4. Rachunek całkowy funkcji wielu

zmiennych

4.1. Definicja całki podwójnej w sensie Rie-

manna.

Niech I = (a

1

, b

1

)

× (a

2

, b

2

), gdzie a

1

, b

1

, a

2

, b

2

∈ R oraz a

1

< b

1

i a

2

< b

2

.

Oznaczenia stosowane w definicji całki podwójnej:

• Podziałem prostokąta I nazywamy zbiór prostokątów P

n

=

{R

i

}

i

¬n

, n

∈ N, taki że

I =

n

[

i=1

R

i

oraz

V

i,j

∈{1,2,... ,n}, i6=j

Int(R

i

)

∩ Int(R

j

) =

∅.

• Średnicą podziału P

n

nazywamy liczbę

δ(P

n

)

def

= max

{δ(R

i

) : i

∈ {1, 2, . . . , n}}.

• Zbiór punktów pośrednich podziału P

n

:

T

n

=

{t

i

}

i

¬n

,

gdzie

V

i

∈{1,2,... ,n}

t

i

∈ R

i

.

Definicja 4.1.

Ciąg podziałów (P

n

) prostokąta I nazywamy normalnym, gdy lim

n

→∞

δ(P

n

) = 0.

Definicja 4.2.

Niech f : I

→ R będzie funkcją ograniczoną, zaś P

n

− dowolnym podziałem

prostokąta I. Sumą całkową odpowiadającą podziałowi P

n

i zbiorowi punktów pośrednich T

n

nazywamy liczbę

S(f, P

n

, T

n

)

def

=

n

X

i=1

f (t

i

)

|R

i

| ,

gdzie

|R

i

| oznacza pole prostokąta R

i

.

Definicja 4.3.

Niech f : I

→ R będzie funkcją ograniczoną. Jeśli dla dowolnego normalnego

ciągu podziałów (P

n

) prostokąta I oraz dowolnego ciągu zbiorów punktów pośrednich (T

n

)

istnieje właściwa granica lim

n

→∞

S(f, P

n

, T

n

) i granica ta nie zależy od sposobu wyboru tych ciągów,

16

to nazywamy ją całką podwójną w sensie Riemanna z funkcji f na prostokącie I.
Zapisujemy

ZZ

I

f (x, y) dxdy

def

= lim

n

→∞

S(f, P

n

, T

n

)

i mówimy, że f jest całkowalna w sensie Riemanna na prostokącie I.

Definicja 4.4.

Niech D

⊂ R

2

będzie zbiorem ograniczonym, zaś I – dowolnym prostokątem

zawierającym D. Niech f : D

→ R będzie funkcją ograniczoną. Mówimy, że f jest całkowalna

w sensie Riemanna na zbiorze D, jeśli funkcja

f

?

(x, y) =

(

f (x, y), (x, y)

∈ D,

0,

(x, y)

∈ I \ D,

jest całkowalna w sensie Riemanna na prostokącie I.

Uwaga 4.5. Wartość całki

ZZ

I

f

?

(x, y) dxdy nie zależy od wyboru prostokąta I. Możemy więc

przyjąć, że

ZZ

D

f (x, y) dxdy

def

=

ZZ

I

f

?

(x, y) dxdy.

Uwaga 4.6. Niech n

∈ N, zaś I

n

= (a

1

, b

1

)

× (a

2

, b

2

)

× · · · × (a

n

, b

n

), gdzie a

i

, b

i

∈ R oraz

a

i

< b

i

dla każdego i

∈ {1, 2, . . . , n}. Analogicznie definiujemy całkę n-krotną z funkcji ograni-

czonej określonej na zbiorze I

n

, a następnie całkę n-krotną z funkcji ograniczonej określonej na

dowolnym ograniczonym zbiorze D

⊂ R

n

.

Uwaga 4.7. Rodzinę funkcji całkowalnych w sensie Riemanna na ograniczonym zbiorze D

⊂

R

n

oznaczamy przez

R(D).

4.2. Własności całki podwójnej.

Niech D

⊂ R

2

będzie zbiorem ograniczonym.

Twierdzenie 4.8 (warunek konieczny całkowalności).

Jeśli funkcja f : D

→ R jest

całkowalna na D, to jest na tym zbiorze ograniczona.

Twierdzenie 4.9 (liniowość całki Riemanna).

Jeśli funkcje f, g

∈ R(D), to

a) f + g

∈ R(D) oraz

ZZ

D

(f (x, y) + g(x, y)) dxdy =

ZZ

D

f (x, y) dxdy +

ZZ

D

g(x, y) dxdy;

b) kf

∈ R(D) dla dowolnej liczby k ∈ R oraz

ZZ

D

kf (x, y) dxdy = k

ZZ

D

f (x, y) dxdy.

2006

−E

K

17

Twierdzenie 4.10 (addytywność całki Riemanna względem obszarów całkowania).

Niech

D = D

1

∪ D

2

oraz Int(D

1

)

∩ Int(D

2

) =

∅.

Wówczas funkcja f

∈ R(D) wtedy i tylko wtedy, gdy f ∈ R(D

1

)

∩ R(D

2

), przy czym zachodzi

równość

ZZ

D

f (x, y) dxdy =

ZZ

D

1

f (x, y) dxdy +

ZZ

D

2

f (x, y) dxdy.

