctgx)
0
=
1
sin
2
x
:
Twierdzenie W lasnosci pochodnej:
(cf(x))
0
= c f
0
(x);
6
(f(x) g(x))
0
= f
0
(x) g
0
(x);
(f(x) g(x))
0
= f
0
(x)g(x) + f(x)g
0
(x);
(
f(x)
g(x)
)
0
=
f
0
(x)g(x) f(x)g
0
(x)
g
2
(x)
;
((f(x))
g(x)
)
0
= (f(x))
g(x)
(g
0
(x)lnf(x) +
g(x)
f(x)
f
0
(x));
Pochodna funkcji z lo_zonej: (istnieja f
0
i g
0
)
(f(g(x)))
0
x
= f
0
g(x)
(g(x)) g
0
(x):
Przyk lad
(2sinx)
0
= 2cosx;
(x
3
cosx)
0
= 3x
2
+ sinx;
(
p
x sinx)
0
=
1
2
p
x
sinx +
p
x cosx;
(
x
x
2
+ 1
)
0
=
1 (x
2
+ 1) x 2x
(x
2
+ 1)
2
=
1 x
2
(x
2
+ 1)
2
;
(x
sinx
)
0
= x
sinx
(cosx lnx +
sinx
x
);
(
p
sin3x)
0
=
1
2
p
sin3x
(sin3x)
0
=
1
2
p
sin3x
( cos3x) 3:
Geometryczna interpretacja pochodnej
Pochodna funkcji f w punkcie x
o
jest rowna tangensowi kata miedzy
prosta styczna do wykresu funkcji poprowadzona przez ten punkt i dodatnia
osia OX.
Twierdzenie Styczna do wykresu funkcji funkcji y = f(x) w punkcie
(x
o
; f(x
o
)) ma rownanie:
y f(x
o
) = f
0
(x
o
)(x x
o
):
7
Twierdzenie
Rolle'a
Niech funkcja y = f(x) bedzie ciag la w przedziale
domknietym [a; b] i ro_zniczkowalna wewnatrz tego przedzia lu. Je_zeli f(a) =
f(b), to istnieje c 2 (a; b) taki, _ze
f
0
(c) = 0:
Twierdzenie
Lagrange'a
Niech funkcja y = f(x) bedzie ciag la w przedziale
domknietym [a; b] i ro_zniczkowalna wewnatrz tego przedzia lu. Wtedy istnieje
c 2 (a; b) taki, _ze
f
0
(c) =
f(b) f(a)
b a
:
EKONOMICZNA INTERPRETACJA POCHODNEJ
Niech K(x) bedzie
funkcja kosztow ca l kowitych
wyprodukowania x jed-
nostek towaru.
Funkcje K
p
(x) =
K(x)
x
nazywamy
funkcja kosztow przecietnych
.
Z Twierdzenia Lagrange'a mamy
K(x + x) K(x) K
0
(x) x:
Je_zeli przyrost jednostek produktu x = 1, to otrzymamy
K(x + 1) K(x) K
0
(x):
Oznacza to, _ze przyrost kosztow ca lkowitych spowodowany zwiekszeniem pro-
dukcji o jednostke towaru, z poziomu produkcji x, jest rowny, w przybli_zeniu,
wartosci pochodnej funkcji kosztow ca lkowitych w punkcie x.
Funkcje K
0
(x) dla x > 0 nazywamy
funkcja kosztow krancowych
.
Analogiczna interpretacje mo_zna zde niowac odpopwiednio dla funkcji:
a) Funkcja poda_zy -
poda_z krancowa
;
b) Funkcja popytu -
popyt krancowy
;
c) Funkcja utargu -
utarg krancowy
.
Innym zastosowaniem pierwszej pochodnej w ekonomii jest elastycznosc
funkcji. De nicja
Elastycznoscia funkcji
y = f(x) w punkcie x = x
o
nazy-
wamy funkcje:
E
x
f(x
o
) =
f
0
(x
o
) x
o
f(x
o
)
:
8
Wartosc elastycznosci w danym punkcie informuje, w przybli_zeniu, o zmi-
anach wyra_zonych w procentach, wartosci funkcji, liczonych od poziomu
f(x
o
) wywo lywanymi zwiekszeniem argumentu x
o
o 1%.
Innymi zastosowaniami pierwszej pochodnej, wykorzystanymi do bada-
nia funkcji, sa:
a) badanie monotonicznosci funkcji,
b) badanie ekstremow lokalnych funkcji.
