WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ
II
dr. Elżbieta Kotlicka
Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
Łódź 2006
3
1. Przestrzenie metryczne.
Definicja 1.1.
Przestrzenią metryczną nazywamy parę (X, d), gdzie X
6= ∅ oraz funkcja
d : X
× X → [0, +∞) spełnia następujące warunki:
(1)
∧
x,y
∈X
[d(x, y) = 0
⇔ x = y],
(2)
∧
x,y
∈X
d(x, y) = d(y, x),
(3)
∧
x,y,z
∈X
d(x, y)
¬ d(x, z) + d(z, y).
Elementy zbioru X nazywamy punktami, zas funkcję d – metryką na X. Wartość d(x, y)
nazywamy odległością punktów x i y w metryce d.
Załóżmy dalej, że (X, d) jest dowolną przestrzenią metryczną.
Definicja 1.2.
Kulą (otwartą) o środku w punkcie p
0
∈ X i promieniu r > 0 nazywamy zbiór
K(p
0
, r)
def
=
{p ∈ X : d(p, p
0
) < r
}.
Definicja 1.3.
Niech A
⊂ X.
• Zbiór A nazywamy ograniczonym, gdy jest zawarty w pewnej kuli.
• Średnicą zbioru A nazywamy liczbę
δ(A)
def
= sup
{d(x, y) : x, y ∈ A}.
Definicja 1.4.
Niech p
n
∈ X dla n ∈ N. Ciąg (p
n
)
n
∈N
nazywamy zbieżnym w przestrzeni
metrycznej (X, d) do punktu p
0
∈ X, gdy
lim
n
→∞
d(p
n
, p
0
) = 0.
Zapisujemy wówczas: lim
n
→∞
p
n
= p
0
lub p
n
→ p
0
.
Twierdzenie 1.5.
(a) Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej posiada tylko jedną granicę.
(b) Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ograniczony, tj. ograniczony jest zbiór jego
wartości.
(c) Jeśli ciąg jest zbieżny w przestrzeni metrycznej, to każdy jego podciąg jest zbieżny do tej
samej granicy.
Twierdzenie 1.6.
Niech X = R
n
, n
∈ N. Jeśli p
k
= (x
k
1
, x
k
2
, . . . , x
k
n
)
∈ X dla k ∈ N ∪ {0}, to
lim
k
→∞
p
k
= p
0
⇔
∧
n
∈N
lim
k
→∞
x
k
n
= x
0
n
.
Definicja 1.7.
Niech A
⊂ X.
• Punkt p
0
∈ X nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A, gdy
∨
r>0
K(p
0
, r)
⊂ A.
• Zbiór punktów wewnętrznych zbioru A nazywamy wnętrzem tego zbioru i oznaczamy
przez Int(A).
4
• Mówimy, że zbiór A jest otwarty, gdy każdy punkt zbioru A jest jego punktem wewnętrz-
nym.
Uwaga 1.8. Zbiór A
⊂ X jest otwarty ⇔ A = Int(A).
Twierdzenie 1.9.
Każda kula jest zbiorem otwartym w dowolnej przestrzeni metrycznej.
Definicja 1.10.
Niech p
0
∈ X.
• Otoczeniem U(p
0
) punktu p
0
nazywamy każdy zbiór otwarty zawierający ten punkt.
• Sąsiedztwem S(p
0
) punktu p
0
nazywamy każdy zbiór postaci U (p
0
)
\ {p
0
}.
Definicja 1.11.
Niech A
⊂ X.
• Mówimy, że zbiór A jest domknięty, gdy X \ A jest otwarty.
• Domknięciem zbioru A nazywamy zbiór
A =
{p
0
∈ X : ∧
r>0
K(p
0
, r)
∩ A 6= ∅}.
Twierdzenie 1.12.
Zbiór A
⊂ X jest domknięty ⇔ A = A.
Definicja 1.13.
Brzegiem zbioru A
⊂ X nazywamy zbiór
Fr(A)
def
= A
∩ X \ A.
Uwaga 1.14. Można wykazać, że Fr(A) = A
\ Int(A).
Definicja 1.15.
Niech p
0
∈ X oraz A ⊂ X.
• Mówimy, że punkt p
0
jest punktem skupienia zbioru A, gdy
∧
r>0
K(p
0
, r)
∩ (A \ {p
0
}) 6= ∅.
Zbiór punktów skupienia zbioru A oznaczamy przez A
d
.