Twierdzenie 4.11.

Jeśli funkcje f, g

∈ R(D) oraz

V

(x,y)

∈D

f (x, y)

¬ g(x, y),

to

ZZ

D

f (x, y) dxdy

¬

ZZ

D

g(x, y) dxdy.

Twierdzenie 4.12.

Jeśli f

∈ R(D), to |f| ∈ R(D) oraz








ZZ

D

f (x, y) dxdy








¬

ZZ

D

|f(x, y)| dxdy.

Uwaga 4.13. Analogiczne własności zachodzą dla funkcji n-krotnie całkowalnych określonych
na dowolnych ograniczonych zbiorach D

⊂ R

n

.

Definicja 4.14.

Mówimy, że obszar D

⊂ R

2

jest

• normalny względem osi Ox, gdy

D =

{(x, y) ∈ R

2

: a

¬ x ¬ b ∧ h(x) ¬ y ¬ g(x)},

gdzie h, g są funkcjami ciągłymi na [a, b] oraz h(x) < g(x) dla każdego x

∈ (a, b);

• normalny względem osi Oy, gdy

D =

{(x, y) ∈ R

2

: c

¬ y ¬ d ∧ p(y) ¬ x ¬ q(y)},

gdzie p, q są funkcjami ciągłymi na [c, d] oraz p(y) < q(y) dla każdego y

∈ (c, d);

• regularny, gdy jest sumą skończonej ilości obszarów normalnych o parami rozłącznych

wnętrzach.

Twierdzenie 4.15.

Jeśli f jest całkowalna na regularnym zbiorze D oraz istnieją liczby m, M

∈

R

takie, że

V

(x,y)

∈D

m

¬ f(x, y) ¬ M,

to

m

|D| ¬

ZZ

D

f (x, y) dxdy

¬ M |D| .

Wniosek 4.16.

18

Twierdzenie 4.17.

Jeśli f

∈ R(D) oraz g jest funkcją ograniczoną na D, różniącą się od

funkcji f tylko na zbiorze będącym sumą skończonej ilości łuków zawartych w D i będących
wykresami ciągłych funkcji y = y(x) lub x = x(y), to g

∈ R(D) oraz

ZZ

D

g(x, y) dxdy =

ZZ

D

f (x, y) dxdy.

Twierdzenie 4.18 (warunek wystarczający całkowalności).

Jeśli funkcja f : D

→ R jest

ciągła na regularnym zbiorze D, to jest na tym zbiorze całkowalna.

Uwaga 4.19. W powyższym twierdzeniu wystarczy założyć, że f jest ciągła na zbiorze D
z wyjątkiem skończonej ilości łuków zawartych w D i będących wykresami ciągłych funkcji
y = y(x) lub x = x(y).

Twierdzenie 4.20 (całkowe o wartości średniej).

Jeśli funkcja f : D

→ R jest ciągła na

regularnym zbiorze D, to

W

(x

0

,y

0

)

∈D

f (x

0

, y

0

) =

1

|D|

ZZ

D

f (x, y) dxdy.

Liczbę

f

´

sr

def

=

1

|D|

ZZ

D

f (x, y) dxdy

nazywamy wartością średnią funkcji f na zbiorze D.

4.3. Metody obliczania całek podwójnych.

Twierdzenie 4.21 (o zamianie całki podwójnej na iterowaną).

Niech f będzie funkcją

ciągłą na zbiorze D

⊂ R

2

. Wówczas

a) jeśli D jest zbiorem normalnym względem osi Ox, to

ZZ

D

f (x, y) dxdy =

b

Z

a






g(x)

Z

h(x)

f (x, y)dy






dx;

b) jeśli D jest zbiorem normalnym względem osi Oy, to

ZZ

D

f (x, y) dxdy =

d

Z

c






q(y)

Z

p(y)

f (x, y)dx






dy.

Wniosek 4.22.

2006

−E

K

19

Twierdzenie 4.23 (o zamianie zmiennych w całce podwójnej).

Załóżmy, że

(1) ∆

⊂ R

2

jest obszarem regularnym,

(2) funkcje Φ, Ψ posiadają ciągłe pochodne cząstkowe na pewnym zbiorze otwartym U zawiera-

jącym ∆,

(3) odwzorowanie T = [Φ, Ψ] : U

→ R

2

jest różnowartościowe na zbiorze Int(∆),

(4) J

T

(u, v)

6= 0 dla każdego (u, v) ∈ Int(∆),

(5) D = T [∆] jest obszarem regularnym,
(6) funkcja f : D

→ R jest ciągła.

Wówczas zachodzi wzór

ZZ

D

f (x, y) dxdy =

ZZ

∆

f (Φ(u, v), Ψ(u, v))

|J

T

(u, v)

| dudv.

Definicja 4.24.

Niech p

∈ R

2

\ {(0, 0)}. Parę liczb (r, ϕ) ∈ (0, +∞) × [0, 2π), gdzie

r – oznacza odległość punktu p od punktu (0, 0),

ϕ – oznacza miarę kąta między dodatnią półosią Ox a promieniem wodzącym punktu p,

nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu p. Dla punktu (x, y) = (0, 0) przyjmuje-
my (r, ϕ) = (0, 0).