Twierdzenie Niech f : X ! Y oraz [a; b] X:
a. je_zeli dla x 2 (a; b) f
0
(x) > 0, to funkcja y = f(x) jest rosnaca na
przedziale [a; b],
b. je_zeli dla x 2 (a; b) f
0
(x) < 0, to funkcja y = f(x) jest malejaca na
przedziale [a; b],
c. je_zeli dla x 2 (a; b) f
0
(x) 0, to funkcja y = f(x) jest niemalejaca na
przedziale [a; b],
d. je_zeli dla x 2 (a; b) f
0
(x) 0, to funkcja y = f(x) jest nierosnaca na
przedziale [a; b].
Ekstrema lokalne funkcji
De nicja Niech f : (x
o
; x
o
+ ) ! R dla pewnego > 0 oraz
| 8
x2(x
o
;x
o
+)
f(x) f(x
o
), to funkcja osiaga
maksimum lokalne
dla
x = x
o
,
8
x2(x
o
;x
o
+)
f(x) f(x
o
), to funkcja osiaga
minimum lokalne
dla
x = x
o
.
Twierdzenie
(Warunek konieczny istnienia ekstremum)
Je_zeli funkcja y =
f(x) jest ro_zniczkowalna w punkcie x
o
i posiada w tym punkcie ekstremum,
to f
0
(x
o
) = 0.
Twierdzenie
(Warunek dostateczny istnienia ekstremum)
Je_zeli funkcja
y = f(x) jest ciag la na przedziale (x
o
; x
o
+ ) dla pewnego > 0 oraz jest
ro_zniczkowalna na zbiorze (x
o
; x
o
) [ (x
o
; x
o
+ ) oraz
| f
0
(x) > 0 dla x 2 (x
o
; x
o
)
f
0
(x) < 0 dla x 2 (x
o
; x
o
+ )
) funkcja ma maksimum lokalne w
punkcie x
o
,
9
f
0
(x) < 0 dla x 2 (x
o
; x
o
)
f
0
(x) > 0 dla x 2 (x
o
; x
o
+ )
) funkcja ma minimum lokalne w
punkcie x
o
.
Twierdzenie
(Wzor de l'Hospitala)
Je_zeli funkcje f; g sa ciag le w pprzedziale
[x
o
; x
o
+ ] i ro_zniczkowalne wewnatrz tego przedzia lu oraz
lim
x!x
o
f(x) = lim
x!x
o
g(x) = 1 lub 0;
to wtedy:
lim
x!x
o
f(x)
g(x)
= lim
x!x
o
f
0
(x)
g
0
(x)
Pochodna rzedu drugiego funkcji
De nicja Niech f : (a; b) ! R bedzie funkcja ro_zniczkowalna.
Pochodna
rzedu drugiego funkcji
jest rowna:
f
00
(x) = (f
0
(x))
0
:
Oznaczenie: f
00
(x) =
d
2
f
dx
2
(x) =
@
2
f
@x
2
(x):
De nicja Niech f : (a; b) ! R bedzie funkcja ro_zniczkowalna.
Pochodna
rzedu n funkcji
jest rowna:
f
(n)
(x) = (f
n 1
(x))
0
:
Twierdzenie
(Warunek dostateczny na istnienie ekstremum lokalnego funkcji
z pochodna rzedu drugiego)
Niech funkcja y = f(x) posiada druga pochodna
w przedziale (x
o
; x
o
+ ) dla pewnego > 0. Wtedy:
|
f
0
(x
o
) = 0
f
00
(x) < 0 dla x 2 (x
o
; x
o
+ )
) funkcja ma maksimum lokalne
w punkcie x
o
,
f
0
(x
o
) = 0
f
00
(x) > 0 dla x 2 (x
o
; x
o
+ )
) funkcja ma minimum lokalne
w punkcie x
o
.
De nicja Mowimy, _ze funkcja jest
wypuk la (wypuk la w gore)
w przedziale
(a; b) , dla ka_zdego x 2 (a; b) styczna do wykresu funkcji w punkcie x
le_zy poni_zej wykresu funkcji.
10
Mowimy, _ze funkcja jest
wkles la (wypuk la w do l )
w przedziale (a; b) ,
dla ka_zdego x 2 (a; b) styczna do wykresu funkcji w punkcie x le_zy powy_zej
wykresu funkcji.
