Potęgi

Jeśli a jest liczbą rzeczywistą i n - naturalną to n-tą potęgę liczby a określa się wzorem

a

n

= a · a · ... · a

|

{z

}

n razy

.

Ponadto, jeśli a 6= 0 to przyjmuje się a

0

= 1.

Potęgi o wykładniku ułamkowym

Pierwiastkiem n-tego stopnia

z liczby a nazywamy wartość taką, której n-ta potęga jest

równa a i która ma ten sam znak, co liczba a. Pierwiastek n-tego stopnia z a oznaczamy
przez

n

√

a

. (Jeśli w określeniu bądź oznaczeniu pierwiastka nie uwzględniamy stopnia, to

znaczy, że mamy na myśli stopień drugi:

√

a

=

2

√

a

.) Pierwiastek też jest potęgą, miano-

wicie:

a

1

n

=

n

√

a .

Ponadto, jeśli k jest liczbą naturalną, definiuje się

a

k

n

=

n

√

a

k

Potęgi o wykładniku ujemnym

Jeśli a 6= 0 zaś x jest liczbą wymierną (całkowitą bądź ułamkową) to definiujemy:

a

−x

=

1

a

x

Własności

Dla a, b > 0 zachodzą następujące związki:

i a

x+y

= a

x

· a

y

a

x

a

y

= a

x−y

(a

x

)

y

= a

x·y

ii (a · b)

x

= a

x

· b

x

 a

b



x

=

a

x

b

x

Uwaga

. Dla a < 0

n

√

a

nie istnieje, gdy n jest parzysta. W konsekwencji a

k

n

nie istnieje,

gdy mianownik n jest liczba parzystą i ułamek

k

n

jest nieskracalny. Niektóre ze wzorów i-ii

dla podstaw ujemnych nie zachodzą.