Uwaga 4.25. Jeśli punkt p ma współrzędne biegunowe (r, ϕ), to jego współrzędne kartezjańskie
określone są wzorami:

(

x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ.

Definicja 4.26.

Przekształcenie T

B

: [0, +

∞) × [0, 2π] → R

2

takie, że

T

B

(r, ϕ)

def

= [r cos ϕ, r sin ϕ],

nazywamy przekształceniem biegunowym.

Własności przekształcenia T

B

:

Twierdzenie 4.27.

Załóżmy, że

(1) ∆

⊂ R

2

jest obszarem regularnym,

(2) D = T

B

[∆],

(3) funkcja f : D

→ R jest ciągła.

Wówczas

ZZ

D

f (x, y) dxdy =

ZZ

∆

f (r cos ϕ, r sin ϕ)r drdϕ.

20

4.4. Metody obliczania całek potrójnych.

Definicja 4.28.

Mówimy, ze obszar V

⊂ R

3

jest

• normalny względem płaszczyzny Oxy, gdy

V =

{(x, y, z) ∈ R

3

: (x, y)

∈ D

xy

∧ h(x, y) ¬ z ¬ g(x, y)},

gdzie h, g są funkcjami ciągłymi na regularnym obszarze D

xy

⊂ R

2

oraz h(x, y) < g(x, y)

dla każdego (x, y)

∈ D

xy

;

• normalny względem płaszczyzny Oyz, gdy

V =

{(x, y, z) ∈ R

3

: (y, z)

∈ D

yz

∧ p(y, z) ¬ x ¬ q(y, z)},

gdzie p, q są funkcjami ciągłymi na regularnym obszarze D

yz

⊂ R

2

oraz p(y, z) < q(y, z)

dla każdego (y, z)

∈ D

yz

;

• normalny względem płaszczyzny Oxz, gdy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• regularny, gdy jest sumą skończonej ilości obszarów normalnych o parami rozłącznych

wnętrzach.

Twierdzenie 4.29.

Jeśli funkcja f : V

→ R jest ciągła, zaś obszar ⊂ R

3

jest normalny

względem płaszczyzny Oxy i określony podobnie jak w definicji 4.28 , to

ZZZ

V

f (x, y, z) dxdydz =

ZZ

D

xy






g(x,y)

Z

h(x,y)

f (x, y, z) dz






dxdy.

Analogiczne twierdzenia zachodzą w przypadku, gdy V jest obszarem normalnym względem
płaszczyzny Oyz lub Oxz.

Wniosek 4.30.

Twierdzenie 4.31 (o zamianie zmiennych w całce potrójnej).

Załóżmy, że

(1) ∆

⊂ R

3

jest obszarem regularnym,

(2) funkcje Φ, Ψ, Γ posiadają ciągłe pochodne cząstkowe na pewnym zbiorze otwartym U

⊃ ∆,

(3) odwzorowanie T = [Φ, Ψ, Γ] : U

→ R

3

jest różnowartościowe na zbiorze Int(∆),

(4) J

T

(u, v, t)

6= 0 dla każdego (u, v, t) ∈ Int(∆),

(5) D = T [∆] jest obszarem regularnym,
(6) funkcja f : D

→ R jest ciągła.

Wówczas zachodzi wzór

ZZZ

V

f (x, y, z) dxdydz =

ZZZ

∆

f (Φ(u, v, t), Ψ(u, v, t), Γ(u, v, t))

|J

T

(u, v, t)

| dudvdt.

2006

−E

K

21

Definicja 4.32.

Niech p = (z, y, z)

∈ R

3

\{(0, 0, 0)}. Trójkę liczb (r, ϕ, h) ∈ (0, +∞)×[0, 2π)×

R

, gdzie

r – oznacza odległość rzutu punktu p na płaszczyznę Oxy od punktu (0, 0, 0),

ϕ – oznacza miarę kąta między dodatnią półosią Ox a rzutem promienia wodzącego punktu p na płaszczyznę Oxy,

h = z,

nazywamy współrzędnymi walcowymi (cylindrycznymi) punktu p.

Uwaga 4.33. Jeśli punkt p ma współrzędne biegunowe (r, ϕ, h), to jego współrzędne karte-
zjańskie określone są wzorami:











x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ,
z = h.

Definicja 4.34.

Przekształcenie T

W

: [0, +

∞) × [0, 2π] × R → R

3

takie, że

T

W

(r, ϕ, h)

def

= [r cos ϕ, r sin ϕ, h]

nazywamy przekształceniem walcowym.

Własności przekształcenia T

W

:

Definicja 4.35.

Niech p

∈ R

3

\ {(0, 0, 0)}. Trójkę liczb (r, ϕ, θ) ∈ (0, +∞) × [0, 2π) × [−

π

2

,

π

2

],

gdzie

r – oznacza odległość punktu p od punktu (0, 0, 0),

ϕ – oznacza miarę kąta między dodatnią półosią Ox a rzutem promienia wodzącego punktu p

na płaszczyznę Oxy,

θ – oznacza miarę kąta między promieniem wodzącym punktu p a płaszczyzną Oxy,

nazywamy współrzędnymi sferycznymi punktu p.