• Punkt p
0
nazywamy punktem izolowanym zbioru A, gdy nie jest punktem skupienia
zbioru A.
Uwaga 1.16. Można wykazać, że A = A
∪ A
d
.
Twierdzenie 1.17.
Punkt p
0
∈ X jest punktem skupienia zbioru A ⊂ X wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje ciąg (p
n
)
n
∈N
taki, że
∧
n
∈N
p
n
∈ A \ {p
0
} ∧
lim
n
→∞
p
n
= p
0
.
Definicja 1.18.
Zbiór A
⊂ R
n
, n
∈ N, nazywamy zbiorem spójnym, jeśli jego dwa dowolne
punkty można połączyć łamaną zawartą w A. Na prostej zbiór A jest spójny wtedy i tylko
wtedy, gdy A jest przedziałem.
Uwaga 1.19. Pojęcie zbioru spójnego można wprowadzić w dowolnej przestrzeni metrycznej
w następujący sposób: Zbiór A
⊂ X jest spójny, gdy nie da się przedstawić w postaci sumy
(U
1
∩A)∪(U
2
∩A), gdzie U
1
, U
2
są zbiorami niepustymi i otwartymi takimi, że U
1
∩ U
2
∩ A = ∅.
Definicja 1.20.
Niech n
∈ N. Zbiór otwarty i spójny w R
n
nazywamy obszarem.
2006
−E
K
5
2. Granica i ciągłość funkcji wielu
zmiennych
Niech n
∈ N.
Definicja 2.1.
Funkcję f : A
→ R, gdzie A ⊂ R
n
, nazywamy funkcją rzeczywistą n
zmiennych rzeczywistych.
Definicja 2.2.
Niech f : R
2
→ R.
• Wykresem funkcji f nazywamy zbiór
G(f ) =
{(x, y, z) ∈ R
3
: (x, y)
∈ D
f
∧ z = f(x, y)},
gdzie D
f
oznacza dziedzinę funkcji f .
• Poziomicą funkcji f odpowiadającą poziomowi h ∈ R nazywamy zbiór
{(x, y) ∈ D
f
: f (x, y) = h
}.
Definicja 2.3 (wg Cauchy’ego).
Niech A
⊂ R
n
i p
0
∈ R
n
. Załóżmy, że f : A
→ R oraz p
0
jest
punktem skupienia zbioru A. Liczbę g nazywamy n-krotną granicą właściwą funkcji f w
punkcie p
0
, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
p
∈A
[0 < d(p, p
0
) < δ
⇒ |f(p) − g| < ε].
Zapisujemy lim
p
→p
0
f (p) = g.
Definicja 2.4 (wg Heinego).
Niech A
⊂ R
n
i p
0
∈ R
n
. Załóżmy, że f : A
→ R oraz p
0
jest
punktem skupienia zbioru A. Wówczas lim
p
→p
0
f (p) = g, gdy
∧
(p
n
)
[(p
n
∈ A \ {p
0
} ∧ lim
n
→∞
p
n
= p
0
)
⇒ lim
n
→∞
f (p
n
) = g].
Podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej definiujemy granice niewłaściwe w punkcie.
Uwaga 2.5. Dla n-krotnej granicy funkcji zachodzą twierdzenia o arytmetyce granic funkcji,
twierdzenie o granicy funkcji złożonej oraz twierdzenie o trzech funkcjach analogicznie jak dla
funkcji jednej zmiennej.
Definicja 2.6.
Niech A
⊂ R
2
oraz niech (x
0
, y
0
)
∈ R
2
. Załóżmy, że f : A
→ R, zaś (x
0
, y
0
) jest
punktem skupienia zbioru A. Jeśli istnieją granice
lim
x
→x
0
( lim
y
→y
0
f (x, y)) oraz lim
y
→y
0
( lim
x
→x
0
f (x, y)),
to nazywamy je granicami iterowanymi funkcji f w punkcie (x
0
, y
0
).
Uwaga 2.7. Istnienie granicy podwójnej w punkcie (x
0
, y
0
)
∈ R
2
jest niezależne od istnienia
granic iterowanych. Można jedynie wykazać, że jeśli istnieje granica podwójna i przynajmniej
jedna granica iterowana funkcji f w punkcie (x
0
, y
0
), to granice te są równe.
6
Definicja 2.8.
Niech A
⊂ R
n
, f : A
→ R i p
0
∈ R
n
.
