Potęgi

Jeśli a jest liczbą rzeczywistą i n - naturalną to n-tą potęgę liczby a określa się wzorem an = a · a · ... · a .

|

{z

}

n razy

Ponadto, jeśli a 6= 0 to przyjmuje się a 0 = 1.

Potęgi o wykładniku ułamkowym Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby a nazywamy wartość taką, której n-ta potęga jest równa a i która ma ten sam znak, co liczba a. Pierwiastek n-tego stopnia z a oznaczamy

√

przez n a. (Jeśli w określeniu bądź oznaczeniu pierwiastka nie uwzględniamy stopnia, to

√

√

znaczy, że mamy na myśli stopień drugi: a = 2 a.) Pierwiastek też jest potęgą, miano-wicie:

1

√

a n = n a .

Ponadto, jeśli k jest liczbą naturalną, definiuje się k

√ k

a n =

n a

Potęgi o wykładniku ujemnym Jeśli a 6= 0 zaś x jest liczbą wymierną (całkowitą bądź ułamkową) to definiujemy: 1

a−x = ax

Własności

Dla a, b > 0 zachodzą następujące związki: ax

i ax+ y = ax · ay

= ax−y

( ax) y = ax·y ay

a x

ax

ii ( a · b) x = ax · bx

=

b

bx

√

k

Uwaga. Dla a < 0 n a nie istnieje, gdy n jest parzysta. W konsekwencji a n nie istnieje, gdy mianownik n jest liczba parzystą i ułamek k jest nieskracalny. Niektóre ze wzorów i-ii n

dla podstaw ujemnych nie zachodzą.