Uwaga 4.36. Jeśli punkt p ma współrzędne biegunowe (r, ϕ, θ), to jego współrzędne karte-
zjańskie określone są wzorami:











x = r cos ϕ cos θ,
y = r sin ϕc cos θ,
z = r sin θ.

Definicja 4.37.

Przekształcenie T

S

: [0, +

∞) × [0, 2π] × [−

π

2

,

π

2

]

→ R

3

takie, że

T

S

(r, ϕ, h)

def

= [r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ]

nazywamy przekształceniem sferycznym.

Własności przekształcenia T

S

:

22

4.5. Zastosowania całek wielokrotnych.

• Pole obszaru: Jeśli D ⊂ R

2

jest obszarem regularnym, to

|D| =

ZZ

D

dxdy.

(P 1)

W szczególności, gdy D

⊂ R

2

jest obszarem normalnym względem osi Ox określonym jak

w definicji 4.14, to

|D| =

b

Z

a






g(x)

Z

h(x)

dy






dx =

b

Z

a

(g(x)

− h(x)) dx.

(P 2)

• Objętość bryły: Jeśli V ⊂ R

3

jest obszarem regularnym, to

|V | =

ZZZ

V

dxdydz.

(O1)

W szczególności, gdy V jest obszarem normalnym względem płaszczyzny Oxy określonym
jak w definicji 4.28, to

|V | =

ZZ

D

xy






g(x,y)

Z

h(x,y)

dz






dxdy =

ZZ

D

xy

(g(x, y)

− h(x, y))dxdy.

(O2)

Jeśli V jest bryłą obrotową powstałą z obrotu dookoła osi Oz trapezu krzywoliniowego

D =

{(x, z) : a ¬ x ¬ b ∧ 0 ¬ z ¬ f(x)},

gdzie 0 < a < b oraz f : [a, b] jest funkcją ciągłą, to

|V | = 2π

b

Z

a

xf (x) dx.

(O3)

• Pole płata: Niech f : D → R będzie funkcją posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe na

obszarze regularnym D

⊂ R

2

. Wówczas pole płata S będącego wykresem funkcji f wyraża

się wzorem:

|S| =

ZZ

D

q

1 + (f

0

x

(x, y))

2

+ (f

0

y

(x, y))

2

dxdy.

• Masa obszaru: Niech σ : D → R będzie funkcją ciągłą na obszarze regularnym D.

Wówczas masa m obszaru D

⊂ R

2

o gęstości powierzchniowej masy σ wyraża się wzorem:

m =

ZZ

D

σ(x, y) dxdy.

Masa M obszaru D

⊂ R

3

o gęstości objętościowej masy σ wyraża się wzorem:

M =

ZZZ

D

σ(x, y, z) dxdydz.

2006

−E

K

23

• Inne zastosowania fizyczne: wyznaczanie momentów statycznych, współrzędnych środka

masy, momentów bezwładności, energii kinetycznej i potencjalnej, itd. (Patrz: M. Gewert,
Z. Skoczylas, ”Analiza matematyczna 2. Definicje, twierdzenia, wzory”.)

24

5. Równania różniczkowe zwyczajne

pierwszego rzędu

2006

−E

K

25

5.1. Wstęp.

Definicja 5.1.

• Niech V ⊂ R

3

będzie obszarem oraz F : V

→ R. Równaniem różniczkowym zwyczaj-

nym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci

F (x, y, y

0

) = 0.

• Równanie różniczkowe postaci

y

0

= f (x, y),

(

∗)

gdzie f jest funkcją określoną na pewnym obszarze D

⊂ R

2

, nazywamy równaniem róż-

niczkowym rzędu pierwszego w postaci normalnej.

Definicja 5.2.

• Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną lub krótko rozwiązaniem) równania

(

∗) nazywamy każdą funkcję ϕ : I → R określoną na pewnym przedziale otwartym I taką,

że

V

x

∈I

ϕ

0

(x) = f (x, ϕ(x)).

Wykres funkcji ϕ nazywamy krzywą całkową równania (

∗).

• Rozwiązaniem ogólnym równania (∗) nazywamy rodzinę wszystkich rozwiązań równania

(

∗).

Definicja 5.3.

Niech (x

0

, y

0

)

∈ D. Zagadnieniem Cauchy’ego (zagadnieniem początko-

wym) nazywamy zadanie polegające na znalezieniu rozwiązania ϕ równania (

∗), które spełnia

tzw. warunek początkowy ϕ(x

0

) = y

0

.

Istnienie i jednoznaczność rozwiązania równania (

∗):

Twierdzenie 5.4 (Peano).

Niech D

⊂ R

2

będzie obszarem oraz f : D

→ R. Jeśli funkcja f

jest ciągła, to dla dowolnego punktu (x

0

, y

0

)

∈ D istnieje rozwiązanie ϕ równania (∗) spełniające

warunek ϕ(x

0

) = y

0

(tzn. przez każdy punkt obszaru D przechodzi przynajmniej jedna krzywa

całkowa równania (

∗)).

Twierdzenie 5.5 (Cauchy’ego-Piccard).

Niech D

⊂ R

2

będzie obszarem oraz f : D

→ R.

