10.06.2009

WydziaÃl Matematyczno Przyrodniczy.
SzkoÃla Nauk ´

ScisÃlych UKSW

dr hab. Krzysztof CheÃlmi´

nski

R´

ownania r´

o ˙zniczkowe zwyczajne - semestr letni 2009

Egzamin pisemny

Nazwisko i imi

,

e:...............................................................

Numer indeksu:....................................

Zadanie 1

Znajd´

z rozwi

,

azanie wysycone r´

ownania Riccatiego

˙

x = x

2

−

2

t

2

,

w zbiorze t > 0

speÃlniaj

,

ace warunek pocz

,

atkowy x(1) = −4 wiedz

,

ac, ˙ze r´

ownanie to posiada rozwi

,

azanie szczeg´

olne w postaci x(t) =

Ct

−1

.

Zadanie 2

Znajd´

z caÃlk

,

e og´

oln

,

a r´

ownania

(t

2

x

3

+ x)dt + (t

3

x

2

− t)dx = 0 , w zbiorze t > 0, x > 0 .

Podaj rozwi

,

azanie szczeg´

olne speÃlniaj

,

ace warunek x(1) = 1.

Wskaz´

owka: szukaj czynnika caÃlkuj

,

acego zale˙znego od tx.

Zadanie 3

Dla dowolnej liczby rzeczywistej a 6= 0 znajd´

z rozwi

,

azanie og´

olne ukÃladu r´

owna´

n liniowych

˙

x

1

=

−ax

2

+ ax

3

,

˙

x

2

=

x

1

+ x

3

,

˙

x

3

=

x

1

+ x

2

.

W zbiorze rozwi

,

aza´

n wska˙z wszystkie rozwi

,

azania stabilne. Odpowied´

z uzasadnij.

Zadanie 4

(a) Znajd´

z wszystkie rozwi

,

azania wysycone r´

ownania

¨

x − 2t ˙

x + t

2

x = t

2

.

(b) Podaj rozwi

,

azanie szczeg´

olne speÃlniaj

,

ace warunki pocz

,

atkowe x(0) = 1 , ˙

x(0) = 0.

Wskaz´

owka: stosuj

,

ac podstawienie x = e

1
2

t

2

z sprowad´

z r´

ownanie jednorodne do r´

ownania o staÃlych wsp´

oÃlczynnikach.

Zadanie 5

Rozwa˙z nast

,

epuj

,

ace zagadnienie pocz

,

atkowe

˙

x = −x

3

− x ,

x(0) = x

0

.

(a) Wyka˙z, ˙ze rozwi

,

azania wysycone w prawo s

,

a zdefiniowane na caÃlej p´

oÃlprostej [0, ∞) oraz s

,

a na tym zbiorze

ograniczone.
(b) Wyka˙z, ˙ze je˙zeli x

0

6= 0 to rozwi

,

azania wysycone w lewo wybuchaj

,

a w sko´

nczonym czasie i podaj oszacowanie

czasu wybuchu rozwi

,

azania w zale˙zno´

sci od x

0

.

Zadanie 6

Rozwa˙z nast

,

epuj

,

ace zagadnienie pocz

,

atkowe z parametrem λ ∈ R

˙

x = x + sin(λx) ,

x(0) = 2009 .

Wyka˙z, ˙ze rozwi

,

azania wysycone tego zagadnienia s

,

a zdefiniowane dla wszystkich t ∈ R oraz, ˙ze dla λ = 0 zachodzi

r´

owno´

s´

c tx(t) =

∂x
∂λ

(t) dla dowolnego t ∈ R.

Zadanie 7

Znajd´

z rozwi

,

azanie nast

,

epuj

,

acego r´

ownania r´

o˙zniczkowego cz

,

astkowego pierwszego rz

,

edu

u(x

1

, x

2

)u

x

1

(x

1

, x

2

) − u

x

2

(x

1

, x

2

) = u(x

1

, x

2

) − 1

speÃlniaj

,

ace warunek u(x

1

, x

1

) = 2x

1

dla dowolnego x

1

∈ R.

˙

Zyczymy powodzenia. Krzysztof CheÃlmi´

nski i ÃLukasz Gle´

n