Punkt (x; f(x)) nazywamy
punktem przegiecia wykresu funkcji
, gdy
w otoczeniu lewostronnym tego punktu funkcja jest wypuk la (wkles la), a w
otoczeniu prawostronnym jest wkles la (wypuk la).
Twierdzenie Niech funkcja y = f(x) bedzie dwukrotnie ro_zniczkowalna
w przedziale (a; b):
| je_zeli f
00
(x) > 0 dla ka_zdego x 2 (a; b), to funkcja jest wypuk la w
przedziale (a; b),
je_zeli f
00
(x) < 0 dla ka_zdego x 2 (a; b), to funkcja jest wkles la w
przedziale (a; b),
~ je_zeli dla pewnego x
o
2 (a; b) f
00
(x
o
) = 0 i f
00
(x) zmienia znak w otocze-
niu x
o
, to punkt (x
o
; f(x
o
)) jest punktem przegiecia wykresu funkcji.
Asymptoty wykresu funkcji
De nicja Prosta x = c nazywamy
asymptota pionowa lewostronna (pra-
wostronna)
wykresu funkcji y = f(x), je_zeli granica lewostronna (prawostronna)
w punkcie c jest niew lasciwa:
lim
x!c
f(x) = 1
( lim
x!c
+
f(x) = 1):
De nicja Prosta y = ax + b nazywamy
asymptota ukosna prawostronna
(lewostronna)
wykresu funkcji y = f(x), je_zeli istnieje granica:
lim
x!1
[f(x) (ax + b)] = 0 ( lim
x! 1
[f(x) (ax + b)] = 0):
Lemat Je_zeli prosta y = ax + b jest asymptota ukosna wykresu funkcji
y = f(x), to:
lim
x!1
f(x)
x
= a oraz
lim
x!1
(f(x) ax) = b:
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOSCI FUNKCJI
a. dziedzina i szczegolne w lasnosci funkcji,
b. pierwsza pochodna (monotonicznosc i ekstrema),
c. druga pochodna (wypuk losc i punkty przegiecia),
c. tabela przebiegu zmiennosci i wykres funkcji.
11
CA LKA NIEOZNACZONA
De nicja Niech f bedzie funkcja okreslona w pewnym przedziale (a; b).
Ka_zda funkcje F ro_zniczkowalna w przedziale (a; b) i spe lniajaca w ka_zdym
punkcie przedzia lu x 2 (a; b) warunek
F
0
(x) = f(x)
nazywamy
funkcja pierwotna
funkcji f.
Funkcje pierwotna nazywamy rownie_z
ca lka nieoznaczona
lub krotko
ca lka
danej funkcji i oznaczamy:
Z
f(x)dx:
Zauwa_zmy, _ze gdy F (x) jest ca lka funkcji f(x), to suma F (x) + c; gdzie c
jest dowolna sta la, jest rownie_z ca lka funkcji f(x). Istotnie:
(F (x) + c)
0
= F
0
(x) + (c)
0
= f(x) + 0 = f(x):
Stad otrzymamy, je_zeli F (x) jest pewna funkcja pierwotna funkcji f(x),
to
Z
f(x)dx = F (x) + c;
gdzie c nazywamy
sta la ca lkowania
.
Wzory ca lek funkcji elementarnych
Z
x
dx =
x
+1
+ 1
+ c;
dla 6= 1;
Z
dx
x
= lnx + c;
Z
e
x
dx = e
x
+ c;
Z
a
x
dx =
a
x
lna
+ c;
Z
sinxdx = cosx + c;
Z
cosxdx = sinx + c;
Z
dx
cos
2
x
= tgx + c;
Z
dx
sin
2
x
= ctgx + c:
W LASNOSCI CA LKI NIEOZNACZONEJ
Twierdzenie: Niech funkcje f(x); g(x) beda funkcjami ca lkowalnymi w
pewnym przedziale (a; b), wowczas:
12
|
R
(f(x) g(x))dx =
R
f(x)dx
R
g(x)dx;
R
(a f(x))dx = a
R
f(x)dx:
Twierdzenie
(Ca lkowanie przez czesci)
: Niech funkcje f(x); g(x) beda
funkcjami majacymi ciag le pochodne f
0
(x); g
0
(x) w pewnym przedziale (a; b),
wowczas:
Z
f(x)g
0
(x)dx = f(x)g(x)
Z
f
0
(x)g(x)dx:
Twierdzenie
(Ca lkowanie przez podstawianie)
: Je_zeli f(x) i jej pochodna
f
0
(x) sa funkcjami ciag lymi na przedziale (a; b) oraz g(f(x)) jest funkcja
ciag la na przedziale f((a; b)), wowczas:
Z
g(f(x))f
0
(x)dx =
Z
g(y)dy;
gdzie y = f(x).