Jeśli funkcje f i f

0

y

są ciągłe na D, to dla dowolnego punktu (x

0

, y

0

)

∈ D istnieje dokładnie jedno

rozwiązanie ϕ równania (

∗) spełniające warunek ϕ(x

0

) = y

0

.

Uwaga 5.6. Jednoznaczność istnienia rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego rozumiemy nastę-
pująco: jeśli funkcje ϕ : I

→ R oraz ψ : J → R (gdzie I, J są przedziałami otwartymi takimi,

że x

0

∈ I ∩ J) są rozwiązaniami równania (∗) spełniającymi warunek ϕ(x

0

) = ψ(x

0

) = y

0

, to

V

x

∈I∩J

ϕ(x) = ψ(x).

26

Interpretacja gemetryczna równania (

∗):

5.2. Równanie o zmiennych rozdzielonych i rów-

nanie jednorodne względem

x i y.

Definicja 5.7.

Równaniem o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci

y

0

= h(x)g(y),

(ZR)

gdzie h : (a, b)

→ R oraz g : (c, d) → R.

Lemat 5.8. Jeśli y

0

∈ (c, d) oraz g(y

0

) = 0, to funkcja stała ϕ : (a, b)

→ R określona wzorem

ϕ(x) = y

0

dla x

∈ (a, b),

jest rozwiązaniem równania (ZR). Jeśli h(x)

6= 0 dla pewnego x ∈ (a, b), to zachodzi również

stwierdzenie odwrotne.

Twierdzenie 5.9.

Jeżeli h : (a, b)

→ R, g : (c, d) → R są funkcjami ciągłymi oraz g(y) 6= 0

dla każdego y

∈ (c, d), to dla dowolnego punktu (x

0

, y

0

)

∈ (a, b) × (c, d) istnieje dokładnie jedno

rozwiązanie ϕ równania (ZR) spełniające warunek ϕ(x

0

) = y

0

. Rozwiązanie to określone jest

wzorem

ϕ(x) = G

−1

(H(x)

− H(x

0

) + G(y

0

)) dla x

∈ I ⊂ (a, b),

gdzie H i G są dowolnie ustalonymi funkcjami pierwotnymi odpowiednio funkcji h i

1
g

.

Przykład

(a) Wyznaczyć rozwiązania stałe równania

y

0

=

2y

2

− y

x

.

(4)

(b) Ile rozwiązań posiadają następujące zagadnienia Cauchy’ego:

y

0

=

2y

2

− y

x

,

y(1) = 2

(C4)

y

0

=

2y

2

− y

x

,

y(1) = 1

(C4’)

Definicja 5.10.

Równaniem jednorodnym względem x i y nazywamy równanie postaci

y

0

= f (

y

x

),

(J)

gdzie f : (c, d)

→ R.

2006

−E

K

27

Uwaga 5.11. Równanie jednorodne (J) poprzez zamianę zmiennych

y = xt,

sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych

t

0

=

f (t)

− t

x

.

(J’)

28

5.3. Równanie liniowe i równanie Bernoulie-

go.

Definicja 5.12.

Niech p, q : (a, b)

→ R.

• Równanie postaci

y

0

+ p(x)y = q(x)

(L)

nazywamy równaniem równaniem liniowym pierwszego rzędu.

• Jeśli q(x) = 0 dla x ∈ (a, b), to równanie (L) przyjmuje postać

y

0

+ p(x)y = 0.

(LJ)

Równanie (LJ) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym.
Równanie liniowe, które nie jest równaniem jednorodnym nazywamy równaniem linio-
wym niejednorodnym.

Zagadnienie Cauchy’ego dla równania liniowego

Twierdzenie 5.13.

Jeśli p, q : (a, b)

→ R są funkcjami ciągłymi oraz (x

0

, y

0

)

∈ (a, b) × R, to

istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ równania (L) określone na przedziale (a, b) i spełniające
warunek początkowy ϕ(x

0

) = y

0

.

Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (RORJ)

Lemat 5.14. Rozwiązanie ogólne równania (LJ) tworzą funkcje postaci

ϕ(x) = Ce

−P (x)

, C

∈ R,

gdzie P jest dowolnie ustaloną funkcją pierwotną funkcji p.

Rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego (RORN)

Twierdzenie 5.15.

Niech ϕ

s

będzie rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L). Wów-

czas rozwiązanie ogólne równania liniowego (L) tworzą wszystkie funkcje postaci

ϕ = ϕ

0

+ ϕ

s

,

gdzie ϕ

0

jest dowolnym rozwiązaniem równania jednorodnego (LJ).

Rozwiązanie szczególne równania liniowego niejednorodnego (RSRN):

Metody wyznaczania RSRN:

2006

−E

K

29

• metoda uzmienniania stałej (w oparciu o twierdzenie 5.16),
• metoda przewidywania (w oparciu o twierdzenia 5.17 i 5.18).

Twierdzenie 5.16.

Niech p, q : (a, b)

→ R będą funkcjami ciągłymi. Jeśli P i C są dowolnie

ustalonymi funkcjami pierwotnymi, odpowiednio funkcji p i qe

P

, to funkcja postaci

ϕ

s

(x) = C(x)e

−P (x)

jest rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L).

Twierdzenie 5.17.