• Funkcja f jest ciągła w punkcie p
0
, gdy
p
0
/
∈ A
d
∨ (p
0
∈ A
d
∧ lim
p
→p
0
f (p) = f (p
0
)).
• Funkcja f jest ciągła na zbiorze A, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
Uwaga 2.9.
1. Każda funkcja n-zmiennych jest ciągła w punktach izolowanych dziedziny.
2. Jeśli funkcja n-zmiennych jest ciągła w punkcie, to jest ciągła ze względu na każdą zmienną
oddzielnie. Stwierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
2.1. Własności funkcji ciągłych.
Niech n
∈ N oraz p
0
∈ R
n
.
Twierdzenie 2.10.
Jeśli funkcje f, g : U (p
0
)
→ R są ciągłe w punkcie p
0
, to funkcje f + g,
f
· g oraz
f
g
(o ile g(p
0
)
6= 0) są również ciągłe w tym punkcie.
Twierdzenie 2.11.
Jeśli funkcje f
1
, f
2
, . . . , f
k
: U (p
0
)
→ R, gdzie k ∈ N, są ciągłe w
punkcie p
0
, zaś funkcja g jest ciągła w q
0
= (f
1
(p
0
), f
2
(p
0
), . . . , f
k
(p
0
)), to funkcja złożona
g(f
1
, f
2
, . . . , f
k
) jest ciągła w p
0
.
Twierdzenie 2.12 (o lokalnym zachowaniu znaku).
Niech p
0
∈ R
n
. Jeśli funkcja
f : U (p
0
)
→ R jest ciągła w punkcie p
0
oraz f (p
0
) > 0, to
∨
U
0
(p
0
)
⊂U(p
0
)
∧
p
∈U
0
(p
0
)
f (p) > 0.
Twierdzenie 2.13 (Weierstrassa – o osiąganiu najmniejszej i największej wartości).
Niech A
⊂ R
n
będzie zbiorem domkniętym i ograniczonym. Jeśli f : A
→ R jest ciągła, to jest
ograniczona na zbiorze A, przy czym istnieją punkty p
1
, p
2
∈ A takie, że
∧
p
∈A
f (p
1
)
¬ f(p) ¬ f(p
2
).
Twierdzenie 2.14 (Darboux – o przyjmowaniu wartości pośrednich).
Niech A
⊂ R
n
będzie zbiorem domkniętym i ograniczonym oraz niech m = inf f [A], M = sup f [A]. Jeśli
f : A
→ R jest ciągła, to
∧
z
∈[m,M]
∨
p
∈A
z = f (p).
Twierdzenie 2.15 (Cantora – o ciągłości jednostajnej).
Niech A
⊂ R
n
będzie zbiorem
domkniętym i ograniczonym. Jeśli f : A
→ R jest ciągła, to f jest jednostajnie ciągła na A,
tzn.
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
p
1
, p
2
∈A
[d(p
1
, p
2
) < δ
⇒
|f(p
1
)
− f(p
2
)
| < ε].
Twierdzenie 2.16.
Niech A
⊂ R
n
będzie zbiorem spójnym. Jeśli funkcja f : A
→ R jest ciągła,
to zbiór f [A] jest spójny w R.
2006
−E
K
7
3. Rachunek różniczkowy funkcji
wielu zmiennych
Niech n
∈ N oraz niech A będzie otwartym podzbiorem R
n
.
3.1. Definicja i podstawowe własności pochod-
nej kierunkowej.
Definicja 3.1.
Niech p
0
∈ A, h ∈ R
n
oraz f : A
→ R. Rozważmy zbiór otwarty w R
U =
{t ∈ R \ {0} : p
0
+ th
∈ A}
oraz funkcję F : U
→ R daną wzorem
F (t)
def
=
f (p
0
+ th)
− f(p
0
)
t
dla t
∈ U.
Jeśli istnieje skończona granica lim
t
→0
F (t), to nazywamy ją pochodną kierunkową funkcji f
w punkcie p
0
w kierunku wektora h. Zapisujemy
f
0
h
(p
0
)
def
= lim
t
→0
f (p
0
+ th)
− f(p
0
)
t
.
Definicja 3.2.
Niech h
∈ R
n
oraz f : A
→ R. Niech D ⊂ A będzie zbiorem punktów w których
istnieje pochodna kierunkowa funkcji f w kierunku wektora h. Funkcję
D p
7→ f
0
h
(p)
nazywamy pochodną kierunkową funkcji f w kierunku wektora h.
