ARKUSZ 11. Własności funkcji jednej zmiennej

1. Korzystając z definicji sprawdzić, czy podane funcjke są monotoniczne

na wskazanych zbiorach:

a) f (x) = x

3

, R;

b) g(x) =

1

x

, (0, ∞);

c) h(x) = x +

4
x

, h2, ∞);

d) r(x) = 4x − x

2

, h2, ∞).

2. Określić (o ile jest to możliwe) funkcje złożone f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f , g ◦ g,

jeżeli:

a) f (x) =

1

x

, g(x) = x

2

;

b) f (x) = log

2

x, g(x) = 2

x

;

c) f (x) =

√

x, g(x) = x

4

;

d) f (x) = 2 + cos x, g(x) =

√

x.

3. Sprawdzić, na podstawie definicji, czy podane funkcje są różnowarto-

ściowe na wskazanych zbiorach:

a) f (x) = x

2

, (−∞, 1i;

b) g(x) =

x+3

2x−1

, R \

n

1
2

o

;

c) h(x) =

x

x

2

+1

, R;

d) r(x) = x

4

, h0, ∞).

4. Znaleźć funkcje odwrotne do podanych:

a) f (x) = 1 − 3

−x

;

b) g(x) = 2 − log

5

x;

c) h(x) = x

3

− 3x

2

+ 3x + 27;

d) u(x) = 1 −

√

x − 4.

5. Zbadać parzystość następujacych funkcji:

a) f (x) = sin x + cos x;

b) g(x) = x

2

x

+1

2

x

−1

;

c) h(x) = log

x−1
x+1

;

d) r(x) = log



x +

√

1 + x

2



.

6. Niech f : R −→ R będzie określona wzorem:

f (x) =







2x+1

x+2

dla x 6= −2

2

dla x = −2

.

a) Sprawdzić, czy f jest suriekcją;

b) Czy f jest różnowartościowa?

c) Jeżeli f jest bijekcją, to wyznaczyć f

−1

.

21

7. Niech f : R −→ R będzie określona następujaco:

f (x) =















2x + 3

dla x ∈ R \ {−1, 0}

3

dla x = −1

1

dla x = 0

.

Wykazać, że f jest bijekcją oraz wyznaczyć f

−1

.

8. Wykazać, że funkcja f (x) = x+

1
x

, x 6= 0 jest funkcją nieparzystą, ściśle

rosnacą na przedziale h1, +∞) oraz ściśle malejącą na przedziale (0, 1i.

9. Wykazać, że złożenie dwóch funkcji różnowartościowych jest funkcją

różnowartościową.

10. Niech D będzie niepustym podzbiorem R symetrycznym względem zera

i niech f : D −→ R. Wykazać, że f można przedstawić jako sumę
funkcji parzystej i nieparzystej.

11. Wykazać, że:

a) iloczyn dwóch funkcji nieparzystych lub parzystych jest funkcją

parzystą,

b) iloczyn funkcji nieparzystej i parzystej jest funkcja parzystą,

c) suma dwóch funkcji parzystych (nieparzystych) jest funkcja pa-

rzystą (nieparzystą).

12. Wykazać, że jeżeli f : D −→ R jest funkcją okresową, to funkcja af +b,

(a, b - stałe) też jest funkcją okresową o tym samym okresie.

13. Niech f : D −→ R będzie funkcją okresową o okresie s. Wykazać, że

funkcja x 7−→ f (ax), gdzie a = const. i a 6= 0, jest funkcją okresową o
okresie

s

a

.

14. Wyznaczyć okresy podstawowe funkcji:

a) f (x) = sin

2

x;

b) g(x) = cos

2

x;

c) h(x) = cos(2x − 3);

d) k(x) = 1 − sin 2x.

15. Niech f : D −→ R, g : G −→ R, gdzie f (D) ⊂ G. Wykazać, że:

a) jeżeli funkcje f, g są jednocześnie rosnące lub jednocześnie male-

jące, to g ◦ f jest funkcją rosnacą;

b) jeżeli f jest rosnąca, zaś g malejąca, to g ◦ f jest funkcją malejącą;

c) jeżeli f jest malejąca, zaś g rosnąca, to g ◦ f jest funkcją malejacą.

22