Jeśli W

n

, V

m

są wielomianami, odpowiednio stopnia n i m, zaś a, α, β

∈ R,

to równanie liniowe

y

0

+ ay = [W

n

(x) cos βx + V

m

(x) sin βx]e

αx

(LS)

ma rozwiązanie szczególne postaci

ϕ

s

(x) = x

k

[P

l

(x) cos βx + Q

l

(x) sin βx]e

αx

,

gdzie P

l

, Q

l

są wielomianami stopnia l = max

{n, m} oraz

k =

(

1, gdy α =

−a i β = 0,

0

w przeciwnym wypadku.

Twierdzenie 5.18.

Niech q

1

, q

2

: (a, b)

→ R oraz a ∈ R. Jeśli ϕ

1

jest rozwiązaniem szczegól-

nym równania

y

0

+ ay = q

1

(x),

zaś ϕ

2

jest rozwiązaniem szczególnym równania

y

0

+ ay = q

2

(x),

to funkcja ϕ

1

+ ϕ

2

jest rozwiązaniem szczególnym równania

y

0

+ ay = q

1

(x) + q

2

(x).

Definicja 5.19.

Niech p, q : (a, b)

→ R oraz α ∈ R \ {0, 1}. Równanie postaci

y

0

+ p(x)y = q(x)y

α

(B)

nazywamy równaniem Bernouliego.

Uwaga 5.20.

1. Gdy w równaniu (B) α

∈ {0, 1}, to otrzymujemy równanie liniowe.

2. Jeśli α > 0, to funkcja

ϕ(x) = 0 dla x

∈ (a, b),

jest rozwiązaniem szczególnym równania (B).

3. Równanie Bernouliego (B) sprowadzamy do równania liniowego stosując podstawienie

t = y

1

−α

.

30

6. Równania różniczkowe zwyczajne

n-tego rzędu.

6.1. Wstęp

Definicja 6.1.

• Niech n ∈ N, V ⊂ R

n+2

będzie obszarem oraz F : V

→ R. Równaniem różniczkowym

zwyczajnym n-tego rzędu nazywamy równanie postaci

F (x, y, y

0

, y

00

, . . . , y

(n)

) = 0.

• Równanie różniczkowe postaci

y

(n)

= f (x, y, y

0

, y

00

, . . . , y

(n

−1)

),

(

∗

n

)

gdzie f jest funkcją określoną na pewnym obszarze D

⊂ R

n+1

, nazywamy równaniem

różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu w postaci normalnej.

Definicja 6.2.

• Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną lub krótko rozwiązaniem) równania

(

∗

n

) nazywamy każdą funkcję ϕ : I

→ R określoną na pewnym przedziale otwartym I taką,

że

V

x

∈I

ϕ

(n)

(x) = f (x, ϕ(x), ϕ

0

(x), ϕ

00

(x), . . . , ϕ

(n

−1)

(x)).

• Rozwiązaniem ogólnym równania (∗

n

) nazywamy rodzinę wszystkich rozwiązań równa-

nia (

∗

n

).

Definicja 6.3.

Niech (x

0

, y

0

, y

1

, . . . , y

n

−1

)

∈ D. Zagadnieniem Cauchy’ego (zagadnieniem

początkowym) nazywamy zadanie polegające na znalezieniu rozwiązania ϕ równania (

∗

n

),

które spełnia tzw. warunki początkowe:

ϕ(x

0

) = y

0

, ϕ

0

(x

0

) = y

1

,

. . . , ϕ

(n

−1)

(x

0

) = y

n

−1

.

Definicja 6.4.

Zagadnieniem brzegowym nazywamy zadanie polegające na znalezieniu

rozwiązania ϕ równania

y

00

= f (x, y, y

0

),

(

∗

2

)

które spełnia tzw. warunki brzegowe: ϕ(x

1

) = y

1

, ϕ(x

2

) = y

2

, x

1

6= x

2

.

2006

−E

K

31

6.2. Równania rzędu drugiego sprowadzalne

do równań rzędu pierwszego.

Pewne typy równań rzędu drugiego można sprowadzić do równań rzędu pierwszego stosując

odpowiednie podstawienia:

r. r. rzędu 2

podstawienie

r. r. rzędu 1

F (x, y

0

, y

00

) = 0

y

0

= u(x)

F (x, u, u

0

) = 0

F (y, y

0

, y

00

) = 0

y

0

= u(y)

F (y, u, u

du
dy

) = 0

6.3. Równanie liniowe n-tego rzędu.

Definicja 6.5.

Niech p

n

−1

, p

n

−2

, . . . , p

1

, p

0

, q : (a, b)

→ R.

• Równanie postaci

y

(n)

+ p

n

−1

(x)y

(n

−1)

+ p

n

−2

(x)y

(n

−2)

+ . . . + p

1

(x)y

0

+ p

0

(x)y = q(x)

(L

n

)

nazywamy równaniem równaniem liniowym n-tego rzędu.

• Jeśli q(x) = 0 dla x ∈ (a, b), to równanie (L

n

) przyjmuje postać

y

(n)

+ p

n

−1

(x)y

(n

−1)

+ p

n

−2

(x)y

(n

−2)

+ . . . + p

1

(x)y

0

+ p

0

(x)y = 0.

(LJ

n

)

Równanie (LJ

n

) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym n-tego rzędu.