Uwaga 3.3. (Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej dla n = 2.) Niech
h = [h
1
, h
2
]
∈ R
2
, p
0
= (x
0
, y
0
)
∈ A oraz f : A → R. Oznaczmy przez k prostą styczną
do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju powierzchni z = f (x, y) płaszczyzną zawierającą
punkt (x
0
, y
0
, 0) oraz równoległą do wektorów [h
1
, h
2
, 0] i e
3
= [0, 0, 1]. Wówczas
f
0
h
(x
0
, y
0
) = tg γ,
gdzie γ oznacza kąt nachylenia prostej k do płaszczyzny Oxy.
Twierdzenie 3.4.
Niech p
0
∈ A oraz f : A → R. Weźmy h
1
, h
2
∈ R
n
oraz α
∈ R. Wówczas
a) jeśli w punkcie p
0
istnieje pochodna w kierunku wektora h
1
, to w punkcie tym istnieje
również pochodna w kierunku wektora αh
1
i zachodzi równość
f
0
αh
1
(p
0
) = α f
0
h
1
(p
0
);
b) jeśli w punkcie p
0
istnieją pochodne w kierunku wektorów h
1
, h
2
oraz przynajmniej jedna
z nich jest funkcją ciągłą w p
0
, to w punkcie tym istnieje również pochodna w kierunku
wektora h
1
+ h
2
i zachodzi równość
f
0
h
1
+h
2
(p
0
) = f
0
h
1
(p
0
) + f
0
h
2
(p
0
).
Uwaga 3.5. Bez założenia ciągłości równość w części b) może nie zachodzić.
8
3.2. Definicja i podstawowe własności pochod-
nych cząstkowych.
Dla ustalonego i
∈ {1, . . . , n} oznaczmy przez e
i
wersor i-tej osi. Ponadto niech x
i
umownie
oznacza i-tą zmienną funkcji określonej w przestrzeni R
n
.
Definicja 3.6.
Niech p
0
∈ A oraz f : A → R. Pochodną kierunkową f
0
e
i
(p
0
) (o ile istnie-
je) nazywamy pochodną cząstkową funkcji f w punkcie p
0
względem i-tej zmiennej.
Oznaczamy ją przez f
0
xi
(p
0
) lub
∂f
∂x
i
(p
0
).
Uwaga 3.7. Istnienie pochodnych cząstkowych funkcji f w punkcie nie zapewnia ciągłości
funkcji w tym punkcie.
Definicja 3.8.
Niech p
0
∈ A oraz f : A → R. Gradientem funkcji f w punkcie p
0
nazywamy wektor
∇f(p
0
)
def
= [f
0
x1
(p
0
), . . . , f
0
xn
(p
0
)].
Twierdzenie 3.9.
Niech p
0
∈ A oraz f : A → R. Jeśli pochodne cząstkowe f
0
xi
, i
∈ {1, . . . , n},
są ciągłe w punkcie p
0
, to istnieje pochodna kierunkowa funkcji f w p
0
w kierunku dowolnego
wektora h
∈ R
n
oraz
f
0
h
(p
0
) =
∇f(p
0
)
◦ h.
Uwaga 3.10.
1. Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie.
2. Dla n = 2 gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji przechodzącej
przez ten punkt.
3.3. Różniczkowalność funkcji wielu zmiennych.
Dla ustalonego wektora h = [h
1
, . . . , h
n
]
∈ R
n
niech
khk
def
=
q
h
2
i
.
Definicja 3.11.
Niech p
0
∈ A oraz f : A → R. Jeśli istnieją pochodne cząstkowe f
0
xi
(p
0
) dla
i
∈ {1, . . . , n} oraz
lim
h
→0
f (p
0
+ h)
− f(p
0
)
− ∇f(p
0
)
◦ h
khk
= 0,
to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p
0
.
Definicja 3.12.
Niech p
0
∈ A oraz f : A → R. Załóżmy, że funkcja f posiada pochodną
kierunkową f
0
h
(p
0
) w kierunku dowolnego wektora h
∈ R
n
. Różniczką funkcji f w punkcie
p
0
nazywamy funkcję df (p
0
) określoną wzorem
df (p
0
)(h)
def
= f
0
h
(p
0
)
dla h
∈ R
n
.
