dr hab. Henryk Gacki

ZESTAW 4

Analiza zespolona.

Równania różniczkowe zwyczajne

Metoda operatorowa rozwiązywania równań różniczkowych.

Geologia I rok semestr zimowy 2012/2013

ZADANIE 1. Narysować na płaszczyźnie zespolonej liczby:

a)

z

1

= (3, 2)

b)

z

2

= (−3, 1)

c)

z

3

= (10, 0)

d)

z

4

= (0, −4)

ZADANIE 2. Niech z

1

= (0, 1),

z

2

= (3, −4)

oraz

z

3

= (

√

2, −3). Obliczyć

a)

z

1

+ z

2

,

z

2

+ z

3

b)

z

1

· z

2

,

z

2

· z

3

c)

z

1

z

2

,

z

2

z

3

ZADANIE 3. Obliczyć:

a)

(1 −

√

3i) + (1 + 2i)

b)

(−2 + 3i) − (1 − 2i)

c)

(1 + 2i)

(−3 + 4i)

d)

(2 + i) · (4 + 5i).

ZADANIE 4. Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone spełniające warunek

a)

z

2

+ 4i = 0

b)

Rez − 3Imz = 2

c)

(z + 2)

(−1 + i)

=

(3z + i)

(2 + i)

.

ZADANIE 5. Obliczyć moduły podanych liczb zespolonych:

a)

z = −i

b)

z = −1 + 3i

c)

1

2

− i

√

3

2

d)

z = −5 − 12i

e)

(1 + 2i) · (3 − 4i)

f )

(4 + i)

(3 + 2i)

g)

(3 −

√

3i)

2

(

√

2 + 2i)

3

.

ZADANIE 6. Korzystając z interpretacji geometrycznej modułu liczb zespolonych narysować
zbiory liczb zespolonych spełniających podane warunki:

a)

|z + i| = 3

b)

|2iz + 6| ¬ 4

c)

|z + 5| = |3i − z|

d)

2 < |z + 2 − i| ¬ 3

e)

|z + 2 − i| ¬ |z|.

ZADANIE 7. Znaleźć argumenty główne liczb:

a)

z = 2

b)

z = i

c)

z = 3 − 3i

d)

z = π

e)

z = −

1

2

−

√

3

2

i.

ZADANIE 8. Podane liczby zapisać w postaci trygonometrycznej:

a)

z = 1

b)

z = 1 + i

c)

z = −

1

2

+

√

3

2

i.

1

ZADANIE 9. Korzystając z postaci trygonometrycznej obliczyć podane iloczyny:

a)

(1 + i)(

√

3 + i)

b)

(4 + 4i)(−3 + 3i)

c)

(10 − 10

√

3i)(2 − 2i).

ZADANIE 10. Korzystając z postaci trygonometrycznej obliczyć podane ilorazy:

a)

2 + 2i

1 − i

b)

1 −

√

3i

√

3 + i

c)

3i

1 + i

.

ZADANIE 11. Korzystając z wzoru Moivre’a obliczyć podane potęgi liczb zespolonych:

a)

(1 − i)

10

b)

(

√

3 − i)

60

c)

(−

√

2 +

√

2i)

44

ZADANIE 12. Obliczyć argumenty główne podanych liczb zespolonych:

a)

(1 − i

√

3)

3

(2 + 2i)

3

(1 − i)

7

b)

(

√

3 + i

√

3)

4

(1 + i)

9

(1 − i

√

3)

10

.

ZADANIE 13. * Liczby zespolone stosuje się w elektrotechnice do opisu obwodów elektrycz-
nych prądu zmiennego. Jednostkę urojoną oznacza się symbolem j w celu odróżnienia jej od
natężenia prądu i płynącego w obwodzie.