Ca lkowanie niektorych funkcji wymiernych.
Funkcje wymierne postaci:
A
(x a)
n
;
Ax + B
(x
2
+ px + q)
n
; gdzie = p
2
4q < 0;
nazywamy
u lamkami prostymi
.
Twierdzenie Ka_zda funkcja wymierna rozk lada sie na sume wielomianu
i pewnej liczby u lamkow prostych.
Ca lkowanie u lamka prostego postaci
A
(x a)
n
:
Z
A
(x a)
n
dx =
Alnjx aj + c
dla n = 1
A
n 1
1
(x a)
n 1
+ c dla n 6= 1
Przyk lad
Z
x
3
2x
2
1
x
2
1
dx =
Z
(x 2 +
2
x + 1
1
x 1
)dx =
Z
xdx 2
Z
dx + 2
Z
dx
x + 1
Z
dx
x 1
=
x
2
2
2x + 2lnjx + 1j lnjx 1j + c
13
CA LKA OZNACZONA
Zwiazek miedzy ca lka oznaczona i ca lka nieoznaczona .
Je_zeli F (x) jest dowolna ca lka nieoznaczona funkcji f(x) ciag lej w przedziale
[a; b], to
Z
b
a
f(x)dx = F (b) F (a):
Oznaczenie:
R
b
a
f(x)dx = F (x)j
b
a
:
W lasnosci ca lki oznaczonej.
Twierdzenie: Niech funkcje f(x); g(x) beda funkcjami ca lkowalnymi w
pewnym przedziale [a; b], wowczas:
|
R
b
a
(f(x) g(x))dx =
R
b
a
f(x)dx
R
b
a
g(x)dx;
R
b
a
(a f(x))dx = a
R
b
a
f(x)dx:
Twierdzenie
(Ca lkowanie przez czesci)
: Niech funkcje f(x); g(x) beda
funkcjami majacymi ciag le pochodne f
0
(x); g
0
(x) w pewnym przedziale [a; b],
wowczas:
Z
b
a
f(x)g
0
(x)dx = f(x)g(x)j
b
a
Z
b
a
f
0
(x)g(x)dx:
Twierdzenie
(Ca lkowanie przez podstawianie)
: Je_zeli f(x) i jej pochodna
f
0
(x) sa funkcjami ciag lymi na przedziale [a; b] oraz g(f(x)) jest funkcja ciag la
na przedziale [f(a); f(b)], wowczas:
Z
b
a
g(f(x))f
0
(x)dx =
Z
f(b)
f(a)
g(y)dy;
gdzie y = f(x).
Twierdzenie: Niech f(x) bedzie funkcja ca lkowalna w pewnym przedziale
[a; b] i niech a < c < b; wowczas:
Z
b
a
f(x)dx =
Z
c
a
f(x)dx
Z
b
c
f(x)dx:
Interpretacja geometryczna ca lki oznaczonej.
Je_zeli y = f(x) jest funkcja nieujemna i ciag la na przedziale [a; b], to
Z
b
a
f(x)dx = P;
14
gdzie P jest polem obszaru ograniczonego wykresem funkcji y = f(x) oraz
osia OX i prostymi x = a; x = b.
Interpretacja ekonomiczna ca lki oznaczonej.
Je_zeli f(x) = F
0
(x) jest funkcja zmian krancowych kosztu, (zysku, utardu,
poziomu produkcji), to
R
b
a
f(x)dx jest ca lkowitym przyrostem funkcji kosztu,
(zysku, utardu, poziomu produkcji), na odcinku [a; b].
Ca lka niew lasciwa
Niech y = f(x) bedzie funkcja okreslona w przedziale [a; b) i ca lkowalna w
ka_zdym przedziale domknietym [a; ], gdzie 2 (a; b). Zatem istnieje ca lka
oznaczona:
Z
a
f(x)dx dla < b:
Element b nazywamy
punktem osobliwym
funkcji. Rozptrzmy dwa przy-
padki:
| b = 1, zatem przedzia l [a; 1) jest nieograniczony,
~ b =2 D
f
oraz lim
x!b
f(x) = 1, zbior wartosci funkcji na przedziale [a; b)
jest nieograniczony.