2006
−E
K
9
Jeśli f posiada pochodne cząstkowe ciągłe w punkcie p
0
, to funkcję df (p
0
) nazywamy różniczką
zupełną i zachodzi równość
df (p
0
)(h) =
∇f(p
0
)
◦ h dla h ∈ R
n
.
Uwaga 3.13. (Interpretacja geometryczna funkcji różniczkowalnej w punkcie dla
n = 2.)
Jeśli funkcja f : A
→ R jest różniczkowalna w punkcie p
0
= (x
0
, y
0
)
∈ A, to
istnieje płaszczyzna styczna do wykresu funkcji w punkcie (x
0
, y
0
, f (x
0
, y
0
)) (płaszczyzna ta
jest prostopadła do wektora [f
0
x
(x
0
, y
0
), f
0
y
(x
0
, y
0
),
−1]).
Twierdzenie 3.14 (Warunek konieczny różniczkowalności funkcji).
Jeśli funkcja f : A
→ R
jest różniczkowalna w punkcie p
0
∈ A, to jest ciągła w tym punkcie.
Uwaga 3.15. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Twierdzenie 3.16 (Warunek wystarczający różniczkowalności funkcji).
Jeśli funkcja
f : A
→ R posiada na zbiorze A pochodne cząstkowe f
0
xi
, i
∈ {1, . . . , n}, ciągłe w punkcie
p
0
∈ A, to f jest różniczkowalna w punkcie p
0
.
Uwaga 3.17. Ciągłość pochodnych cząstkowych nie jest jednak warunkiem koniecznym róż-
niczkowalności funkcji.
3.4. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Wzór
Taylora dla funkcji wielu zmiennych.
Definicja 3.18.
Niech p
0
∈ A oraz f : A → R. Załóżmy, że na pewnym otoczniu punktu p
0
istnieją pochodne cząstkowe f
0
xi
, i
∈ {1, . . . , n}. Wówczas pochodne cząstkowe drugiego
rzędu funkcji f w punkcie p
0
określamy wzorami:
∧
i,j
∈{1,... ,n}
f
00
x
i
x
j
(p
0
)
def
= (f
0
x
i
)
0
x
j
(p
0
).
Jeśli i = j, to zamiast f
00
x
i
x
j
piszemy f
00
x
2
i
. Pochodne f
00
x
i
x
j
oznaczamy też symbolem
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
.
W przypadku gdy i
6= j, pochodne f
00
x
i
x
j
nazywamy pochodnymi czątkowymi mieszanymi
drugiego rzędu.
Uwaga 3.19.
1. W analogiczny sposób definiujemy pochodne cząstkowe wyższych rzędów.
2. Niech h
1
, h
2
∈ R
n
. Jeśli funkcja f posiada na pewnym otoczniu punktu p
0
pochodną
kierunkową f
0
h
1
, to pochodną kierunkową drugiego rzędu w kierunku wektorów h
1
, h
2
definiujemy następująco:
f
00
h
1
,h
2
(p
0
)
def
= (f
0
h
1
)
0
h
2
(p
0
).
Twierdzenie 3.20 (Schwarza).
Niech i, j
∈ {1, . . . , n}. Jeśli funkcja f : A → R posiada w
zbiorze A pochodne cząstkowe drugiego rzędu f
x
i
x
j
i f
x
j
x
i
ciągłe w punkcie p
0
∈ A, to
f
00
x
i
x
j
(p
0
) = f
00
x
j
x
i
(p
0
).
10
Definicja 3.21.
Niech p
0
∈ A, f : A → R oraz k ∈ N. Załóżmy, że funkcja f posiada pochodne
cząstkowe k-tego rzędu ciągłe w punkcie p
0
. Funkcję d
(k)
f (p
0
) określoną wzorem
d
(k)
f (p
0
)(h)
def
= f
(k)
h,... ,h
(p
0
)
dla h
∈ R
n
,
nazywamy różniczką k-tego rzędu funkcji f w punkcie p
0
.
Dla ustalonych p, h
∈ R
n
niech [p, p + h]
def
=
{p + th : t ∈ [0, 1]}.
Twierdzenie 3.22 (wzór Taylora).
Niech p
0
∈ A, f : A → R oraz k ∈ N. Załóżmy, że
funkcja f posiada w A ciągłe pochodne cząstkowe k-tego rzędu. Wówczas dla każdego h
∈ R
n
,
dla którego [p
0
, p
0
+ h]
⊂ A, istnieje θ ∈ [0, 1] takie, że
f (p
0
+ h) = f (p
0
) +
df (p
0
)(h)
1!