Niech ω będzie częstotliwością prądu , zaś T czasem. Zespolonym odpowiednikiem natężenia

prądu i = a sin ωt + b cos ωt, gdzie a, b ∈ R, jest liczba zespolona a + jb. Znaleźć i nazwać
zespolone odpowiedniki następujących wielkości:

1. amplituda

√

a

2

+ b

2

prądu i;

2. faza ϕ prądu i = r sin(ωt + ϕ);

3. prędkość zmian prądu

di
dt

;

4. suma i

1

+ i

2

prądów o jednakowej częstotliwości ω.

ZADANIE 14. Podane liczby zespolone zapisać w postaci wykładniczej:

a)

z = −1;

b)

z = 1 + i;

c)

z = −i;

d)

z = 1 −

√

3i.

ZADANIE 15. Obliczyć i narysować podane pierwiastki z liczb zespolonych:

a)

3

√

8i;

b)

3

√

−27;

c)

4

s

−

1

2

+

√

3

2

i;

d)

8

√

1;

ZADANIE 16. Rozwiązać podane równania

a)

z

2

+ 3z + 3 − i = 0;

b)

z

2

+ (2i − 1) + 15i = 0;

z

3

= (1 − i)

3

.

Równania różniczkowe zwyczajne

ZADANIE 17.

1. Rozwiąż równanie populacyjne (Równanie o zmiennych roz-

dzielonych):

y

0

= y(1 − y).

2. Rozwiąż równanie:

y

0

= 2

√

y.

2

3. Rozwiąż równanie:

y

0

= 2xy

2

− x

2

y

0

.

4. Rozwiąż równanie jednorodne:

dy

dx

=

x

2

+ xy + y

2

x

2

.

Metoda operatorowa rozwiązywania równań i układów równań

różniczkowych zwyczajnych-transformata Laplace’a

ZADANIE 18.

1. Wyznacz transformat¸

e Laplace’a L

n

f

o

dla następujących funk-

cji f

a)

f (t) = 1

b)

f (t) = e

ct

,

gdzie

c ∈ Z.

Ponadto dla każdej z transformat F = L

n

f

o

określ dziedzin¸

e.

2. Korzystając z tablic oraz własności Transformacji Laplace’a wyznacz trans-

formaty L

n

f

o

następujących funkcji f

(a) f = te

2t

,

(b) f = t,

(c) f = cos t,

(d) f = t cos t.

ZADANIE 19.

1. Stosuj¸

ac metod¸

e operatorow¸

a rozwi¸

aż nast¸

epuj¸

ace równania

różniczkowe zwyczajne:

1)

f

00

(t) + 2f

0

(t) + f (t) = t

2

z warunkami pocz¸

atkowymi f (0+) = 0, f

0

(0+) = 1.

2)

f

0

(t) − f (t) = sin t

z warunkami pocz¸

atkowymi f (0+) = 0,.

3)

f

0

(t) + 3f (t) = 5e

2t

z warunkami pocz¸

atkowymi f (0+) = 4.

4)

f

00

(t) − 2f

0

(t) =



t

2

+ t − 3



e

t

z warunkami pocz¸

atkowymi f (0+) = 0, f

0

(0+) = 2.

ZADANIE 20. Stosuj¸

ac metod¸

e operatorow¸

a rozwi¸

aż nast¸

epuj¸

ace układy równań

różniczkowych zwyczajnych

1)

(

3

dx

dt

− 2

dy

dt

= 2x(t) + 3y(t)

dx

dt

+ 4

dy

dt

= −4x(t) + y(t)

,

gdzie x(0

+

) = 0, y(0

+

) = 1

3

2)











dx

dt

= x(t) +y(t)

dy

dt

=

y(t)+ z(t)

dz

dt

=

z(t)

,

gdzie x(0

+

) = 1, y(0

+

) = 0, z(0

+

) = 1

3)

(

d

2

x

dt

2

+ y = 0

d

2

y

dt

t

+ x = 1

,

gdzie x(0

+

) = y(0

+

) = 1 oraz x

0

(0

+

) = y

0

(0

+

) = 0

4