Ca lka niew lasciwa
istnieje, je_zeli istnieje granica:
Z
b
a
f(x)dx = lim
!b
Z
a
f(x)dx:
15
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
Przyk lad
a. Funkcja wielkosci popytu:
D = f(P; Y; R); D = D
o
(
P
P
o
)
(
Y
Y
o
)
(
R
R
o
)
;
gdzie P - cena towaru, Y - dochod, R- wydatki na reklame oraz ; ;
; P
o
; Y
o
; R
o
sa ustalonymi sta lymi.
b. Funkcja wielkosci produkcji:
P = f(K; L); P = P
o
(
K
K
o
)
(
L
L
o
)
;
gdzie K- zainwestowany kapita l , L - wielkosc zatrudnienia oraz ; ;
; P
o
; Y
o
; R
o
sa ustalonymi sta lymi. Funkcja
Cobba Douglasa
:
P (K; L) = K
L
1
:
Oznaczenia: f(x
1
; x
2
) - funkcja dwoch zmiennych x
1
; x
2
, f(x
1
; x
2
; : : : ; x
n
)
- funkcja n zmiennych
De nicja Liczba g jest
granica funkcji
f(x; y; z) (f(x; y)) w punkcie
(x
o
; y
o
; z
o
) ((x
o
; y
o
)) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka_zdego ciagu (x
n
; y
n
; z
n
)
((x
n
; y
n
)) takiego, _ze x
n
6= x
o
, y
n
6= y
o
, z
n
6= z
o
oraz
lim
n!1
x
n
= x
o
; lim
n!1
y
n
= y
o
; lim
n!1
z
n
= z
o
zachodzi
lim
n!1
f(x
n
; y
n
; z
n
) = g ( lim
n!1
f(x
n
; y
n
) = g):
Oznaczenie:
lim
(x;y;z)!(x
o
;y
o
;z
o
)
f(x; y; z) = g
De nicja Funkcja f(x; y; z)
jest ciag la w punkcie (x
o
; y
o
; z
o
)
nale_zacym do
dziedziny, je_zeli
lim
(x;y;z)!(x
o
;y
o
;z
o
)
f(x; y; z) = f(x
o
; y
o
; z
o
):
Funkcja f
jest ciag la w zbiorze D
wiw, gdy jest ciag la w ka_zdym punkcie
zbioru D.
16
Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych
De nicja Niech f(x; y; z) (f(x; y)) bedzie funkcja okreslona w pewnym
obszarze D przestrzeni R
3
(R
2
) i niech punkt P
o
= (x
o
; y
o
; z
o
) (P
o
= (x
o
; y
o
))
nale_zy do D. Je_zeli istnieje granica ilorazu r_o_znicowego, ktora oznaczamy:
f
0
x
(x
o
; y
o
; z
o
) = lim
h!0
f(x
o
+ h; y
o
; z
o
) f(x
o
; y
o
; z
o
)
h
to nazywamy ja
pochodna czastkowa funkcji f wzgledem zmiennej x
w
punkcie P
o
.
Analogicznie, je_zeli istnieje granica ilorazu r_o_znicowego, ktora oznaczamy:
f
0
y
(x
o
; y
o
; z
o
) = lim
h!0
f(x
o
; y
o
+ h; z
o
) f(x
o
; y
o
; z
o
)
h
to nazywamy ja
pochodna czastkowa funkcji f wzgledem zmiennej y
w punkcie
P
o
.
Analogicznie, je_zeli istnieje granica ilorazu r_o_znicowego, ktora oznaczamy:
f
0
z
(x
o
; y
o
; z
o
) = lim
h!0
f(x
o
; y
o
; z
o
+ h) f(x
o
; y
o
; z
o
)
h
to nazywamy ja
pochodna czastkowa funkcji f wzgledem zmiennej z
w
punkcie P
o
.
Podobnie okreslamy pochodne czastkowe dla funkcji dwoch zmiennych:
f
0
x
(x
o
; y
o
) = lim
h!0
f(x
o
+ h; y
o
) f(x
o
; y
o
)
h
;
f
0
y
(x
o
; y
o
) = lim
h!0
f(x
o
; y
o
+ h) f(x
o
; y
o
)
h
Oznaczenie:
f
0
x
(x
o
; y
o
; z
o
) =
@f
@x
(x
o
; y
o
; z
o
) =
df
dx
(x
o
; y
o
; z
o
)
De nicja
Gradientem
funkcji f(x; y) nazywamy pare uporzadkowana pochod-
nych czastkowych:
gradf = f
0
= (f
0
x
; f
0
y
);
dla funkcji trzech zmiennych f(x; y; z) trojke uporzadkowana:
gradf = f
0
= (f
0
x
; f
0
y
; f
z
):
17
De nicja Funkcja f(x; y; z);
(f(x; y)) jest
ro_zniczkowalna
na zbiorze
D R
3
; (D R
2
) wtedy i tylko wtedy, gdy w ka_zdym punkcie zbioru D
istnieja jej pochodne czaskowe.