+
· · · +
d
(k
−1)
f (p
0
)(h)
(k
− 1)!
+
f
(k)
(p + θh)(h)
k!
.
3.5. Ekstrema lokalne i globalne funkcji.
Definicja 3.23 (ekstrema lokalne).
Mówimy, że funkcja f : A
→ R ma w punkcie p
0
∈ A
• maksimum lokalne, gdy
∨
S(p
0
)
∧
p
∈S(p
0
)
∩A
f (p)
¬ f(p
0
);
• minimum lokalne, gdy
∨
S(p
0
)
∧
p
∈S(p
0
)
∩A
f (p)
f(p
0
).
Jeśli w powyższych warunkach nierówności ”
¬” i ”” zastąpić odpowiednio przez ”<” i
”>”, to otrzymamy definicje maksimum i minimum lokalnego właściwego.
Definicja 3.24 (ekstrema globalne).
Mówimy, że funkcja f : A
→ R ma w punkcie p
0
∈ A
• maksimum globalne, gdy
∧
p
∈A
f (p)
¬ f(p
0
);
• minimum globalne, gdy
∧
p
∈A
f (p)
f(p
0
).
Twierdzenie 3.25 (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego).
Niech p
0
∈ A
oraz f : A
→ R. Jeśli funkcja f ma w punkcie p
0
ekstremum lokalne i istnieją wszystkie
pochodne cząstkowe f
0
x
i
(p
0
), to
∇f(p
0
) = 0.
Uwaga 3.26. Jeśli funkcja f ma w punkcie p
0
ekstremum lokalne i istnieje pochodna kierun-
kowa f
0
h
(p
0
) w kierunku wektora h
∈ R
n
, to f
0
h
(p
0
) = 0.
Twierdzenie 3.27.
Niech A będzie ograniczonym i domkniętym podzbiorem R
n
. Załóżmy, że
funkcja f : A
→ R jest ciągła w A i oznaczmy przez
A
1
=
{p ∈ Int(A) :
∧
i
∈{1,... ,n}
f
0
x
i
(p) = 0
},
A
2
=
{p ∈ Int(A) :
∨
i
∈{1,... ,n}
f
0
x
i
(p) nie istnieje
}.
2006
−E
K
11
Wówczas
sup
{f(p) : p ∈ A} = sup{f(p) : p ∈ Fr(A) ∪ A
1
∪ A
2
},
inf
{f(p) : p ∈ A} = inf{f(p) : p ∈ Fr(A) ∪ A
1
∪ A
2
}.
Twierdzenie 3.28 (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego).
Załóżmy,
że funkcja f : A
→ R posiada na pewnym otoczeniu U(p
0
) punktu p
0
∈ A ciągłe pochodne
cząstkowe drugiego rzędu oraz
∇f(p
0
) = 0. Dla ustalonego k
∈ {1, . . . , n} oznaczmy przez
w
k
(p
0
)
def
= det[f
00
x
i
x
j
(p
0
)]
i,j
¬k
. Wówczas
a) jeśli w
k
(p
0
) > 0 dla wszystkich k
∈ {1, . . . , n}, to f ma w p
0
minimum lokalne właściwe;
b) jeśli (
−1)
k
w
k
(p
0
) > 0 dla wszystkich k
∈ {1, . . . , n}, to f ma w p
0
maksimum lokalne
właściwe;
c) jeśli w
k
0
(p
0
) < 0 dla pewnego parzystego k
0
∈ {1, . . . , n}, to f nie posiada w p
0
ekstremum
lokalnego.
Uwaga 3.29. W pozostałych przypadkach twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu ekstremów
lokalnych.
12
3.6. Pochodne cząstkowe funkcji wektorowych
i funkcji złożonych.
Niech n, k
∈ N oraz niech A ⊂ R
n
będzie zbiorem otwartym.
Definicja 3.30.
Funkcję F : A
→ R
k
nazywamy funkcją wektorową.