Zagadnienie Cauchy’ego dla równania liniowego (L

n

)

Twierdzenie 6.6.

Jeśli p

n

−1

, p

n

−2

, . . . , p

1

, p

0

, q : (a, b)

→ R są funkcjami ciągłymi oraz

(x

0

, y

0

, y

1

, . . . , y

n

−1

)

∈ (a, b) × R

n

, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ (określone na

(a, b)) równania liniowego (L

n

) takie, że

ϕ(x

0

) = y

0

, ϕ

0

(x

0

) = y

1

, . . . , ϕ

(n

−1)

(x

0

) = y

n

−1

.

Dalej zakładamy, że funkcje p

n

−1

, p

n

−2

, . . . , p

1

, p

0

oraz q są ciągłe na (a, b).

Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (LJ

n

)

Niech V

0

oznacza rodzinę wszystkich funkcji określonych na przedziale (a, b) i będących roz-

wiązaniami równania (LJ

n

). Wówczas

1. V

0

⊂ C

(n)

(a, b),

32

2.

V

ϕ

∈V

0

V

k

∈R

kϕ

∈ V

0

,

3.

V

ϕ, ψ

∈V

0

ϕ + ψ

∈ V

0

,

co oznacza, że V

0

jest podprzestrzenią liniową przestrzeni C

(n)

(a, b).

Twierdzenie 6.7.

dim V

0

= n.

Definicja 6.8.

Każdą bazę przestrzeni V

0

nazywamy fundamentalnym układem rozwiązań

równania (LJ

n

).

Uwaga 6.9. Na mocy powyższego twierdzenia, fundamentalnym układem rozwiązań równania
(LJ

n

) jest każdy układ funkcji ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

n

∈ V

0

, który jest liniowo niezależny (lnz), a więc

taki, że

V

α

1

,α

2

,... ,α

n

∈R

[(α

1

ϕ

1

+ α

2

ϕ

2

+

· · · + α

n

ϕ

n

= 0)

⇒ α

1

= α

2

= . . . = α

n

= 0].

Definicja 6.10.

Niech ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

n

∈ C

(n)

(a, b) oraz x

∈ (a, b). Wyznacznik

W

(ϕ

1

,ϕ

2

,... ,ϕ

n

)

(x)

def

=











ϕ

1

(x)

ϕ

2

(x)

. . . ϕ

n

(x)

ϕ

0

1

(x)

ϕ

0

2

(x)

. . . ϕ

0

n

(x)

. . .

. . .

. . . . . .

ϕ

(n

−1)

1

(x) ϕ

(n

−1)

2

(x) . . . ϕ

(n

−1)

n

(x)











nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego lub wrońskianem układu funkcji (ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

n

)

w punkcie x.

Twierdzenie 6.11.

Niech ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

n

∈ V

0

.

Układ (ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

n

) jest lnz

⇔ istnieje x

0

∈ (a, b) taki, że W

(ϕ

1

,ϕ

2

,... ,ϕ

n

)

(x

0

)

6= 0.

Twierdzenie 6.12.

Jeśli funkcje ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

n

stanowią fundamentalny układ rozwiazań rów-

nania (LJ

n

), to rozwiązanie ogólne równania (LJ

n

) tworzą funkcje postaci

ϕ(x) = C

1

ϕ

1

(x) + C

2

ϕ

2

(x) +

· · · + C

n

ϕ

n

(x), C

1

, C

2

, . . . , C

n

∈ R.

Twierdzenie 6.13.

Jeśli ϕ

1

: I

→ R jest rozwiązaniem równania (LJ

2

) takim, że ϕ

1

(x)

6= 0

dla x

∈ I, zaś P

1

jest dowolną funkcją pierwotną funkcji p

1

, to funkcja określona wzorem

ϕ

2

(x) = ϕ

1

(x)

Z

e

−P

1

(x)

ϕ

2

1

(x)

dx

jest również rozwiązaniem równania (LJ

2

). Ponadto funkcje ϕ

1

, ϕ

2

są lnz.

Rozwiązanie ogólne równania liniowego (L

n

)

Twierdzenie 6.14.

Niech ϕ

s

będzie rozwiązaniem szczególnym równania (L

n

). Wówczas roz-

wiązanie ogólne równania liniowego (L

n

) tworzą wszystkie funkcje postaci

ϕ = ϕ

0

+ ϕ

s

,

gdzie ϕ

0

jest dowolnym rozwiązaniem równania jednorodnego (LJ

n

).

2006

−E

K

33

Wniosek 6.15. Jeśli funkcje ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

n

stanowią fundamentalny układ rozwiązań równania

(LJ

n

) oraz ϕ

s

jest rozwiązaniem szczególnym równania (L

n

), to rozwiązanie ogólne równania

(L

n

) tworzą funkcje postaci

ϕ(x) = C

1

ϕ

1

(x) + C

2

ϕ

2

(x) +

· · · + C

n

ϕ

n

(x) + ϕ

s

(x),

C

1

, C

2

, . . . , C

n

∈ R.

Rozwiązanie szczególne równania liniowego (L

n

)

Twierdzenie 6.16.