De nicja Niech f(x; y; z) bedzie funkcja ro_zniczkowalna na zbiorze D
R
3
. Ro_zniczka zupe lna funkcji f w punkcie (x
o
; y
o
; z
o
) 2 D dla przyrostu
!
h = [x; y; z] nazywamy wyra_zenie postaci:
df(x
o
; y
o
; z
o
)(
!
h ) = gradf(x
o
; y
o
; z
o
)
!
h =
f
0
x
(x
o
; y
o
; z
o
) x + f
0
y
(x
o
; y
o
; z
o
) y + f
0
z
(x
o
; y
o
; z
o
) z:
Dla funkcji dwoch zmiennych:
df(x
o
; y
o
)(
!
h ) = gradf(x
o
; y
o
)
!
h =
f
0
x
(x
o
; y
o
; z
o
) x + f
0
y
(x
o
; y
o
; z
o
) y;
gdzie
!
h = [x; y].
Twierdzenie Niech f(x; y; z) bedzie funkcja ro_zniczkowalna na D R
3
i niech punkty (x
o
; y
o
; z
o
), (x; y; z) 2 D oraz niech
x = x x
o
; y = y y
o
; z = z z
o
;
f(x; y; z) = f(x; y; z) f(x
o
; y
o
; z
o
);
wtedy
f(x; y; z) df(x
o
; y
o
; z
o
)(
!
h ):
De nicja Niech x
o
> 0; y
o
> 0 i f(x
o
; y
o
) > 0 oraz f jest funkcja
ro_zniczkowalna w punkcie (x
o
; y
o
).
Elastycznoscia funkcji f ze wzgledu na
zmienna x w punkcie (x
o
; y
o
)
nazywamy wyra_zenie:
E
x
f(x
o
; y
o
) =
x
o
f
0
x
(x
o
; y
o
)
f(x
o
; y
o
)
Elastycznoscia funkcji f ze wzgledu na zmienna y w punkcie (x
o
; y
o
)
nazy-
wamy wyra_zenie:
E
y
f(x
o
; y
o
) =
y
o
f
0
y
(x
o
; y
o
)
f(x
o
; y
o
)
:
Pochodne rzedu drugiego dla funkcji dwoch i trzech zmiennych
18
De nicja Niech funkcja f(x; y; z); (f(x; y)) okreslona na zbiorze D posi-
ada pochodne czastkowe f
0
x
; f
0
y
; f
0
z
; (f
0
x
; f
0
y
) w obszarze D. Jesli pochodne
czastkowe rzedu pierwszego sa ro_zniczkowalne, to ich pochodne czastkowe
nazywamy
pochodnymi czastkowymi rzedu drugiego funkcji f
.
Dla funkcji dwoch zmiennych mamy cztery pochodne czastkowe rzedu
drugiego:
f
00
xx
=
@
2
f
@x
2
= (f
0
x
)
0
x
=
@
@x
(
@f
@x
);
f
00
yy
=
@
2
f
@y
2
= (f
0
y
)
0
y
=
@
@y
(
@f
@y
);
f
00
xy
=
@
2
f
@y@x
= (f
0
x
)
0
y
=
@
@y
(
@f
@x
);
f
00
yx
=
@
2
f
@x@y
= (f
0
y
)
0
x
=
@
@x
(
@f
@y
):
Dwie ostatnie pochodne rzedu drugiego nazywamy pochodnymi mieszanymi.