Uwaga 3.31. Każdą funkcję wektorową F : A
→ R
k
można zapisać w postaci
F (p) = [f
1
(p), f
2
(p), . . . , f
k
(p)],
p
∈ A,
gdzie f
1
, f
2
, . . . , f
k
: A
→ R. Ponadto dla dowolnego p
0
∈ A
d
lim
p
→p
0
F (p) = [ lim
p
→p
0
f
1
(p), lim
p
→p
0
f
2
(p), . . . , lim
p
→p
0
f
k
(p)],
oraz dla dowolnego p
0
∈ A i h ∈ R
n
F
0
h
(p
0
) = [(f
1
)
0
h
(p
0
), (f
2
)
0
h
(p
0
), . . . , (f
k
)
0
h
(p
0
)].
Definicja 3.32.
Niech F : A
→ R
k
oraz F = [f
1
, f
2
, . . . , f
k
]. Jeśli funkcje f
i
, gdzie i
∈ {1, . . . , k},
posiadają w punkcie p
0
∈ A pochodne cząstkowe (f
i
)
0
x
j
(p
0
) dla j
∈ {1, . . . , n}, to macierz
[(f
i
)
0
x
j
(p
0
)]
i
¬k,
j
¬n
nazywamy macierzą Jacobiego funkcji F w punkcie p
0
.
W przypadku gdy n = k wyznacznik tej macierzy nazywamy jakobianem funkcji F w punkcie
p
0
i oznaczamy przez
J
F
(p
0
)
def
= det[(f
i
)
0
x
j
(p
0
)]
i
¬k,
j
¬n
.
Twierdzenie 3.33 (o pochodnej funkcji złożonej).
Niech D
⊂ R
k
będzie zbiorem otwar-
tym. Załóżmy, że g : D
→ R, [f
1
, f
2
, . . . , f
k
] = F : (a, b)
→ R
k
oraz F [(a, b)]
⊂ D. Jeśli
funkcja g posiada w D ciągłe pochodne cząstkowe g
0
x
i
dla i
∈ {1, . . . , k}, zaś funkcje f
i
, gdzie
i
∈ {1, . . . , k}, są różniczkowalne na (a, b), to funkcja złożona g ◦ F jest różniczkowalna na
(a, b), przy czym
^
x
∈(a,b)
(g
◦ F )
0
(x) =
k
X
i=1
g
0
x
i
(F (x))f
i
0
(x).
Twierdzenie 3.34 (o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej).
Niech A
⊂ R
n
oraz
D
⊂ R
k
będą zbiorami otwartymi. Załóżmy, że g : D
→ R, [f
1
, f
2
, . . . , f
n
] = F : A
→ R
k
oraz
F [A]
⊂ D. Jeśli funkcja g posiada w D ciągłe pochodne cząstkowe g
0
x
i
dla i
∈ {1, . . . , k}, zaś
funkcje f
i
, gdzie i
∈ {1, . . . , k}, mają w A ciągłe pochodne cząstkowe (f
i
)
0
x
j
dla j
∈ {1, . . . , n},
to funkcja złożona g
◦ F ma w A pochodne cząstkowe, przy czym
^
p
∈A
^
j
∈{1,... ,n}
(g
◦ F )
0
x
j
(p) =
k
X
i=1
g
0
x
i
(F (p))(f
i
)
0
x
j
(p).
2006
−E
K
13
3.7. Funkcja uwikłana.
Niech A
⊂ R
2
będzie zbiorem otwartym.
Definicja 3.35.
Niech F : A
→ R będzie funkcją ciągłą na A. Każdą funkcję ciągłą f : (a, b) → R
taką, że dla każdego x
∈ (a, b) równanie
F (x, y) = 0,
(
∗)
ma rozwiązanie y = f (x) nazywamy funkcją uwikłaną (względem x) wyznaczoną przez rów-
nanie (
∗).
Analogicznie definiujemy funkcję uwikłaną względem y.
Twierdzenie 3.36 (o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej).
Załóżmy, że funkcja F : A
→ R posiada ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na pewnym
otoczeniu V punktu p
0
= (x
0
, y
0
) takiego, że
(1) F (p
0
) = 0,
(2) F
0
y
(p
0
)
6= 0.
Wówczas na pewnym otoczeniu U (x
0
) istnieje jednoznacznie określona funkcja uwikłana f
(względem x) spełniająca warunki:
a)
^
x
∈U(x
0
)
F (x, f (x)) = 0,
b) f (x
0
) = y
0
,
c)
^
x
∈U(x
0
)
f
0
(x) =
−
F
0
x
(x, f (x))
F
0
y
(x, f (x))
.