Załóżmy, że funkcje ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

n

stanowią fundamentalny układ rozwią-

zań równania (LJ

n

). Wówczas funkcja postaci

ϕ

s

(x) = C

1

(x)ϕ

1

(x) + C

2

(x)ϕ

2

(x) +

· · · + C

n

(x)ϕ

n

(x)

jest rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L

n

), gdy funkcje C

1

, C

2

, . . . , C

n

: (a, b)

→ R

są rozwiązaniami układu równań































C

0

1

ϕ

1

+C

0

2

ϕ

2

+

· · · + C

0

n

ϕ

n

= 0,

C

0

1

ϕ

0

1

+C

0

2

ϕ

0

2

+

· · · + C

0

n

ϕ

0

n

= 0,

. . .

C

0

1

ϕ

(n

−2)

1

+C

0

2

ϕ

(n

−2)

2

+

· · · + C

0

n

ϕ

(n

−2)

n

= 0,

C

0

1

ϕ

(n

−1)

1

+C

0

2

ϕ

(n

−1)

2

+

· · · + C

0

n

ϕ

(n

−1)

n

= q.

6.4. Równanie liniowe n-tego rzędu o stałych

współczynnikach.

Definicja 6.17.

Równanie postaci

y

(n)

+ a

n

−1

y

(n

−1)

+ a

n

−2

y

(n

−2)

+

· · · + a

1

y

0

+ a

0

y = q(x),

(LS

n

)

gdzie a

n

−1

, a

n

−2

, . . . , a

1

, a

0

∈ R, q : (a, b) → R, nazywamy równaniem równaniem liniowym

n-tego rzędu o stałych współczynnikach.

Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (LJS

n

)

Definicja 6.18.

Równanie

r

n

+ a

n

−1

r

n

−1

+ a

n

−2

r

n

−2

+

· · · + a

1

r + a

0

= 0

nazywamy równaniem charakterystycznym równania liniowego jednorodnego o stałych współ-
czynnikach

y

(n)

+ a

n

−1

y

(n

−1)

+ a

n

−2

y

(n

−2)

+

· · · + a

1

y

0

+ a

0

y = 0.

(LJS

n

)

Fundamentalny układ rozwiązań równania (LJS

n

) można wyznaczyć przy pomocy pierwiastków

równania charakterystycznego, korzystając z następującego faktu:

34

Twierdzenie 6.19.

Niech r będzie rozwiązaniem równania charakterystycznego równania (LJS

n

).

Wówczas

1. jeśli r jest pierwiastkiem rzeczywistym o krotności k, to każda z funkcji

e

rx

, xe

rx

, x

2

e

rx

, x

k

−1

e

rx

jest rozwiązaniem równania (LJS

n

);

2. jeśli r = α + iβ jest pierwiastkiem zespolonym o krotności k, to każda z funkcji

e

αx

cos βx, xe

αx

cos βx, x

2

e

αx

cos βx, x

k

−1

e

αx

cos βx,

e

αx

sin βx, xe

αx

sin βx, x

2

e

αx

sin βx, x

k

−1

e

αx

sin βx,

jest rozwiązaniem równania (LJS

n

).

Ponadto funkcje wybrane w ten sposób dla wszystkich pierwiastków równania charakterystycz-
nego równania (LJS

n

) stanowią układ lnz.

Rozwiązanie szczególne równania liniowego (LS

n

)

Twierdzenie 6.20.

Jeśli W

n

, V

m

są wielomianami stopnia, odpowiednio n i m, oraz

a

n

−1

, a

n

−2

, . . . , a

1

, a

0

, α, β

∈ R, to równanie liniowe

y

(n)

+ a

n

−1

y

(n

−1)

+ a

n

−2

y

(n

−2)

+

· · · + a

1

y

0

+ a

0

y = [W

n

(x) cos βx + V

m

(x) sin βx]e

αx

ma rozwiązanie szczególne postaci

ϕ

s

(x) = x

k

[P

l

(x) cos βx + Q

l

(x) sin βx]e

αx

,

gdzie P

l

, Q

l

są wielomianami stopnia l = max

{n, m} oraz

k =

(

k

r

, gdy r = α + βi jest pierwiastkiem równania charakterystycznego o krotności k

r

,

0

w przeciwnym wypadku.

Uwaga 6.21. Stałą α + βi nazywamy stałą kontrolną równania rozważanego w tw. 6.20.

Twierdzenie 6.22.

Niech q

1

, q

2

: (a, b)

→ R będą funkcjami ciągłymi oraz a

n

−1

, a

n

−2

, . . . ,

a

1

, a

0

∈ R. Jeśli ϕ

s

1

jest rozwiązaniem równania

y

(n)

+ a

n

−1

y

(n

−1)

+ a

n

−2

y

(n

−2)

+

· · · + a

1

y

0

+ a

0

y = q

1

(x),

zaś ϕ

s

2

jest rozwiązaniem równania

y

(n)

+ a

n

−1

y

(n

−1)

+ a

n

−2

y

(n

−2)

+

· · · + a

1

y

0

+ a

0

y = q

2

(x),

to funkcja ϕ

s

1

+ ϕ

s

2

jest rozwiązaniem szczególnym równania

y

(n)

+ a

n

−1

y

(n

−1)

+ a

n

−2

y

(n

−2)

+

· · · + a

1

y

0

+ a

0

y = q

1

(x) + q

2

(x).

2006

−E

K