Twierdzenie Je_zeli pochodne mieszane istnieja w pewnym obszarze i sa
ciag le w ka_zdym punkcie tego obszaru to sa rowne:
f
00
xy
= f
00
yx
:
Pochodne czastkowe rzedu drugiego tworza macierz, ktora nazywamy
macierza drugiej pochodnej
:
f
00
=
f
00
xx
f
00
xy
f
00
yx
f
00
yy
Dla funkcji trzech zmiennych:
f
00
=
2
4
f
00
xx
f
00
xy
f
00
xz
f
00
yx
f
00
yy
f
00
yz
f
00
zx
f
00
zy
f
00
zz
3
5
Macierz drugiej pochodnej jest macierza symetryczna poniewa_z na mocy
twierdzenia mamy:
f
00
xy
= f
00
yx
; f
00
xz
= f
00
zx
; f
00
yz
= f
00
zy
:
19
Twierdzenie
( Warunek konieczny istnienia ekstremum)
Je_zeli funkcja f(x; y)
(f(x; y; z)) ro_zniczkowalna w obszarze D R
2
(D R
3
) posiada ekstremum
w punkcie P
o
2 D, to wtedy
f
0
x
(P
o
) = 0 ^ f
0
y
(P
o
) = 0 (^ f
0
z
(P
o
) = 0):
Twierdzenie
( Warunek dostateczny istnienia ekstremum)
Je_zeli funkcja
f(x; y) (f(x; y; z)) ro_zniczkowalna w obszarze D R
2
(D R
3
), posiada
ciag le pochodne czastkowe rzedu drugiego i w punkcie P
o
2 D spe lniony jest
warunek konieczny istnienia ekstremum oraz
|
dla funkcji dwoch zmiennych f(x; y)
W (P
o
) =
f
00
xx
(P
o
) f
00
xy
(P
o
)
f
00
yx
(P
o
) f
00
yy
(P
o
)
=
= f
00
xx
(P
o
)f
00
yy
(P
o
) f
00
xy
(P
o
)f
00
yx
(P
o
) > 0
to funkcja f(x; y)
posiada ekstremum
w punkcie P
o
2 D:
a.
maksimum
, gdy f
00
xx
(P
o
) < 0
b.
minimum
, gdy f
00
xx
(P
o
) > 0:
W (P
o
) < 0;
to funkcja f(x; y)
nie posiada ekstremum
w punkcie P
o
2 D.
W (P
o
) = 0;
to twierdzenie
nie rozstrzyga
, czy istnieje ekstremum w punkcie P
o
2 D.
dla funkcji trzech zmiennych f(x; y; z)
W
1
(P
o
) =
f
00
xx
(P
o
) f
00
xy
(P
o
) f
00
xz
(P
o
)
f
00
yx
(P
o
) f
00
yy
(P
o
) f
00
yz
(P
o
)
f
00
zx
(P
o
) f
00
zy
(P
o
) f
00
zz
(P
o
)
=
= f
00
xx
(P
o
)f
00
yy
(P
o
)f
00
zz
(P
o
) + f
00
xy
(P
o
)f
00
yz
(P
o
)f
00
zx
(P
o
)
+f
00
xz
(P
o
)f
00
yx
(P
o
)f
00
zy
(P
o
) f
00
xz
(P
o
)f
00
yy
(P
o
)f
00
zx
(P
o
)
f
00
yz
(P
o
)f
00
zy
(P
o
)f
00
xx
(P
o
) f
00
zz
(P
o
)f
00
xy
(P
o
)f
00
yx
(P
o
)
20
W
2
(P
o
) =
f
00
xx
(P
o
) f
00
xy
(P
o
)
f
00
yx
(P
o
) f
00
yy
(P
o
)
=
= f
00
xx
(P
o
)f
00
yy
(P
o
) f
00
xy
(P
o
)f
00
yx
(P
o
)
W
3
(P
o
) = f
00
xx
(P
o
)
a. W
1
(P
o
) < 0 ^ W
2
(P
o
) > 0 ^ W
3
(P
o
) < 0, to funkcja f(x; y; z)
posiada maksimum
w punkcie P
o
2 D,
b. W
1
(P
o
) > 0 ^ W
2
(P
o
) > 0 ^ W
3
(P
o
) > 0, to funkcja f(x; y; z)
posiada minimum
w punkcie P
o
2 D,
c. W
2
(P
o
) < 0, to funkcja f(x; y; z)
nie posiada ekstremum
w punkcie
P
o
2 D:
d. W
1
(P
o
) > 0 ^ W
2
(P
o
) > 0 ^ W
3
(P
o
) < 0, to funkcja f(x; y; z)
nie
posiada ekstremum
w punkcie P
o
2 D,
e. W
1
(P
o
) < 0 ^ W
2
(P
o
) > 0 ^ W
3
(P
o
) > 0, to funkcja f(x; y; z)
nie
posiada ekstremum
w punkcie P
o
2 D.
21
EKSTREMA LOKALNE WARUNKOWE
Niech 8
i2f1;:::mg
g
i
: X ! R, gdzie X R
n
jest zbiorem otwartym.