Uwaga 3.37. Jeśli ponadto funkcja F posiada ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu na
otoczeniu V , to funkcja uwikłana f jest dwukrotnie różniczkowalna na U (x
0
) oraz
^
x
∈U(x
0
)
f
00
(x) =
−
F
00
xx
(p)(F
0
y
)
2
(p)
− 2F
00
xy
(p)F
0
x
(p)F
0
y
(p) + F
00
yy
(p)(F
0
x
)
2
(p)
(F
0
y
)
3
(p)
, gdzie p =(x, f (x)).
Twierdzenie 3.38 (o ekstremach lokalnych funkcji uwikłanej).
Załóżmy, że funkcja F : A
→ R posiada ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu na pewnym
otoczeniu V punktu p
0
= (x
0
, y
0
) oraz
(1) F (p
0
) = 0, F
0
y
(p
0
)
6= 0,
(2) F
0
x
(p
0
) = 0,
(3) I(p
0
) =
−
F
00
xx
(p
0
)
F
0
y
(p
0
)
6= 0.
Wówczas funkcja uwikłana f wyznaczona przez równanie (
∗) posiada w punkcie x
0
ekstremum
lokalne o wartości y
0
, przy czym jest to
• minimum lokalne, gdy I(p
0
) > 0 oraz
• maksimum lokalne, gdy I(p
0
) < 0.
Uwaga 3.39. Analogiczne twierdzenia zachodzą dla funkcji uwikłanej względem y.
14
3.8. Ekstrema warunkowe.
Niech A
⊂ R
2
będzie zbiorem otwartym.
Definicja 3.40 (ekstrema warunkowe lokalne).
Mówimy, że funkcja f : A
→ R ma w punkcie p
0
∈ A
• maksimum lokalne z warunkiem g(p) = 0, gdy
_
S(p
0
)
⊂A
^
p
∈S(p
0
)
[g(p) = 0
⇒ f(p) ¬ f(p
0
)],
• minimum lokalne z warunkiem g(p) = 0, gdy
_
S(p
0
)
⊂A
^
p
∈S(p
0
)
[g(p) = 0
⇒ f(p) f(p
0
)].
Jeśli w powyższych warunkach nierówności ”
¬” i ”” zastąpić odpowiednio przez ”<” i
”>”, to otrzymamy definicje ekstremów lokalnych właściwych.
Uwaga 3.41. W podobny sposób definiujemy również ekstrema warunkowe globalne.
2006
−E
K
Document Outline
- 1. Przestrzenie metryczne.
- 2. Granica i ciaglosc funkcji wielu zmiennych
- 3. Rachunek rózniczkowy funkcji wielu zmiennych
- 3.1. Definicja i podstawowe wlasnosci pochodnej kierunkowej.
- 3.2. Definicja i podstawowe wlasnosci pochodnych czastkowych.
- 3.3. Rózniczkowalnosc funkcji wielu zmiennych.
- 3.4. Pochodne czastkowe wyzszych rzedów. Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych.
- 3.5. Ekstrema lokalne i globalne funkcji.
- 3.6. Pochodne czastkowe funkcji wektorowych i funkcji zlozonych.
- 3.7. Funkcja uwiklana.
- 3.8. Ekstrema warunkowe.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
AMII 2007 wyklad 4 6
AMII, am2.4, WYKŁAD 4
Test ze statystyki 2007 (z wykładu), 1)
wyklad 2 22.10.2007, wyklady - dr krawczyk
wyklad 8 3.12.2007, wyklady - dr krawczyk
wyklad 7 26.11.2007, wyklady - dr krawczyk
wyklad 1 5.10.2007, wyklad - prof olejniczak szalowska
Prawo budowlane, 17.04.2007 Wykład Prawo Budowlane, ---- brakuje 2,3 min
Osteologia 6 XI 2007 (wykład 2), Archeo, OSTEOLOGIA
dyrektor 28XI 2007, wykłady - dyrektor
handlowe-prominska, 20.12.2007, Wykład z 20
program 2007[1], Wykłady
4 wyklad 20. 11. 2007, wykłady, organizacja i zarządzanie
wyklad 4 9.11.2007, wyklad - prof olejniczak szalowska
Fizykochemia materiałów wstęp 2007 wykład(1)
wyklad 1 15.10.2007, wyklady - dr krawczyk
wyklad 1 15.10.2007, wyklady - dr krawczyk
1 wyklad z dn. 06.10.2007, wykłady, organizacja i zarządzanie
więcej podobnych podstron