Oznaczmy:
G =
2
6
6
6
4
g
1
g
2
...
g
m
3
7
7
7
5
=
g
1
; g
2
; : : : ; g
m
T
Zatem G : X ! R
m
. Zapis
G(x) = 0;
oznacza, _ze 8
i2f1;:::mg
g
i
(x) = 0 Przyjmijmy oznaczenie:
M = fx : x 2 X ^ G(x) = 0g:
DEFINICJA Mowimy, _ze funkcja f ma w punkcie x
o
2 M
maksimum
(minimum) lokalne zwiazane
(warunkiem M) jesli:
9
r>0
8
x2M\K(x
o
;r)
f(x) f(x
o
) (f(x) f(x
o
)):
DEFINICJA Punkt x
o
2 M nazywamy
punktem regularnym zbioru
M
, je_zeli wektory g
0
1
(x
o
); g
0
2
(x
0
); : : : ; g
0
m
(x
o
) sa liniowo niezale_zne.
TWIERDZENIE Punkt x
o
2 M jest punktem regularnym zbioru M,
wiw gdy r(G
0
(x
o
)) = m, gdzie
G
0
(x
o
) =
2
6
6
6
4
@g
1
@x
1
(x
o
) : : :
@g
1
@x
n
(x
o
)
@g
2
@x
1
(x
o
) : : :
@g
2
@x
n
(x
o
)
...
...
...
@g
1
@x
m
(x
o
) : : :
@g
m
@x
n
(x
o
)
3
7
7
7
5
:
DEFINICJA
Funkje L : X ! R okreslona nastepujaco:
L(x; ) = f(x) +
1
g
1
(x) + : : : +
m
g
m
(x);
gdzie = [
1
; : : : ;
m
] nazywamy
funkcja Lagrange'a
dla problemu ek-
stremum warunkowego zadanego funkcja f oraz funkcjami f; g
1
; g
2
; : : : ; g
m
.
Wspo lczynniki
i
2 R dla ka_zdego i = 1; : : : ; m nazywamy
mno_znikami La-
grange'a
lub
czynnikami nieoznaczonymi Lagrange'a
.
22
TWIERDZENIE (
Warunek konieczny istnienia ekstremum warunk-
owego
)
Je_zeli funkcje f; g
1
; g
2
; : : : ; g
m
maja ciag le pochodne czastkowe pierwszego
rzedu x
o
jest punktem regularnym zbioru M, f ma w punkcie x
o
ekstremum
lokalne warunkowe to istnieja sta le
1
;
2
; : : : ;
m
takie, _ze:
8
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
:
@L
@x
1
(x
o
; ) = 0
...
@L
@x
n
(x
o
; ) = 0
@L
@
1
(x
o
; ) = 0
...
@L
@
m
(x
o
; ) = 0
(|)
Oznaczmy macierz drugiej pochodnej:
L
00
(x
o
; )j
x
=
2
6
4
L
00
x
1
x
1
: : : L
00
x
1
x
n
...
...
...
L
00
x
n
x
1
: : : L
00
x
n
x
n
3
7
5
DEFINICJA
Jadrem przekszta lcenia liniowego
G
0
(x
o
) x
T
nazywamy zbior elementow x takich, _ze
G
0
(x
o
) x
T
= 0:
Oznaczmy zbior
H = fx : G
0
(x
o
) x
T
= 0 ^ x 6= 0g
TWIERDZENIE (
Warunek dostateczny istnienia ekstremum warunk-
owego
)
1. Funkcje f; g
1
; g
2
; : : : ; g
m
maja ciag le pochodne czastkowe rzedu drugiego
w lacznie w zbiorze X.
2. x
o
jest punktem regularnym zbioru M.
3. x
o
spe lnia uk lad rownan |.
23
to
a. w przypadku gdy forma kwadratowa zadana macirza L
00
(x
o
; ) jest do-
datnio (ujemnie) okreslona, tzn
8
x2H
L
00
(x
o
; ) > 0 (< 0);
na jadrze przekszta lcenia liniowego o macierzy G
0
(x
o
) to f ma w x
o
minimum (maksimum) lokalne warunkowe
.
b. w przypadku gdy forma kwadratowa zadana macierza L
00
(x
o
; ) jest
nieokreslona na jadrze przekszta lcenia liniowego o macierzy G
0
(x
o
) to
f nie ma w x
o
ekstremum warunkowego.
24